Действия над тензорами

Свёртывание, сложение, симметричность, альтернирование, идеи, понятие, частный случай, свойства, поле, определение, компоненты, элементы, главные значения, главные оси. .. тензора. Умножение вектора. .. на тензор. Действия. .. над тензором. Скалярное произведение. .. тензоров. [c.88]

Помимо алгебраических действий над тензорами поля производятся еще операции тензорного анализа — дифференцирование я интегрирование. [c.403]

П1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ РАЗЛИЧНОГО РАНГА [c.241]

Правила действий над тензорами облегчаются введением диад единичных векторов принятой системы координатных осей. Обозначая через составляющие тензора Р в этих осях, можно представить его суммой девяти диад [c.144]

Рассмотрим тензор второго ранга В. В каждом базисе имеем девять чисел Ву и столько же диад eJ. Первое из действий над тензорами позволяет нам образовать сумму Ву е, е . Это тензор, но каковы его компоненты и сохранится ли подобное его представление при повороте базиса [c.14]

Над тензорами можно производить те же операции, что и над обычными числами. При этом важно, что результат действий над тензорами также является тензором. [c.11]

Алгебраические действия производятся. .. над тензором. Сфера (эллипсоид) соответствует. .. тензору. [c.88]

Тензорная алгебра рассматривает четыре основных действия. В результате этих действий, произведенных над тензорами, вновь получаем тензоры различных раш ов. Эти действия таковы [c.56]

Сумма —результат действия свертывания по индексам а и Р, выполненного над тензором Т а.]. Покажем, что действие свертывания по одной паре индексов понижает ранг тензора на две единицы, т, е. величины являются компонентами тензора первого ранга, т. е. компонентами вектора. Чтобы это доказать, надо рассмотреть закон преобразования величии Та ,. На основании формул преобразования (1.71) имеем [c.57]

Как мы видели выше, алгебраические операции над тензорами приводят снова к тензорам, чего нельзя утверждать, как убедимся ниже, относительно их дифференцирования. Частные производные компонентов тензора составляют тензор лишь в декартовой системе координат. В криволинейных системах координат дело обстоит сложнее. Здесь приходится вводить так называемое ковариантное дифференцирование, действие которого на тензор снова даст тензор. Ковариантная производная совпадает с обычной, когда тензор отнесен к декартовой системе координат. [c.21]

Преобразований, которым она можег быть подвергнута, и может рассматриваться совершенно независимо от ее свойств при данных преобразованиях. Тем не менее, неправильно было бы всегда подчеркивать это различие, так как, оставаясь в пределах ортогональных преобразований, мы будем иметь здесь полную идентичность. Составляющие тензора и элементы матрицы преобразуются в этом случае одинаковым образом, и каждому тензорному равенству при этом будет соответствовать некоторое матричное равенство и наоборот. Эквивалентность между тензорами и матрицами не ограничивается тензорами второго ранга. Так, например, мы-знаем, что составляющие вектора, который в сущности является тензором первого ранга, образуют матрицу, состоящую из одного столбца, и поэтому действия над векторами можно трактовать как действия над соответствующими матрицами. [c.168]

Какие действия выполняются над тензорами [c.65]

Индексы двухточечного тензора можно поднимать или опускать, используя соответствующие метрические тензоры gik, или Индексы одного и того же вида (латинские или греческие), расположенные на разных уровнях, можно свертывать. Двухточечные тензоры можно перемножать, если они определены в одних и тех же парах точек. Их можно также слагать, если они определены в одних и тех же парах точек и имеют одинаковое число латинских и греческих индексов. Эти действия выполняются так же, как действия над обычными тензорами. Приведем типичные примеры, относящиеся к алгебре двухточечных тензоров [c.14]

Третье действие называется сверткой. Это действие над одним тензором, других участников нет. В результате свертки ранг тензора уменьшается на два. Грубо говоря, свертка состоит в суммировании компонент по какой-либо паре индексов. Для тензора третьего ранга например, возможны следующие варианты свертки, приводящие к векторам а, Ь и с. [c.13]

В известном представлении о функции у = Дх) как отображении аргумент х и функция у могут быть тензорами любого ранга. Рассмотрим хотя бы скалярную функцию тензора второго ранга ф = ф( ). В каждом базисе а, имеем функцию девяти числовых аргументов ф(5, .) при переходе к новому базису действия над В у могут изменяться лишь так, чтобы результат ф сохранился Дифференцирование ф выглядит так [c.24]

Отметим, что исторически сложились две методики в изложении теории тензоров. Первая из них трактует тензоры как объекты,с которыми производятся определенные действия, вторая же сводит операции над тензорами к операциям над их компонентами. В настоящее время в литературе по механике и физике доминирует второй подход. По-видимому, началом здесь послужили работы А.Эйнштейна по теории относительности. Тем не менее сейчас уже четко наметилась тенденция возврата к первой точке зрения, которая является первой и исторически. В советской литературе по механике ее использовали А.И. Лурье, Л.И.Седов. Последовательное изложение тензорной алгебры на базе этой идеологии дано в книге А.А.Вакуленко [б]. В настоящей книге используется аналогичный подход, [c.7]

