Связанные линейные осцилляторы

Б. Пусть 7 = О, т. е. имеем два связанных линейных осциллятора. [c.434]

Пусть 77 = о, т.е. имеется два связанных линейных осциллятора. Тогда 92,1 О, /(тг) -4(т (7г - [c.321]

Связанные линейные осцилляторы [c.190]

Наличие в среде связанных комплексов (осцилляторов, атомов и т. п.) с характерными масштабами длины d и скорости V (см. выше) может изменить ситуацию. Для применимости борновского приближения теперь необходимо выполнение условия rj применительно к комплексам (см. (52)). При его нарушении вклад линейных эффектов может оказаться значительным. [c.244]

Для того чтобы последующие рассуждения были более ясны, рассмотрим в качестве примера колебательные возбуждения кристаллической решетки. До тех пор, пока колебания являются малыми, решетку можно рассматривать как совокупность связанных гармонических осцилляторов. Введя нормальные координаты, мы получим систему ЗМ (М — число атомов) линейных осцилляторов с собственными частотами ш,. Согласно квантовой механике, энергетический спектр [c.11]

В этой главе мы изложим теорему, впервые доказанную Мозе ром и обобщающую более ранние результаты Колмогорова и Арнольда. Задача, о которой идет речь, включает в себя в качестве частных случаев задачи, рассмотренные в разд. 3.9, 5.2 и 5.3. Как мы уже знаем, система линейно связанных гармонических осцилляторов может совершать колебания на нескольких основных частотах так, что совместное движение всей системы оказывается частным случаем квазипериодического движения. В этой главе мы попытаемся ответить на важный вопрос могут ли нелинейно связанные осцилляторы также совершать квазипериодическое движение Сами осцилляторы при этом могут быть не только линейными, но и нелинейными. [c.207]

Резонансные возмущения описывают перенос энергии между волновыми компонентами по аналогии с явлением биения линейных связанных настроенных осцилляторов. Если поля состоят из конечного числа дискретных компонент, то эволюцию полей можно определить, переписывая вековые члены в разложении возмущения как скорость медленного изменения волновых амплитуд во времени [1, 2, 4]. Для случайных полей мы будем интересоваться эволюцией спектра. Мы примем здесь, по существу, тот же самый подход сначала определим из уравнений возмущений вековые члены разложения возмущений для спектра, затем перепишем их как скорость изменения медленно меняющегося спектра. (Между этими двумя случаями находится задача о рассеянии отдельной волны случайными полями [5, 26]. Наша теория дает соотношения интенсивностей для этой задачи, но не флуктуации фазы.) [c.113]

Первый член выражения представляет собой нулевую энергию (при абсолютном нуле), второй член — температурно-зависимая часть энергии. При низких температурах энергия Е и связанная с ней теплоемкость йО (И становятся сравнительно малы. Так как второй член уравнения характеризует среднюю энергию Е линейного осциллятора, энергия грамм-атома, имеющего N=3 степени свободы, равна Е = ЗЫЕ . [c.31]

Несмотря на то что мы получили этот результат на примере отдельного линейного осциллятора, становится ясным, что в рамках чисто гармонического приближения невозможно объяснить явления теплового расширения и для более сложных систем, в частности для системы многих связанных осцилляторов, каким является твердое тело. [c.589]

В дискретных системах, состоящих из N связанных гармонич. осцилляторов (напр., механич. маятников, колебательных конт,уров), число И. к. равно N. В распределённых системах (струна, мембрана, резонатор) существует бесконечное, но счётное множество И. к. Произвольное свободное движение колебат. системы может быть представлено в виде суперпозиции Н. к. при этом полная энергия движения распадается на сумму парциальных энергий, отдельных Н. к. Т. о., линейная система ведёт себя, как набор независимых гармонич. осцилляторов, к-рые могут быть выбраны в кач-ве обобщённых норм, координат, описывающих движение в целом. Однако в динамич. системах могут существовать и собств. движения, не сводящиеся к Н. к. (равномерные вращения, постоянные токи и др.). [c.470]

Уу (/ = 1,. .., л), приводящее систему (2. 92) к нормальной форме. Нормальной формой системы уравнений (2.92) будем называть такую систему дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона, равная алгебраической сумме гамильтонианов п линейных, не связанных между собой осцилляторов [c.125]

Следует добавить, что перечисленные трудности присущи только задаче, связанной с гармоническим осциллятором, поскольку в этом случае — и только в этом случае — невозмущенное уравнение движения представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение. Вместе с тем, поскольку уравнение движения гармонического осциллятора едва ли не самое важное в теоретической физике, отмеченные трудности достаточно серьезны. [c.188]

