Функции Выражение одной функции

В отличие от обратимых процессов при анализе необратимых процессов по известному аналитическому выражению одной из характеристических функции тела или уравнению состояния данного тела и зависимости для теплоемкости Су или j, могут быть определены не произведенная работа L или L и поглощенная теплота Q, а лишь разность L—Q или L —Q, равная, согласно 1.8 убыли внутренней энергии или энтальпии тела. Если Q или L равны нулю (равенство Q = Q имеет место при адиабатическом процессе, а равенство L =0 — в случае предельно необратимого процесса), то могут быть найдены также значения L или L и Q. В самом общем случае для раздельного определения Q и L пли L необходимо знать характеристические функции как самого тела, так [c.280]

Решение профессором Гамильтоном этой замечательной проблемы содержит, действительно, одну неизвестную функцию, именно — главную функцию 5, к изучению и отысканию которой сводится математическая динамика. Эта функция не может быть смешана с прекрасно известной функцией Лагранжа ) для простого и удобного выражения известных уравнений движения. Функция Лагранжа ставит, функция Гамильтона решает проблему. Одна годится для того, чтобы образовать дифференциальные уравнения [c.285]

Выражение одной функции через другую 74 [c.1003]

Выражение одной функции через другую (того же угла) --tg а 1 У S а — 1 1 [c.84]

Выражение одной функции через другую (того же угла) [c.531]

Выражение одной функции через другие 85 [c.601]

Выражение (4.22) существует и не зависит от специального выбора функции /, в чем можно просто убедиться, повторив ход рассуждений второго шага. Это выражение определяет функцию rусловия симметрии относительно аргументов x , вещественности и трансляционной инвариантности вьшолняются тривиально. Принадлежность носителя к области (х — х,) V+ следует из свойств носителей функций О и / (наша процедура так специально и строилась, чтобы условия на носитель выполнялись). Единственное условие, которое еще нуждается в проверке,— это требование лоренц-инвариантности. Пусть Л — преобразование из собственной группы Лоренца. Очевидно, что функции (ЛЕ) и fi (Ах. АХ) обладают всеми необходимыми свойствами вспомогательных функций б и и поэтому замена одних функций другими в формуле (4.22) [c.50]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

Здесь и в дальнейшем обозначение одной и той же функции, выраженной В обобщенных координатах и в канонических переменных, принято одинаковым. [c.367]

Далее в этой главе будет введена более удобная запись уравнений движения, ковариантная по отношению к произвольным точечным преобразованиям i) вида (4). Эта запись для системы из N точек будет содержать только ЗЛ/- -1 функций, меняющихся при преобразовании координат выражения для этих функций сравнительно просты, и они имеют ясный механический смысл. Более того, в важном случае движения в произвольном потенциальном (в том числе и в нестационарном) поле уравнения, описывающие систему из N точек, будут содержать лишь одну такую функцию. [c.123]

После подстановки в явной форме выражения для/(г , Т о, АГо) в левой части формулы (69) получается эллиптический интеграл, и таким образом, задача сводится к одной простой квадратуре — эллиптическому интегралу. Интегралы такого рода хорошо изучены, и для них составлены специальные таблицы. Вычислив этот интеграл, т. е. найдя t как функцию от л и трех произвольных постоянных S, Ко и То, определяемых начальными данными, а затем разрешив полученное соотношение относительно г, нужно вернуться к уравнениям (66) и подставить в их правые части найденное выражение г. Тогда р vi q тоже будут найдены как функции t и указанных трех произвольных постоянных. Уравнения (60) полностью проинтегрированы, причем были использованы два готовых первых интеграла, даваемых законами сохранения, и лишь один раз пришлось вычислить интеграл. [c.198]

Степень важности /-го критерия в выражении (25.1) определяется весовым коэффициентом у/, который сводит значения всех целевых функций к одной размерности или к безразмерным величинам. Коэффициенты > О устанавливаются в зависимости от назначения машины с учетом опыта эксплуатации и в процессе оптимизации обычно остаются постоянными. Примерами таких комплексных целевых функций являются зависимости, расс.мот- [c.315]

Возвратимся к уравнению (11.232). Подставляя в это уравнение выражение (а) и учитывая, что А и а — функции времени, получим нелинейное дифференциальное уравнение с неизвестными функциями A(t) и a(t). Это уравнение можно упростить, воспользовавшись условиями (с) и произволом выбора одной из двух неизвестных функций, удовлетворяющих одному уравнению. Чтобы осуществить эту программу, будем следовать работе Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси ). [c.285]

