Модуль податливости

Здесь Л — тензор модулей податливости е . —тензор пластических деформаций, определяемый как разность между тензором полных и тензором упругих деформаций. [c.284]

Используя положительную определенность тензора модулей податливости М, без труда доказываем, что функционал (5.318) строго выпуклый и коэрцитивный на La ( ), следовательно, реше-Н1 0 задачи минимизации функционала J (х) на М существует и единственно. [c.285]

Анализ вибрации и распространения волн в вязкоупругих композитах проведен в [1]. Причем основное внимание уделено расчету поведения при стационарном гармоническом нагружении. Хорошо известно, что, используя свойство интеграла Фурье, решения для стационарного случая можно применить для расчета поведения при нестационарных воздействиях произвольного вида. Обсудим вкратце этот подход с точки зрения применения к решению задачи алгоритма FFT [20]. В динамическом анализе композитов используются и другие методы, например преобразование Лапласа [1] и метод характеристик [21]. Однако есть основания полагать, что точность и вычислительная эффективность алгоритма РТТ плюс легкость получения стационарного поведения при помощи упругих решений делают этот подход наиболее привлекательным. Здесь представляет интерес также удобство применения численных или очень общих аналитических представлений комплексных модулей (податливостей). [c.196]

Минимальное значение модуля податливости на частоте определяется нерезонансными формами колебаний и достигается, если точка возбуждения или наблюдения совпадает с узлом формы колебаний. [c.41]

Типичное распределение напряжений в структурах адгезионно связанных композиционных материалов представлено на рис. 22.13. Как показано на рис. 22.14 [6], для простого нахлесточного соединения с увеличением длины перекрытия удерживающее удельное усилие возрастает пропорционально ширине, а сдвиговые напряжения в адгезионном слое остаются постоянными или даже падают. Испытания, проведенные для различных адгезивов, Показывают, что материалы с низким модулем (податливые связующие) обладают большим сопротивлением сдвиговым напряжениям с ростом длины перекрытия. [c.393]

В отечественной литературе величины с/й/г, имеющие размерность напряжения, называются модулями упругости, а величины — константами упругости (в зарубежной литературе 8ц л называют модулями податливости). Модули податливости являются коэффициентами обратной матрицы [c.243]

Связь меж у модулями упругости и модулями податливости в этом случае имеет вид [c.247]

Модуль податливости 2 248 Намагниченность 2 92 Намагничивания кривая 2 101 [c.457]

Об аналогии между упругостью и проводимостью. Эффективный тензор сопротивления р и эффективный тензор модулей податливости [c.199]

В этом случае необходимо знать значение модуля упругости, соответствующего каждому значению времени запаздывания. Уравнение (28) можно переписать, применяя величины, обратные модулю податливости, соответствующие различным значениям т [c.30]

Сопоставляя поведение реальной трещины в конструкции с деформированием надреза, полученного с помощью предлагаемой модели, можно отметить следующее. Если на некоторых участках по длине трещины возникают нормальные растягивающие напряжения, то трещина в этих местах раскрывается, практически не сопротивляясь прикладываемым нагрузкам уровень, напряжений в прилегающих областях материала невелик. В предлагаемой модели это условие обеспечивается за счет назначения в соответствующих элементах трещины модуля упругости Е, вызывающего разгрузку элементов и значительное увеличение податливости на рассматриваемом участке, В том случае, когда на некотором участке реальной трещины действуют напряжения сжатия, приводящие к контактированию (схлопыванию) берегов трещины, тело с точки зрения передачи силового потока, нормального к трещине, работает как монолит, и модуль упругости в принятой модели для соответствующих элементов трещины назначается равным обычному модулю упругости материала конструкции. При соприкосновении берегов трещины возможны два варианта берега могут проскальзывать относительно друг друга и не проскальзывать. Второй вариант автоматически реализуется при условии Етр = Е. Для реализации первого варианта необходимо обеспечить отсутствие сопротивления полости трещины на сдвиг. Процедура необходимых для этого преобразований для более общего случая — динамического нагружения конструкций — будет изложена в разделе 4.3.1. [c.202]

Как указывалось выше, общие ОН обусловлены общей остаточной деформацией всей зоны перфорации, осредненной по толщине коллектора. Расчет общих ОН представляет собой решение плоской упругопластической задачи, единственным возмущающим фактором в которой являются постоянные начальные деформации 8 , равные осредненным остаточным пластическим деформациям. Очевидно, что перфорированная зона в плоской задаче имеет большую податливость (при рассмотрении этой зоны в континуальной постановке), чем основной металл. Поэтому при решении задачи по анализу общих ОН принимается, что металл зоны перфорации имеет модуль упругости, равный [c.336]

Неравномерность нагрузки сглаживается осевой деформацией наиболее напряжённых витков и радиальной деформацией наиболее напряженных поясов гайки. Для выравнивания нагрузки целесообразно увеличивать податливость гаек, вЬшолняя их из менее твердого материала, чем болт (для стальных гаек и болтов рекомендуемое соотношение твердости гайки и болта 0,7 —0,8), а также из материалов с низким модулем упругости, в результате чего пик напряжений, наблюдающийся у гаек сжатия (рис. 366, а), выравнивается. [c.518]

