Эйнштейн энтропия

Автор, широко образованный педагог, прекрасно сознавая огромное значение статистической термодинамики для решения технических задач, показал формы и методы использования основных результатов статистики Больцмана и квантовых статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака при рассмотрении важнейших понятий термодинамики, как например внутренней энергии, теплоемкости, энтропии и т. д. [c.7]

Эвтектических сплавов плавление н затвердевание 179 Эйнштейна коэффициенты 321 Энтропия 18 [c.446]

Рассмотреть изменение плотности газа при его изотермическом смешении с различными газами и на этой основе разъяснить парадокс Гиббса и парадокс Эйнштейна, используя выражения для энтропии и внутренней энергии слабо вырожденного идеального газа из N атомов в объеме V при температуре Т [c.88]

Таким образом, задача вычисления энтропии сводится к определению лишь температурной зависимости теплоемкости. Этим объясняется, что проблема теплоемкости , решением которой занимались Эйнштейн, Дебай, Борн, Крамере и др., заняла такое важное место в физике начала XX в. [c.95]

Кванты проникли также в такую область науки, в которой их никто не ожидал встретить,—в теорию газов. Метод Больцмана оставлял неопределенным значение аддитивной константы, входящей в выражение для энтропии. Чтобы получить возможность применения теоремы Нернста и получить точные значения химических констант, Планк ввел кванты и сделал это в довольно парадоксальной форме, приписав элементу фазового пространства молекулы конечное значение, равное Л . Изучение фотоэлектрического эффекта привело к новой загадке. Фотоэлектрическим эффектом называют испускание веществом движущихся электронов под влиянием излучения. Опыт показывает, что энергия испущенных электронов зависит от частоты возбуждающего излучения, а не от его интенсивности, что является парадоксальным. Эйнштейн объяснил в 1905 г. это странное явление, приняв, что излучение может поглощаться только квантами hv с тех пор считается, что если электрон поглощает энергию к и для выхода из вещества затрачивает работу w, то его конечная кинетическая энергия будет hv — и/. Этот [c.643]

Максимальную величину энтропии находим, подставив из распределения Бозе - Эйнштейна значение п, [c.180]

Так как при высоких температурах допустимо пренебречь квантованием энергии, это выражение должно совпадать со статистическим интегралом, деленным на объем ячейки а, так как g при переходе к интегрированию переходит в /Г / а, а не в с1Г. Сравнивая (45.3) с Z /a из формулы (40.4), находим а = Мы обращаем внимание читателя на то, что в этом параграфе мы впервые решили поставленную в 33 задачу — нашли объем элементарной ячейки а для шестимерного / -пространства трех поступательных степеней свободы. Этот объем оказался равным В следующем параграфе и в 48 мы убедимся в том, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении вращательных и колебательных степеней свободы каждая степень свободы вносит в объем ячейки а множитель к. Подчеркнем, что этот результат мы получаем в рамках распределения Максвелла - Больцмана для невырожденного газа, но с учетом квантования энергии. В главе V мы убедимся в том, что объем ячейки а может быть найден экспериментально и без учета квантования энергии, но на объектах, подчиняющихся распределениям Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а именно — сильно вырожденных газах. Заметим в заключение этого параграфа, что поскольку характеристическая температура поступательного движения Т1 должна считаться равной нулю, квантование поступательного движения фактически не вносит никаких изменений в полученные в 40 формулы для внутренней энергии, теплоемкости, энтропии, химического потенциала. [c.219]

Флуктуации соответствует переход системы от более вероятного состояния к менее вероятному, или, согласно термодинамике, переход из состояния с большей энтропией в состояние с меньшей энтропией. Эйнштейн предложил использовать формулу Больцмана (6.10), применив ее для вычисления вероятностей состояний системы через изменение энтропии. В соответствии с этим вероятность флуктуации, связанной с малым изменением параметра л , определяется выражением [c.177]