Предварительные замечания. Большое число задач динамики механизмов сводится к анализу динамических моделей,,параметры которых изменяются во времени. Для решения этих задач могут быть использованы различные подходы [9, 21, 38, 41, 60, 61, 77, 78, 79], выбор которых во многом зависит от специфики исследуемой системы и поставленной цели динамического расчета. Ниже рассматривается одна из возможных аналогий между параметрическими колебаниями в исходной системе и вынужденными колебаниями в некоторой вспомогательной модели, названной условным осциллятором [21, 25, 28]. Основанный на этой аналогии метод оказывается хорошо приспособленным к кругу инженерных задач динамики механизмов. В частности, в рамках единого подхода удается исследовать параметрические явления, связанные с потерей динамической устойчивости системы, а также строить приближенные решения при медленных и резких изменениях параметров механизма. Метод условного осциллятора может быть отнесен к группе методов анализа линейных нестационарных систем, содержаш,их большой параметр [61, 77, 79]. [c.139]

Понятие Л. в. в.)> удобно рассмотреть на примере линейного взаимодействия колебаний. Напр., для системы связанных осцилляторов [c.584]

В отличие от линейных систем, в Н. с. возможно взаимодействие колебаний (или волн) между собой. Такое взаимодействие имеет, наир., место в системе трёх нелинейно связанных осцилляторов, описываемой системой ур-ний [c.313]

Резонанс в линейных колебательных системах с несколькими степенями свободы. Колебат. системы с иеск. степенями свободы представляют собой совокупность взаимодействующих осцилляторов. Примером может служить пара колебат. контуров, связанных за счёт взаимной индукции (рис. 4). Вынужденные колебания в такой системе описываются ур-ниями [c.309]

Из термодинамических соображений ясно, что вид искомой функции i/i,,(7 ) не должен зависеть от того, с какими телами излучение находится в тепловом равновесии. Поэтому, следуя Планку, рассмотрим простейший пример излучающего тела — линейный гармонический осциллятор с собственной частотой шо, зарядом е и массой т (электрон, связанный квазиупругой силой). [c.426]

Линейные системы, близкие к консервативным. Роль близости собственных частот. Рассмотрим малые колебания системы с двумя степенями свободы. Согласно п. 3 такую систему можно представить в виде двух связанных осцилляторов. Считая систему близкой к линейной консервативной, найДем условия устойчивости и покажем, что в возникновении неустойчивости таких систем существенную роль играют не величины связей, а величины связанностей, понятие которых было введено Л. И. Мандельштамом. [c.256]

Для одноосного нагружения веществ в твердом состоянии можно проследить влияние напряжения на коэффициент температурного расширения, рассматривая колебания атомов в линейной цепи связанных осцилляторов. С учетом ангармоничности колебаний сила, возвращающая атом в положение равновесия, определяется как [c.47]

В теории колебаний задача отыскания собственных частот осциллятора или системы связанных осцилляторов приводится к нахождению С. з. линейного оператора. При этом оператор не всегда эрмитов, а комплексные собственные частоты соответствуют затуханию или нарастанию колебаний. Физич. требования определяют выбор знака мнимой части С. з. [c.566]

Вследствие того что осцилляторы в рассматриваемом приближении являются независимыми, одновременно не могут происходить переходы, соответствующие двум или нескольким колебаниям. Аналогично случаю двухатомных молекул. при переходах в инфракрасном спектре изменение колебательного квантового числа Дг),- = 1, может происходить только при колебаниях, связанных с изменением дипольного момента, в комбинационном же спектре это правило отбора соответствует колебаниям, связанным с (линейным) изменением поляризуемости. При рассмотрении формулы (2,61) для колебательных уровней энергии, применимой в нашем приближении, видно, что частоты инфракрасных полос и комбинационных линий равны действительным частотам колебаний, выраженным в см [c.270]

Отметим, что евклидов аналог рассматриваемой задачи тривиален — разделение возможно уже в декартовых координатах (получается п линейных связанных осцилляторов). При этом расположение гуковских центров произвольно. В криволинейной ситуации, уже на двумерной сфере, задача [c.334]

Рассмотрим надбарьерное отражение (см. 9) и аналогичный случай для двух связанных осцилляторов (см. 14) в другом плане. Если А ж В — коэффициенты при двух линейно-независимых решениях уравнения [c.57]

Представим уравнение четвертого порядка с линейными коэффициентами при членах с нулевой и второй производной в виде системы двух уравнений второго порядка, соответствующих связанным осцилляторам [c.73]