Таким образом, динамическая податливость объекта с п степенями свободы представлена в виде суммы податливостей п систем с одной степенью свободы, имеющих собственные частоты консервативной системы (системы, для которой при колебаниях полная механическая энергия постоянна). На этих частотах (со = ov) динамическая податливость возрастает по модулю ввиду появления в знаменателе v-ro слагаемого малого члена 2(3v(j)v. С увеличением номера V формы колебаний максимальная величина модуля динамической податливости уменьшается. На рис. 10.4 показан примерный вид зависимости модуля динамической податливости от час-готы. [c.274]

Определение модуля упругости и параметров ядра можно осуществить путем сравнения экспериментальных кривых податливости [c.236]

Итак, для этой системы остаются только три независимых модуля упругости и столько же констант упругой податливости. [c.197]

Для снижения напряжений надо стремиться главным образом к увеличению податливости стержня путем увеличения его длины, добавления буферной пружины, замены материала другим, с более низким модулем упругости, выравнивания площадей поперечного сечения с целью получить все участки стержня одинаковой минимальной площади сечения. Вот почему, конструируя стержни, работающие на удар, надо добиваться постоянной площади сечения по всей их длине. Местные утолщения допустимы лишь на небольших участках длины местные выточки небольшой протяженности крайне нежелательны. Если при таких условиях сконструировать достаточно прочный стержень не удается, необходимо удлинить его или равномерно увеличить его площадь. [c.697]

Из симметрии тензоров о.-,- и еу следует, что тензоры модулей и податливостей не меняются при перестановке индексов i и /, к и I. В результате оказывается, что из 81 компоненты тензора четвертого ранга в трехмерном пространстве различными остаются лишь 21 компонента. Соответствующие потенциалы имеют следующий вид [c.239]

В обп ем случае модули упругости Еци и податливости Пуы преобразуются по формулам преобразования тензора четвертого ранга [c.240]

Модули упругости ij и податливости образуют матрицы 6X6, симметричные вследствие существования потенциала. Таким образом, число упругих постоянных равно 21. [c.242]

Свойства наследственно-упругого тела, обнаруживаемые при испытаниях на ползучесть или релаксацию и проиллюстрированные графиками на рис. 17.5.1 и 17.5.2, легко воспроизвести на модели, изображенной на рис. 1.10.2. Если обозначить через е перемещение, на котором производит работу сила а, то, как совершенно очевидно, при мгновенном приложении нагрузки сначала растянется только пружина 1 жесткость пружины, или модуль El, представляет собою мгновенный модуль. По истечении достаточно большого времени система приблизится к состоянию равновесия, когда скорость, а следовательно, и сопротивление движению поршня в цилиндре с вязкой жидкостью становятся равными нулю. В предельном состоянии податливости пружин складывается, следовательно, длительный модуль определяется следующим образом -f Е . Обозначая через т) коэффициент вязкости, который определяет силу сопротивления движению поршня о в зависимости от скорости по формуле а = цё п вводя обозначения [c.589]

Из формул (34.6) и (34.8) следует, что податливость пружины возрастает при увеличении числа витков (длины пружины), индекса пружины (наружного диаметра) и уменьшении модуля сдвига ее материала. [c.538]

В работе 10 содержится вывод выражений для упругих констант в случае плоской задачи для малых искривлений арматуры. За основной прием при решении задачи принято усреднение тензора податливости неоднородного материала по углу, характеризующему поворот площадки при движении точки по линии искривления волокон. Сложные интегралы для вычисления коэффициентов матрицы податливости представлены разложениями в ряды. Выражение для модуля упругости при удержании первого члена в ряду соответствует (3.14). При этом погрешность вследствие неучета остальных членов ряда не превышает 9 % при ф 0,5. В этом же диапазоне параметра ф расчетные значения модуля упругости [по (3.13)1 удовлетворительно согласуются со значениями, вычисленными по формуле [c.64]

Для того чтобы перейти от коэффициентов жесткости к более распространенным в инженерной практике модулям упругости и коэффициентам Пуассона, следует обратить матрицу 1Сц] и получить матрицу коэффициентов податливости [5 у] [93]. [c.162]

Граничные значения комплексных модулей (податливостей) лри сдвиге и всестороннем сжатии для изотропного композита, состояшего из изотропных вязкоупругих фаз, были получены Роско [81], причем об относительных жесткостях и тангенсах углов потерь фаз никаких предположений не делалось. Для упругих материалов эти результаты приводятся к известным соотношениям Рейсса и Фойхта. Как правило, верхняя и нижняя границы достаточно далеки одна от другой, если модули всех фаз существенно различны. Кристенсен [16] также вывел границы комплексных модулей (податливостей) для изотропных композитов, но его оценки основаны на предположениях еще более ограничительных, чем сделанные при выводе уравнения (137). [c.159]