Согласно элементарной теории Блоха для твердого тела, доля теплового рассеяния пропорциональна квадрату среднего перемещения иона из положения равновесия и, таким образом, пропорциональна Г/М0 , где Qe — температура Эйнштейна [96], а М — масса атома. Мотт [292] распространил эту теорию на жидкое состояние, не принимая во внимание влияния увеличения атомных перемещений, так что рь/ps — отношение удельных сопротивлений в твердом и жидком состояниях можно рассматривать как пропорциональное 6 /0 . Значения рь/рв можно найти из энтальпии плавления Н в предположении, что модель Эйнштейна можно применить к жидкости, как и к твердому состоянию (см. раздел 2). На основании этого, предположив, что энтропия плавления увеличивается только за счет изменений в колебательном движении, можно показать, что [c.102]

Эйнштейна-Подольского-Розена парадокс 118, 315 Энтропия 21 Эффект Зенона 197 [c.394]

Путем графической интерполяции функции Эйнштейна Е (у), значения которой приведены в табл. 4.6, рассчитать молярные колебательные теплоемкость и энтропию при температуре 298,15 К для молекул Og, lj и Вга (основные колебательные частоты для них равны соответственно 1580, 565, 323 м ). [c.133]

Рассмотрим теперь формулировку вариационных принципов для производства энтропии, основанную на описании системы на атомном, а не на макроскопическом уровне, использовавшемся до сих пор. Для определенности ограничимся рассмотрением частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, например электронов. Однако аналогичные результаты применимы и к частицам, подчиняющимся как статистике Максвелла, так и статистике Бозе — Эйнштейна. [c.626]

Эйнштейна коэффициенты 279 Электронное твердое тело 290 Электрон-позитронная плазма 240 Энергетический слой 32, 47 Энтропия 8 7, 10, 35 [c.429]

Ответ на эти вопросы был дан в работах Смолуховского и Эйнштейна. Они воспользовались для их решения так называемым принципом Больцмана, связывающим отношение вероятностей двух каких-нибудь (вообще говоря, неравновесных) состояний изотермической системы с разностью их свободных энергий. В случае энергетически замкнутой системы принцип Больцмана связывает отношение вероятностей двух состояний с разностью их энтропий. [c.259]

Однако, когда в экспериментах были получены относительно низкие температуры, обнаружилось, что именно в этой области теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы неприменима. В области достаточно низких температур удельная теплоемкость не остается постоянной, а быстро приближается к нулю. Для объяснения этого явления в 1907 г. Эйнштейн смело использовал только что созданную квантовую теорию и обнаружил, что уменьшение теплоемкости представляет собой проявление какого-то фундаментального закона природы. Если удельная теплоемкость стремится к нулю при приближении Т к нулю, то зависимость энтропии от температуры должна резко отличаться от изображенной на фиг. 2. На фиг. 3 и 4 показаны возможные виды зависимости энтропии от температуры, которые находятся в согласии как с экспериментальным ходом зависимости удельной теплоемкости от температуры, так и с требованиями квантовой теории. [c.24]

Естественное движение фазового пространства, 13 Эйнштейн, 8 Энтропия, 92, 95 Эренфесты П. и Т., 6 Эргодическая [c.116]

Но в нашей книге рассмотрены и некоторые вопросы, оставленные без внимания в большинстве учебников. Примером может служить термодинамическая теория устойчивости, которая играет важную роль при описании и состояний равновесия, и сильно неравновесных областей. Термодинамическая теория устойчивости и флуктуаций, основоположником которой по праву считают Гиббса, составляет содержание гл. 12-14. Мы начинаем с классической теории устойчивости в том виде, в каком ее сформулировал Гиббс, — теории, использующей термодинамические потенциалы. Затем переходим к рассмотрению теории устойчивости в терминах современной теории производства энтропии, обладающей большей общностью, чем классическая теория. Это дает основу для рассмотрения устойчивости неравновесных систем в последующей части книги. Затем мы обращаемся к термодинамической теории флуктуаций, берущей начало со знаменитой формулы Эйнштейна, устанавливающей связь между вероятностью флуктуации и убыванием энтропии. Эта теория дает нам основные результаты, которые затем приведу т к соотношения.м взаимности Онсагера (гл. 16). [c.11]