Из уравнения (31,3) может быть определена, в принципе, деформация тела при произвольно заданном распределении температуры. Подстановка полученного таким образом для div и выражения в уравнение (31,2) приведет к уравнению, определяющему распределение температуры, в котором неизвестной функцией является одна только Т х, у, г, t). [c.175]

Целесообразность именно такого определения всех коэффициентов иллюстрируется следующим выражением диссипативной функции, которое оно принимает при выборе одной из осей координат (оси г) вдоль направления п [c.216]

Во всех случаях, когда получено общее или численное выражение величины приведенной скорости Я или какой-либо одной из его функций, можно считать, что известны все газодинамические функции и % (из таблиц или графиков). Это является основным условием упрощения выкладок, так как исключает необходимость получения в явном виде зависимостей между 1 и его функциями. При численных расчетах следует учитывать, что функции т(Х), я(>.), е(к) в области малых скоростей и функции 2(Х), f(i) при околозвуковых скоростях очень мало изменяются с изменением величины X. Поэтому в указанных областях незначительная погрешность в значении функций может привести к большой ошибке при вычислении приведенной скорости X. Таких вычислений следует избегать и но возможности использовать в этих случаях другие уравнения, включающие, например, функции /(Х), г(Х). Если это но каким-либо причинам невозможно, то надо вести все предварительные подсчеты с высокой степенью точности. Понятно, что в этих областях не рекомендуется определять К по указанным функциям с помощью графиков. В особенности это относится к функции г(Х), которая в широких пределах изменения X (от 0,65 до 1,55) изменяется всего на 10 %. Поэтому для нахождения к по значению функции z(X) в области околозвуковых скоростей можно вычислять возможные значения Л непосредственно из уравнения [c.259]

Правая часть этого выражения содержит только две независимые переменные 2 и и, следовательно, имеет интегрирующий множитель. Легко убедиться, что интегрирующим множителем выражения для dQ будет служить величина, обозначаемая через 1/Т, которая является функцией только одной температуры t, и определяется условием [c.69]

В отличие от обратимых процессов при анализе необратимых процессов по известному аналитическому выражению одной из характеристических функций тела или уравнению состояния данного тела и зависимости для теплоемкости С]/ или Ср могут быть определены не произведенная работа L или Ь и поглощенная теплота Q, а лишь разность Ь — Q или Ь — равная согласно выражениям (2.7) и (2.8) убыли внутренней энергии или энтальпии тела. Только если Q или Ь равняются нулю (равенство (2 = 0 имеет место при адиабатическом процессе, а равенство В = 0 — в случае предельно необратимого процесса), отсюда может быть найдено также значение Т и Т или Q. В самом общем случае для раздельного определения Q и Ь или Ь нужно знать характеристические функции как самого тела, так и окружающей среды и их изменение в рассматриваемом необратимом процессе. При этом всегда произведенная полезная внешняя работа будет меньше по сравнению с работой происходящего в тех же условиях обратимого процесса, а количество полученной и отданной телом теплоты соответственно меньше и больше. [c.159]

Перейдем к вопросу о единственности решений и начнем с рассмотрения статических задач. Будем предполагать, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией. Тогда для этих смещений в области О, ограниченной, вообще говоря, кусочно-гладкой поверхностью 5, справедливо третье неравенство Бетти (4.26) гл. И. Пусть 1 (р) и 2(р) — два различных регулярных решения, удовлетворяющие одним и тем же краевым условиям первой, второй или сразу в общем случае смешанной задач. Тогда интеграл в правой части (4.26) гл. II для разности смещений окажется равным нулю. Поскольку же подынтегральное выражение в левой части является положительно определенной формой, то из равенства нулю интеграла будет следовать, что подынтегральное выражение есть тождественный нуль. Следовательно, напряжения будут обращаться в нуль, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Однако в случае первой и смешанной задач необходимо исключить это смещение, поскольку тогда нарушаются условия на той части границы, где заданы смещения. [c.251]