При изучении мод и стоячих волн мы узнали, что непрерывную среду можно характеризовать двумя параметрами возвращающей силой и инерцией . Для непрерывной струны возвращающая сила определяется натяжением То в равновесном состоянии, а инерция определяется линейной плотностью ро- У передающей линии соответствующими параметрами являются (С/а) т. е. величина, обратная емкости на единицу длины, и Ыа — индуктивность на единицу длины. Для продольных волн в струне параметр, характеризующий возвращающую силу,— это Ка, а параметр, определяющий инерцию, равен УЙ/а=ро. Для звуковых волн такими параметрами соответственно являются уро и объемная плотность ро. Во всех случаях моды стоячих волн ведут себя аналогично простому гармоническому осциллятору. (Для таких систем, как связанные маятники или широкополосный фильтр, нам необходим еще один параметр, а именно граничная частота.) [c.181]

Воспользуемся обычно приводимыми простейшими примерами связанных осцилляторов (рис. 2.1). Это, в частности, два математических маятника длиной /1 и /2 с одинаковыми массами грузов пц = Ш2 = т, находящиеся в поле тяготения. Маятники связаны невесомой пружиной с жесткостью к (рис. 2.1г). Движение такой консервативной системы с двумя степенями свободы в линейном приближении описывают уравнения [c.38]

Изложим общую теорию малых колебаний двух связанных осцилляторов — линейной консервативной системы с двумя степенями свободы [3], для описания которой следует ввести две обобщенные координаты X и у. Уравнения движения такой системы удобно записать в лагранжевой форме [4] [c.40]

Рассмотрим несколько ярких примеров проявления резонанса. В главе 2 описан резонатор Гельмгольца как цример гармонического осциллятора. Напомним, что для него при использованных допущениях можно считать всю кинетическую энергию сосредоточенной в слое воздуха, движущемся в горлышке резонатора, а потенциальную энергию, связанной с упругой деформацией воздуха, заключенного в широкой части резонатора (аналогия с пружинным маятником). Потери в резонаторе Гельмгольца связаны с трением в отверстии резонатора и излучением звука. Будем как обычно хараетеризовать их слагаемым 2ух в уравнении линейного осциллятора, Если поместить резонатор Гельмгольца в гармоническое звуковое поле с частотой и и амплитудой давления Р,, то в нем возникнут вынужденные колебания с амплитудой [c.97]

Периоды решетки есть а . Индекс / означает номер атома в элементарной ячейке п. Индекс а соответствует проекции вектора смещения и, Ап %ч — коэффициенты разложения. Выражение (2.1) представляет собой не что иное, как энергию системы связанных осцилляторов. Как известно, путем линейного преобразования координат осцилляторов, а в данном случае векторов квадратичную форму (2.1) можно диагонализовать, плсле чего мы получим систему невзаимодействующих линейных осцилляторов. Энергия в этом случае будет представлять собой сумму энергий отдельных осцилляторов. [c.22]

Затягивание пассивной моды происходит всегда по направлению к центру линии и является линейным в том смысле, что затя-1иванне пропорционально расстоянию моды пассивного резонатора от центра лннпи. О коэффпциеите о в приведенной выше формуле, представляющем собой отношение ширины линии резонатора к ширине однородной линии, говорят как об отношении стабилизации . Его типичная величина лежит между 0,1 и 0,01. Ситуация аналогична той, которая плюет место в случае двух простых связанных гармонических осцилляторов с различными [c.31]

Две главы, 5 и 6, посвящены теории связанных (линейно или нелинейно) осцилляторов. В ее развитие внесли вклад многие выдающиеся математики, механики и физики, и ей посвящены лшогие монографии и учебные пособия. Тем не менее обе главы во многом оригинальны, очень содержательны и чрезвычайно интересны. В них, в частности, излагается теорема Мозера, обобщающая известные результаты Колмогорова и Арнольда. Автор пытается решить вопрос Могут ли нелинейно связанные осцилляторы совершать квазипериодические движения — вопрос очень актуальный в связи с проблемой возникновения турбулентности. Полное доказательство теоремы Мозера о существовании квазипериодиче-ских решений дано в приложениях к основному тексту. [c.8]

Когда речь заходит об осцилляторах, большинство из пас, по-видимому, прежде всего представляет себе механические осцилляторы, такие, как пружины. Еще один не менее известный пример механического осциллятора — маятник. Если амплитуда колебаний достаточно мала, то маятник можно рассматривать как линейный осциллятор, но при больших амплитудах это — нелинейный осциллятор. Во многих случаях, представляющих значительный интерес для практических приложений, нам приходится иметь дело со связанными осцилляторами. Достаточно взять какое-нибудь упругое тело математической моделью его служит система связанных между собой конечных элементов, каждьи из которых может быть представлен осциллятором. Такого рода математические модели играют важную роль в механике, например при расчете вибрации двигателей или высотных сооружений или флаттера крыла самолета. Разумеется, иногда мы рассматриваем предельные случаи, в которых конечные элементы аппроксимируют непрерывное распределение, соответствующее нашему исходному представлению о сплошной среде. Колебания встречаются не только в механике, но и в электро- и радиотехнике. Здесь нам приходится иметь дело не только с колебательными контурами на старых электронных лампах, но и с новыми устройствами с колебательными контурами иа транзисторах и других электронных приборах. [c.189]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