Альберт Эйнштейн (1879-1955) предложил формулу для вероятности флуктуации термодинамических величин, при.меняя идею Больцмана наоборот в то время как Больцман использовал микроскопическую вероятность при выводе термодинамической энтропии, Эйнштейн использовал термодинамическую энтропию для вывода вероятности флуктуации с помощью следующего соотношения [c.312]

Учесть наличие физико-химических процессов можно приближенно, приняв скорости их протекания бесконечными или нулевыми, При бесконечной скорости имеет место равновесное течение, а при нулевой — замороженное. При равновесном течении термодинамические и газодинамические параметры определяются с привлечением соотношений термодинамики равновесных процессов. Концентрации реагирующих компонентов в таких течениях определяются из закона действующих масс, а энергия колебательных степеней свободы вычисляется по формуле Эйнштейна. Энтропия в этом случае сохраняется неизменной вдоль струйки тока, а из принципа максимальной работы в случае обратимых процессов следует, что равновесное течение является предельным течением, когда удается получить в выходном сечении сопла максимальный импульс, скорость истечения, температуру и максимальное давление по сравнению с любым другим процессом истечения в сопле заданной геометрии и с заданными параметрами заторлюженного потока. [c.250]

При подстановке известного из измерений значения скорости звука выражение (23.1) переходит в зависимость 0,021 джоуль1 г- град). Возникновение дополнительных возбуждений выше 0,7°К соответствует в теории Ландау появлению ротонов, а в двухжидкостной модели Тисса—испарению конденсата Бозе—Эйнштейна в пространстве скоростей. Вид ожидаемой зависимости теплоемкости от температуры в этих двух теориях оказывается одинаковым, однако, как уже указывалось в разделе 1, роль вклада обеих компонент в теплоемкость оказывается совершенно различной с точки зрения проблемы сверхтекучести. В теории Ландау сверхтекучая компонента не обладает не только ротонной, но и фононпой энтропией, тогда как, по Тисса, эта компонента должна сохранять свою фононную энтропию. На основании одних только измерений теплоемкости нельзя, таким образом, решить вопрос, имеет ли сверхтекучая компонента фононную энтропию или пет для этого необходимо определить энтропию нормальной компоненты. Такие данные можно получить при достаточно низких температурах, измеряя тепло-перенос и термомеханический эффект в гелии. [c.824]

Неидеальный газ Бозе—Эйнштейна. Хотя возможности, представляемые теорией конденсации Бозе—Эйнштейна для объяснения быстрого уменьшения энтропии без привлечения процессов упорядочения в координатном пространстве (таких, как кристаллизация), и являются довольно привлекательными, трудности этой теории немедленно дают о себе знать. Ф. Лондон подчеркивал в своей первой работе различие между идеальным газом и жидкостью, хотя он указывал также, что для идеального газа с массой атома гелия величины Гцр. и 1 ,ф. равны из формул (42.2), (42.11) и (42.12) 3,14° К и 1,28 R соответственно, что удивительно близко к ),-точке и энтро-нии Si жидкого гелия, равных 2,19° К и 0,8 R. Поэтому он предпринял попытки учесть при разумных предположениях силы взаимодействия, чтобы выяснить, получится ли при этом лучшее согласие с экспериментальными [c.875]

В настоящее время вопрос о тепловой смерти Вселенной стоит иначе, чем во времена Клаузиуса—Больцмана и недавнего прошлого. В соответствии с современными данными наблюдений Метагалактика представляет собой расширяющуюся систему и, следовательно, является нестационарной. Поэтому вопрос о тепловой смерти Вселенной нельзя даже ставить. Действительно, учет особенности Вселенной как гравитирующей системы в теории тяготения Эйнштейна приводит к тому, что для Вселенной не существует состояния максимальной энтропии. Поэтому энтропия Вселенной в каждой ее области может возрастать неограниченно без того, чтобы Вселенная приближалась к состоянию с максимальной энтропией, т. е. к тепловой смерти . [c.73]