При геометрическом подобии зубьев в различных сечениях их жесткость, как консольных оболочек, постоянна по всей ширине колеса. Для оценки деформации положим, что зубья колеса 2 абсолютно жесткие, а зубья колеса / податливые. При заторможенном колесе 2 нагруженное колесо 1 повернется на угол Аф вследств 1е податливости зубьев. Прогиб зубьев в различных сечениях равен гДф, где г — радиус в соответствующем сечении. При постоянно11 жесткости нагрузка пропорциональна деформациям или в нашем случае радиусам г, которые в свою очередь пропорциональны расстояниям от вершины делительного конуса — рис. 8.32, б. Если модуль зубьев и нагрузка изменяются одинаково, то напряжения изгиба остаются постоянными [см. формулу (8.19)1 по всей длине зуба. [c.132]

Чем больще упругость системы, т. е. чем длиннее и податливее детали, меньще их сечения, моменты инерции и модуль упругости их материала, те.м меньще фактическая сила, напрягающая детали, и в тем более ослабленном виде приходят силы к последним звеньям механизма. Введение упругих связей в систему, например стяжка упругими болтами, установка пружинных муфт между валами и конечным элементом (маховик, гребной винт, электродвигатель, редуктор), упругая крутильная подвеска двигателя и т. д. резко снижают максимальные напряжения в системе. [c.149]

Во многих случаях допустимо пренебрежение всеми формами колебаний, за исключением одной нреобла-даюпц й. Такие объекты обычно моделируются системами с одной степенью сво-бод[>1 (рис. 10.5, а, б), имеющими массу т коэффициент унруг(кти с и коэффициент вязкого трения Ь. При возбуждении системы силой G(l) модуль динамической податливости имеет следующий вид [c.275]

Основное уравнение задачи (7,320), разумеется, упрощается для ортотропного бруса. В этом случае в рмуле закона Гука (7.304) модули упругости представляются матрицей (3.38) с числом независимых упругих постоянных, равным девяти. Упругие постоянные tjt, и Аkiij (в случае ортотропного тела), у которых среди индексов встречаются один или три раза индекс 1 , 2 или 3 , равны нулю. Поэтому при кручении ортотропного бруса коэффициент податливости Л assi = О и равенства (7.311) упрощаются - [c.201]

Тождество (8.10.5) представляет собой простое следствие симметрии тензора модулей упругости или тензора податливостей. Действительно, положим в правой части (8.10.5) Ti = OijHj и преобразуем поверхностный интеграл в объемный. Учитывая, что напряжения удовлетворяют вместе с силами Fi дифференциальным уравнением равновесия, получим [c.264]

Здесь EYjh — тензор податливости или матрица, обратная матрице При конкретных расчетах бывает удобно переходить на матричный язык, представляя тензор модулей упругости как симметричную матрицу 3X3. Внеся выражения для е,-, в формулы (20.8.2), получим [c.708]

На рис. 21.3 показан коэффициент интенсивности напряжений в функции отношения длины трещины I к ширине заплаты Ъ для различных коэффициентов упругости скрепления Q = qEt, где q = tj iabji). Здесь коэффициент податливости точки скрепления q выражен с использованием аналогии со склеивающим веществом ta, Hi — толщина и модуль сдвига связующего вещества, [c.171]

Уравнения движения шарнирного четырехзвенника с упругими звеньями. В механизме шарнирного четырехзвенника (рис, 52) считаем, что внешние силы приложены только к звеньям / и <3 и представлены парами сил с моментами 4Уд и Жз. Инерцией шатуна 2 пренебрегаем и, следовательно, реакции, действующие на него со стороны звеньев 1 и 3, направлены по линии ВС. В этом случае шатун испытывает только деформации растяжения — сжатия и его коэффициент ПОДЙТЛНйОеТН МбЖНб оН()ёдёЛить по формуле для цилиндрических стержней е2 = 12 Е.8, где /2— длина шатуна Е — модуль упругости 5 — площадь поперечного сечения шатуна. Коэффициент податливости вала звена 1 определяем, учитывая только деформации кручения е = 1 1 01 р ), где 1 — длина участка вала [c.120]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Здесь Gij] l и К1щ — тензоры четвертого ранга. Величины Gijkl образуют тензор упругих податливостей, а функции Кцх1 представляют собой ядра ползучести. Б общем случае число независимых компонент тензора упругих модулей и тензора ядер ползучести] не превосходит 21. При наличии в теле плоскостей симметрии и осей симметрии различного порядка число независимых компонент тензоров и Gij l сокращается. В случае изотропной среды тензоры и не изменяются при преобразованиях симметрии и поворота системы координат. Из общего вида изотропного тензора четвертого ранга вытекает, что [c.18]

Сринивас и др. [143] исследовали однородные и многослойные пластины из изотропных материалов численный анализ был проведен для трехслойной пластины с несимметричным расположением слоев. Полученные для однородных пластин результаты показали, что классическая теория тонких пластин справедлива, если толщина не превышает 0,05 Ь (а Ь), а теория Рейсснера [120], учитывающая сдвиговую податливость материала, применима для пластин с толщиной до 0,10 Ъ а Ъ). Однако для трехслойных пластин погрешности, вносимые при расчете по этим двум теориям, возрастают с увеличением отношения модулей упругости материала слоев. [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...