Нормальные колебания. Рассмотрим сначала возбуждения, связанные с колебаниями решетки, которые встречаются во всех твердых телах. Точно оннсать состояния всех атомов очень трудно, так как нотенциальная энергия такой системы зависит от разно( ти координат каждой нары атомов. Однако для малых амплитуд колебаний около положений равновесия силы, действующие между атомами, можно ириближенно рассматривать как гармонические. Тогда координаты отдельных атомов можно заменить их линейными комбинациями (называемыми нормальными координатами), подобранными таким образом, чтобы выражения для кинетической и потенциальной энергий содержали только квадраты нормальных координат и их производных по времени. Поскольку в этом случае выражения для энергпп уже не будут содержать произведений координат разных атомов, такую систему можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов. Число таких осцилляторов для кристалла, содержащего N атомов, будет равно 37V, что соответствует трем степеням свободы каждого атома. [c.317]

Вынужденные колебания ). Выше (в 9.10) мы уже рассматривали вынужденные колебания осциллятора с затуханием. Уравнение движения такой системы является линейным. Переход к исследованию вынужденных колебаний нелинейных систем связан с весьма большими трудностями, и обычно, чтобы достигнуть прогресса, приходится вводить упрощаюш ие предположения, которые часто бывает трудно оправдать. Поясним это на примере движения математического маятника (пример 5.2А), на который действует дополнительная малая горизонтальная сила таг sin pt, где 8 — малый параметр. Уравнение движения маятника запишется в виде [c.481]

Динамика колебаний. Свободные, пли собственные, К. являются движением системы, предоставленной самой себе, в отсутствие внеш. воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно к-рому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы такие движения описываются линейными (в частности, дифференц.) ур-ниями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь или притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени (о переменных параметрах будет сказано ниже), то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определ. собств. частотами. В колебат. системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из JY связанных осцилляторов напр., цепочка из колебат, электрич. контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно 7V. В системах с распреде лёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бескопечное множество. Напр,, для струны с закреплёнными концами длиной L моды отличаются числом полуволн , к-рые можно уложить на всей длине струны L — nX 2 (д=0, 1, 2,. . ., оо). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собств. частот определится ф-лой [c.401]

Вынужденное комбинац. рассеяние (ВКР) происходит на когерентно возбуждённых оптич. фононах. Для классич. описания процесса ВКР используют модель нелинейно связанных осцилляторов. Обозначим через X нормальную координату колебаний атомов в молекуле изотропной среды, а через у — нормальную координату колебаний оптических электронов. В линейном приближении колебания атомов и определяющие поляризацию среды колебания электронов совершаются независимо друг от друга. При учёте нелинейной связи потенц. энергию молекулы можно представить в виде [c.303]

H. у. может вычисляться по ф-ле Лш, где R — радиус окружности, ы — угл. скорость вращения этого радиуса. При прямолинейном движении Н. у. равно нулю. НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ (собственные волны) — бегущие гармоннч. волны в линейной динамической системе с пост, параметрами, в к-рой можно пренебречь поглощением и рассеянием энергии. Н. в. являются обобщением понятия нормальных колебаний на открытые области пространства и незамкнутые волноводные системы, в т. ч. на однородные и неоднородные безграничные среды, разл. типы волноводов и волновых каналов, струны, стержни, замедляющие системы, цепочки связанных осцилляторов и др. [c.360]

Если в соответствии с положениями, изложенными в предыдущем разделе, мы построим металлический кристалл, то он будет содержать примерно 10 атом/см . Что же происходит с энерге-тичёскими уровнями (или соответствующими им частотами) отдельных свободных атомов, из которых построен кристалл Мы уже видели, что линейные комбинации волновых функций, соответствующих свободным частицам, описывают эффект возмущения первоначально вырожденных (т. е. неразличимых) энергетических уровней. Это явление можно схематически проиллюстрировать с помощью следующей механической аналогии. На фиг. 3, а изображена механическая аналогия четырех изолированных невзаимодействующих атомов четыре одинаковые пружины с грузами. Все грузы будут колебаться, как простые гармонические осцилляторы, с одной и той же частотой. На фиг. 3, б изображены те же четыре механических осциллятора, но на этот раз они взаимодействуют друг с другом благодаря наличию связывающих их пружин. Если предположить, что все краевые эффекты пренебрежимо малы (а это было бы действительно так, если бы осцилляторов было не четыре, а 10 ), то в нашей связанной системе окажутся возмож- [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...