Получение передаточной функции является, как правило, первым шагом в исследовании динамики технологического объекта. Несмотря на то, что знание передаточной функции W(p) дает полную информацию о динамических свойствах объекта, часто в различных конкретных задачах бывает удобно использовать для характеристики объекта не W (р), а весовую функцию g t) или переходную функцию h(t). Выше уже отмечалось, что h t), например, является самой естественной характеристикой процесса перехода объекта из одного стационарного режима работы в другой, поскольку непосредственно описывает изменение выходного параметра при таком переходе. Поэтому, после того как получено аналитическое выражение для передаточной функции, возникает задача применения к ней обратного преобразования Лапласа с тем, чтобы получить весовую функцию g t) и переходную функцию h t). Такая задача часто оказывается трудноразрешимой, поскольку аналитическое выражение передаточных функций объектов с распределенными параметрами имеет очень сложный вид. В связи с этим применяются различные методы получения приближенного выражения для весовой и переходной функций с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции W p). Указанные методы можно разделить на две группы. [c.107]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемешиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (в ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При eQ( i,) = 0 уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 0g(->i , t)- При этом для получения решения o(Jf, t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию L x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Термодинамические температуры Т, Т" зависят только от эмпирической температуры /. Следовательно, правая часть последнего выражения есть функция t. Так как S есть функция параметров системы, то левая часть соотношения в рассматриваемом случае двухпараметрической системы зависит от двух переменных, например от t и еще одного параметра. Поэтому указанное равенство возможно лишь в том случае, если и левая и правая части равны одной и той же постоянной величине, которую мы обозначим через е [c.88]

Выражение (138) показывает, что взаимные глубины — это такие глубины, при которых прыжковая функция имеет одно и то же значение. [c.126]

Зная одну из характеристических функций, т. е. аналитическое выражение этой функции через соответствующие независимые переменные, всегда можно определить в явной форме все другие термодинамические величины, характеризующие рассматриваемую систему, в том числе термодинамические потенциалы, а также выражения для теплоемкостей Ср и Су и уравнение состояния. Для этого достаточно, как это видно из уравнения (3-25), (3-26) и (4-15), продифференцировать характеристическую функцию по соответствующим переменным в частности, третье и четвертое из уравнений левого столбца (4-15), определяющие р как функцию 7 и V или V как функцию р и Т, представляют собой уравнение состояния однородного тела. [c.114]

В отличие от обратимых процессов при анализе необратимых процессов по известному аналитическому выражению одной из характеристических функций тела или уравнению состояния данного тела и зависимости для теплоемкости v или Ср могут быть определены не сама произведенная работа L или L и поглощенное тепло Q, а лишь разность L—или и— Q, равная согласно (2-8) и (2-9) убыли энтальпии или внутренней энергии тела. Только если Q или L равняются нулю, как это имеет место в адиабатическом и предельно необратимом процессах, отсюда может быть найдено также значение L или Q. В самом общем случае для раздельного определения Q и L или L нужно знать характеристические функции как самого тела, так и окружающей среды и их изменение в рассматриваемом необратимом процессе. [c.152]

Задача не будет вполне определенной, если в формулировке ничего не добавить относительно природы силы. Чтобы задача стала определенной, необходимо задать переменную, в функции которой должна быть выражена сила. Если нить лежит в плоскости хОу и сила Y ёв параллельна оси Оу, то V может быть выражен в функции одной из величин X, у, в, а, где а — угол касательной с осью Ох, или в функции нескольких из этих величин сра.зу. Например, если заданная кривая есть окружность х - -у- — a = 0, то естественное уравнение (п. 138) будет [c.204]

Эти формулы определяют проекции скорости точки, выраженные в функции ее координат через частные производные одной функции W. Так как эта функция удовлетворяет уравнению (J"), то [c.481]

В этом случае в выражении для функции Н переменные разделены в каждую функцию входит только одна пара сопряженных переменных qi, р . [c.162]

В самом деле, если бы мы пожелали получить действительные силы 3, П, S. . которые, будучи направлены по координатам тс, ч,. . ., способны заменить силы Р, Q, R, S,.. . , то следовало бы начать с того, чтобы в уравнении вместо дифференциалов d , dzz, da,. .. подставить их выражения в функции самих виртуальных скоростей эти значения, как в ц. 3, я обозначу через S5, Sir, So,. .. далее следует объединить в виде одного члена все члены, в состав которых входит 85, точно так же в один член объединить все члены, в состав которых входит бтт,. . . тогда наше прежнее уравнение будет представлено в следующем новом виде [c.535]

Затем вместо о",. . . и вместо Ф, Ф",. . . следует подставить их выражения в функции средних аномалий и, и",. . . , согласно формулам пунктов 21 и 22 при разложении мы ограничимся тем, что примем во внимание вторые измерения эксцентриситетов е, е",. .. и углов взаимного наклона Г,, Г," между орбитами т", т ",. .. и орбитами т, рассматривая эти величины как очень малые одного и того же порядка и отбрасывая те члены, в которых они образуют произведения выше второго измерения. [c.148]