Уравнение (4.30) имеет самый общий характер. Только явные значения коэффициентов gppi зависят от природы параметров, подверженных флуктуации. В рассматриваемой системе вероятность Г флуктуаций Д(р пропорциональна члену, содержащему в экспоненте соответствующее отклонение энтропии Дгб (по теории флуктуаций Эйнштейна , деленному на постоянную Больцмана к. [c.65]

Обсуждение теории флуктуаций Эйнштейна см. в книгах Толмана [25] и Фа-улера [26] и особенно в статье Грина и Каллена [27]. В нашей формулировке этой теоремы вводится величина приращения энтропии, обусловленного флуктуациями. Эта формулировка имеет несколько более общий характер, чем обычная формулировка, которая приложима только к некоторым частным превращениям, таким, как адиабатические и изотермические процессы см. также [Оа], гл. XV. [c.65]

Основываясь на этих блестящих рез льтатах, можно поставить вопрос нельзя ли найти закон Карно Клаузиуса при помощи молекулярных теорий, понимая, конечно, последние в очень широком смысле, так как общности результата должна каким-либо образом соответствовать общность предпосылок Австрийскому физику Больцману принадлежит честь первого успешного подхода к этой задаче и установления связи между понятием вероятности, определенным образом понимаемой, и термодинамическими функциями, в частности энтропией. Рядом с ним нужно считать одним из основателей этой новой ветви теоретической физики — статистической термодинамики — Уилларда Гиббса. Далее следует упомянуть работы Пуанкаре, Планка и Эйнштейна. Общий результат, который можно считать окончательно установленным, это существование связи между энтропией некоторого состояния и вероятностью этого состояния. [c.18]

Пусть Е — значение заданной полной энергии, и пусть D и D — два возможных распределения, причем энергии i и С2 равны Ei и Е2 для распределения D, Е[ и Е при распределении Di. Если мы хотим пользоваться методом Эйнштейна, то следует себе представить (система предоставлена самой себе) осуществленными все возможные распределения. Если D существует в продолжении промежутка времени т и D в продолжение промежутка г, то отношение т к т равно отношению вероятностей D и D. Против этого нельзя ничего возразить такой способ рассмотрения, как мы уже указали, представляется совершенно естественным. Появляется следующее затруднение совсем не видно, почему вероятность данного распределения, например распределение можно рассматривать как произведение двух множителей Ui и 772, из которых один относится к С, а другой к 62-Для того чтобы формула Больцмана дала величину, тождественную с термодинамической энтропией, нужно, чтобы г было пропорционально произведению /Ti772, ri — произведению 77 772, причем величины 77i и П[ зависят исключительно от состояния С, Л2 и Лз — от состояния 2- [c.46]

Ландау и Лившиц [2] еще ранее установили, что формула Эйнштейна сохраняет свою силу и для малой части тела (по отношению к которой остальные части тела играют роль внешней среды). В этом случае изменение энтропии при флуктуации будет AS = — L anJT), где L min — минимальная полезная внешняя работа, которая должна быть затрачена [c.6]

Рассмотрим теперь важный для приложений случай, когда динамические переменные соответствуют полу макроскопическим величинам ). Тогда можно воспользоваться термодинамической эквивалентностью ансамблей и считать, что энтропия S ai , N,V) микроканонического ансамбля является такой же функцией от а-, как энтропия 5( (аЛ, А , К) канонического ансамбля от а-) при условии, что а-) = а-. Это предположение фактически лежит в основе так называемой квазитермодинами-ческой теории флуктуаций впервые развитой Эйнштейном [76], который исходил из интуитивных соображений. [c.72]