Следует подчеркнуть, что в определении, выражаемом уравнением (2-7.5), не используются понятия системы координат и компонент. Таким образом, например, тензор А есть оператор, определенный на основе оператора А (т) путем выполнения над последним действий, предписываемых уравнением (2-7.5). [c.79]

Можно применить к вектору Х действие абсолютного дифференцирования ( 210 первого тома), и мы найдем ряд тензоров высших рангов и соответствующих им инвариантных дифференциальных форм. При этом вектор X) надо рассматривать как функцию координат х, определяющих начальные условия движения механической системы. [c.390]

Последнее утверждение нуждается в пояснении. У нас имеется две системы сил. Прикладываем первую систему сил (шаровой тензор) — получаем энергию изменения объема. Прикладываем вторую систему сил (девиатор) — получаем энергию изменения формы. Но когда мы прикладываем вторую систему, первая, приложенная ранее, должна совершить работу на обобщенном перемещении, вызванном второй системой сил. Получается, что работа суммы сил равна не просто сумме работ. При совместном действии сил надо учесть еще и взаимную работу — работу ранее приложенной силы на перемещении, вызванном последующей силой. Поэтому, вообще говоря, работа суммы сил не равна сумме их работ. Но в данном случае дело обстоит иначе. Мы разделили напряженное состояние на две части не произвольно, а так, чтобы девиаторная часть не приводила к изменению объема. Но изменение объема как раз и представляет собой обобщенное перемещение для гидростатического давления или всестороннего растяжения. Поэтому первая система сил на перемещениях, вызванных второй системой сил, производит работу, равную нулю, а энергия может рассматриваться как сумма работ в двух напряженных состояниях. [c.49]

Покажем, что компоненты ац образуют тензор. Для этого надо доказать, что совокупность величин aij связывает компоненты двух векторов, а именно векторов силы Р, приходящейся на единичную площадку, и нормали 1 к площадке, на которую эта сила действует. Выберем внутри напряженного тела малый элемент объема в форме тетраэдра О AB с площадкой 65 (ЛВС), содер- [c.188]

Термин пропорциональное нагружение был определен в 16.3, он относится к соотношениям между компонентами девиатора тензора напряжений. При простых опытах, которые производятся главным образом над тонкостенными трубками под действием растяжения, внутреннего давления и кручения, пропорциональность нагружения обеспечивается пропорциональным изменением внешних сил, приложенных к образцу. Но в общем случае произвольного тела пропорциональное изменение внешних сил не обязательно влечет за собою пропорциональное нагружение, для этого необходимо выполнение некоторых условий, которые нам предстоит выяснить. [c.542]

Тензор является математическим оператором, так как он указывает, какие операции надо произвести над вектором аргумента (площадки), чтобы определить значение векторной функции (силы, действующей на данную площадку). [c.32]

Что касается симметричности тензора напряжений, то, например, в жидких ферромагнетиках очень часто нельзя пренебрегать внутренним вращением частиц, усиливающимся под действием электромагнитного поля. В этом случае надо пользоваться уравнением сохранения момента количества движения в его полном виде (2.42). В большинстве сред, однако, обычно принимают, как и в нейтральной среде [c.341]

Многие действия над тензорами произвольного ранга сводятся к действиям над их матрицами. Так, сложение (вычитание), возможное лишь для тензоров одинакового ранга, сводигся к сложению (вычитанию) соотвегсгвующих компонент матриц слагаемых (вычитаемых) [c.242]

Над тензорными полями можно осуществлять те же алгебраич. действия, что и над тензорами, имея в виду, что все тензорные поля берутся в одной и той же точке. [c.70]

В правой части равенства (IV. 147) стоит сумма произведений компонент йх коитравариантного вектора на величины Ууй - Эта сумма может быть тензором, а именно вектором с контравариантными компонентами только тогда, когда величины являются компонентами смешанного тензора второго ранга ). В левой части равенства (IV. 147) стоят компоненты коитравариантного вектора ( а). Поэтому можно рассматривать сумму, стоящую в правой части равенства (IV. 147), как результат действия свертывания, выполненного над вектором н смешанным тензором Ja ( 24). [c.386]

Позднее были опубликованы работы Сан Жуана (1947 г.), Флейшмана (1951 г.) и Пэйджа (1952 г.) [4—7]. Этими работами была подтверждена возможность выполнения действий умножения и деления над величинами, подобно тому, как эти действия в элементарной алгебре производятся над обычными числами. К величинам одного и того же рода применимы действия сложения и вычитания. Все эти операции, производимые над величинами, получили название исчисление величин (quantity al ulus). Обычно геометрический характер (скалярный, векторный, тензорный) при исчислении величин не принимается во внимание, хотя в работах последнего времени [8, 9] эти свойства величин также рассматриваются. В настоящей статье предполагается, что векторы и тензоры представлены их составляющими. [c.37]

Теорема. Рассмотрим действие группы в векторном пространстве V и соответствующую ей группу преобразований в пространстве тензоров Ь над V. Жордановы цепочки производящего оператора этой группы в пространстве тензоров можно выбрать центрированными (такими, что крайние элементы каждой цепочки имеют противоположные веса, и при движении вдоль каждой цепочки вес каждый раз уменьшается яа 2, как в формуле (3)). [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...