Следует подчеркнуть, что возмущение обусловлено теми же ангармоническими членами в выражении потенциальной функции, от которых зависят члены в сериальной формуле для уровней энергии. Эти последние члены связаны с суммарным эффектом от возмущения данного уровня большим числом других колебательных уровней, причем каждый из них дает, по формуле (2,292), добавочную энергию ] 1 /S. С другой стороны, резонансное возмущение обусловлено воздействием только одного особенно близко расположенного уровня. Далее, при вычислении членов xntViVf, всегда используют значения энергии и собственные функции, полученные в приближении гармонического осциллятора. В противоположность этому для вычисления возмущений по формулам (2,289) и (2,291) можно также использовать значения энергии уровней с учетом ангармоничности по (2,271) и (2,281) и соответствующие им собственные функции. [c.236]

Функция V называется знакоопределенной, если она однозначна, непрерывна, не зависит от времени t и для достаточно малых по абсолютным значениям координат Хг имеет определенный знак, не обращаясь в нуль. Начало координат является нулем функции V. Если функция V зависит от I, то ее называют знакоопределенной тогда, когда можно указать такую независимую от t положительно определенную функцию , чтобы одно из выражений V—W или —(V + ) было бы положительной [c.219]

Применительно к рассматриваемой задаче о трещине, следуя предложению Вестергарда, выразим ф и х черех одну функцию Z (z) согласно выражениям [c.373]

Одним из наиболее эффективных вариационных методов является метод Рэлея — Ритца. По этому методу решение представляется в виде выражения, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неизвестные коэффициенты h, где k= ,2, 3, 4,. .. Затем вычисляется значение потенциальной или дополнительной энергии. Полученные таким образом выражения будут функциями коэффи- [c.215]

Рассмотрим ортогопализацию в случае двукратного вырождения. Пусть неортогональными собственными функциями, принадлежащими одному и тому же собственному значению, будут функции и Ч р (они нормированы на I). В соответствии с формулой (42.1) можно написать для искомых ортогонализированных функций следующие выражения [c.239]

В слабых диффузорных потоках (/ < 0) на пластинке (/ = 0) и в конфузорной области (f > 0) экспериментальные точки ложатся на одни кривые. Для простоты расчета можно Я и в указанной области брать постоянными. Тогда F f) по (XIII.22) будет линейной функцией F = а — bf, такой же, как и для ламинарного слоя, но с коэффициентами, равными а = 1,17, Ь — = 4,8-ь5,0 [при Я = 1,33-7-1,41 и (0) = 1]. Используя эти коэффициенты, по (XIИ.22) получим выражение для функции F (f), которое подставим затем в уравнение (XIII.18). [c.338]

Таким образом, намечаются три пути решения задачи 1) в перемещениях, когда решается система уравнений (17.24) и отысканию подлежат функции и (.v, у), v (х, у) 2) в усилиях, когда решается система уравнений (17.22), (17.26) и отысканию подлежат функции Nx, Ny, Nxy. 3) в усилиях, выраженных через функцию усилий Ф в однородной задаче, когда отысканию подлежит одна функция Ф (л, у), удовлетворяющая уравнению (17.27). К этим уравнениям необходилю присоединить соответствующие задаче краевые условия. [c.412]

Для тел, подчиняющихся требованиям одного из вариантов принципа соответствия, приведенных в разд. III, вязкоупругий анализ выполняется сразу, если имеется упругое решение. Для таких случаев обычно удобно сначала получить квазиупругое решение для переходной проводимости, а затем — если нагружение переменно во времени — использовать интеграл суперпозиции. При этом наибольшая точность получается в том случае, когда при заданных поверхностных и/или массовых силах в упругом решении используются функции ползучести, а при заданных перемещениях — функции релаксации. Однако даже если последние условия не выполняются (т. е. если при заданных силах берутся функции релаксации и применяется приближенное соотношение (95), то ошибка все равно остается малой, особенно в случае, когда вязкоупругими фазами являются жесткие полимеры (Мак-Каммонд [66], Симс [106]). Для других видов фаз с резко выраженными вязкоупругими свойствами, когда необходимо выразить фувкцию ползучести через функцию реллксации, желательно использовать точное соотношение (93) и обратное преобразование Лапласа. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...