Правильное значение колг- ательной энтропии удобнее получить с помощью формул, найденных в задаче 4.6, п. а , чем путем интерполяции протабулированной функции Эйнштейна. Для 0 ,/7 = 0,70 имеем [c.154]

Энтропия-информация есть характеристика функции распределения в системах. Эту её особетюсть подчеркнул А. Эйнштейн в классической работе [25]. В такой форме энтропия использовалась в работах К. Шеннона. Подробно вопросы связи энтропии и функций распределения расс югре/ ы, например, в книге [26]. [c.15]

Иапример, в случае (1.4) энтропия определена через переданное системе тепло и её температуру. Но переданное тепло изменяет кинетическую энергию составляющих объект молекул. Этому в силу соотношения Эйнштейна между массой и энергией соответствует изменение массы объекта. Оно слишком мало для того, чтобы быть ощутимым человеком, но ведь оио реально существует Температуру органы чувств человека воспринимают. Поэтому изменение энтропии объекта люгло бы ощущаться человеком одгюродно с изменением, например, давления на руку. Количественное отличие, возникающее при этом, не люжет быгь основанием для исключения энтропии из числа материальных, потенциально ощущаемых человеком физических переменных. Это же относится и ко всем тем случаям, когда энтропия определена как универсальная мера количества информации (1.1), а не только для тепловых процессов. [c.51]

Сложные структуры часто имеют кривую теплоемкости, которая даже приблизительно не описывается уравнением Дебая. В этих случаях пользуются комбинациями функций Дебая и Эйнштейна (20) и (17), подгоняя их к совпадению с нижним участком экспериментальной кривой, Келли [13] полагал, что погрешность энтропии, полученной при такой экстраполяции теплоемкости к О °К, составляет приблизительно 10%, Однако если учесть возможность аномали теплоемкости и увеличе п1е погрешности определения теплоемкости при самых низких температурах, то следует иметь в впду, что величина возможно11 погрешности энтропии может достигать (20—30) % от величины, полученной экстраполяцией к 0°К [2]. [c.22]

Эта основная для всего формализма теории термодинамических флуктуаций формула называется формулой Эйнштейна (А. Einstein, 1910). Она выражает естественное следствие так называемого принципа Больцмана (L. Boltzmann), связывающего величину энтропии системы с вероятностью ее макросостояния (в наших обозначениях — со статистическим весом, 5 = In Г). Справедливости ради следует заметить, что упомянутый принцип Больцмана был впервые сформулирован Планком (М. Plan k, 1900) в виде 5 = -f In Ж (у нас W = 1/Г), где Л — им же введенная константа, которую по понятным причинам называют постоянной Больцмана (слова М. Планка). [c.33]

Результат (2) следует из выражения (1), если химический потенциал положить равным нулю. Мы получим соотношение (2) из основных принципов, но уже сейчас можно отметить, что причина различия между результатами Планка и Бозе — Эйнштейна заключается в несохранении числа фотонов в системе, тогда как при первоначальном выводе (1) в явном виде полагали число частиц сохраняющимся. Число фотонов в полости, стенки которой имеют высокую температуру, намного больше, чем в случае их низкой температуры. Полное число фотонов в системе и резервуаре не сохраняется. Поэтому теперь не следует обращаться к изменению энтропии да1дМ)8М, при помощи которого мы первоначально вводили химический потенциал. Сейчас нужно выяснить, как избежать этого шага при рассмотрении системы фотонов. [c.208]

При необратимом процессе в системе развиваются диссипативные потоки, приводящие к производству энтропии. В случае необратимого процесса в изолированной системе последняя находится в неравновесном состоянии, а производство энтропии d Sldx составляет согласно уравнению реакции — (S — 5 )/т заменив в формуле Эйнштейна S — S на —(d S/dx) т, получим [c.55]

Согласно формуле Эйнштейна (14.2.2), энтропия, обусловленная флуктуациями, определяет следующее распределение вероятности флуктуащш [c.341]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...