Уравнения для волн на воде

Уравнения для волн на воде [c.415]

Задача, которую мы только что рассматривали, в действительности совпадает с задачей об отражении цуга плоских волн от бесконечной плоской стены. Так как выражение в правой части уравнения (1) является четной функцией у, то 5 симметрично относительно оси х-ов, и, следовательно, движение поперек этой оси отсутствует. При этих условиях очевидно, что на движение нисколько бы не повлияло, если бы мы расположили вдоль оси л -ов абсолютно неподвижную стену. Если а есть угол между поверхностью и направлением распространения падающих волн, то скорость, с которой движутся места максимального сжатия вдоль стены (соответствующие местам наибольшего возвышения для волн на воде), равна а/соз а. Следует заметить, что воздушные давления не имеют тенденции перемещать стену как целое, за исключением случая абсолютно перпендикулярного падения, так как в любой момент времени их столько же положительных, сколько и отрицательных. [c.82]

Очевидно, что волны в океане являются гравитационными. Дисперсионное уравнение для волн на мелкой воде в пренебрежении дисперсией имеет вид со = y/ghk, где h — глубина жидкости. Поэтому групповая скорость таких волн совпадает с фазовой и равна V = л/gh. Для оценки примем /г = 3 км, тогда V 170 м/с 600 км/ч. [c.94]

Приведем сначала решения, которые можно получить при помощи преобразования (17.6). Параметр а можно, конечно, исключить нормировкой как из (17.1), так и из (17.6), но в литературе использовались различные нормировки (отвечающие о = 1, о = 6, о = = —6), и имеет смысл оставить этот параметр свободным для удобства сопоставления результатов. Вывод уравнения (17.1) для волн на воде и его более общее значение как длинноволнового приближения в других контекстах (см. соотношение (17.4)) были объяснены в 13.11. [c.555]

Уравнения сохранения для волн на воде 535, 536 [c.612]

В то же время математические преобразования, которые при других способах могут оказаться трудоемкими, становятся простыми, если использовать функцию Лагранжа I. По-видимому, для отыскания вариационных принципов, отвечающих данной системе уравнений, не существует общего метода, отличного от эмпирического подхода. Однако для многих важных случаев такие вариационные принципы известны. Как это ни странно, по-видимому, соответствующей вариационной формулировки для волн на воде в литературе до сих пор дано не было заведомо, она не является общеизвестной. Волны на воде представляют собой основной пример, рассмотренный в этой статье в качестве типичного примера волн в средах с дисперсией. Первые два раздела статьи содержат изложение соответствующего вариационного принципа и приближений для длинных волн. [c.12]

Это — уравнение количества движения. Инвариантность лагранжиана 2 относительно произвольных постоянных изменений величин 0 и 1 приводит к вариационным уравнениям (35). Для волн на воде оказывается, что второе уравнение (35) соответствует уравнению сохранения массы. [c.30]

Метод граничных интегральных уравнений рассматривается применительно к задачам рассеяния поверхностных гравитационных волн на воде, вызванного островами и заливами, при постоянной и переменной глубине воды. Показывается также возможность применения метода для решения общих задач возникновения, распространения и набегания волн на препятствия. [c.18]

Теперь рассмотрим те вопросы теории волн на поверхности воды, для решения которых мы желаем применить метод ГИУ. Характерная особенность теории волн на воде заключается в наличии свободной поверхности или границы раздела с другой жидкостью (например, с атмосферой), на которой может поддерживаться волновое движение (где восстанавливающим механизмом является гравитация), даже если основное дифференциальное уравнение, описывающее движение внутри жидкости, будет эллиптическим, например уравнение Лапласа для потенциала скорости ф (v = УФ) в случае безвихревого течения невязкой и несжимаемой жидкости. Такие предположения обычно применяются в задачах о волнах на поверхности воды они существенно нарушаются тогда, когда происходят некоторые особые физические явления, например разрушение волн. Исключая эти явления и некоторые другие эффекты, например поверхностное натяжение и т. д., мы получим [2] для Ф следующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных внутри области D, занятой жидкостью [c.19]

Предполагается, что процесс распространения волн описывается уравнением (7), в котором оператор К действует на функции только пространственных переменных. Этот оператор в подходящим образом выбранном гильбертовом пространстве является симметричным и положительным, что влечет за собой закон сохранения энергии. В ряде задач допустима приближенная постановка, в которой этот оператор можно считать дифференциальным. Для определенности в дальнейшем мы будем говорить о волнах на воде. [c.313]

Это уравнение может быть сопоставлено с волновым уравнением для звуковых волн (разд. 1.1), в правой части которого содержится член с-з(9 ф/с . Однако в случае волн на воде, распространяющихся горизонтально с волновой скоростью с, каждый член в левой части уравнения (фактически — вторая производная по направлению распространения) имеет порядок с д Ц)1д1 . Эта величина гораздо больше, чем при [c.258]

Стокс отметил, что эти уравнения движения вязкой жидкости точно удовлетворяются, если мы описываем волны на воде решением уравнения Лапласа (5) для безвихревого течения. Так, дифференцируя уравнение (5) по а и 2 соответственно, мы получаем, что члены с коэффициентом ц в соотношениях (78) и (79) тождественно равны нулю. И только граничным условиям, присущ им вязкой жидкости, это решение не может удовлетворять, например, из-за наличия ненулевого горизонтального движения у дна. Мы объясним, как исправить этот недостаток путем введения пограничного слоя. [c.288]

Во всех случаях мы обнаружим, что уравнения, относящиеся к энергии (разд. 4.5), изменяются, так как имеет место энергообмен между волнами и средним течением. Мы дадим простую теорию этого энергообмена, применимую к звуковым волнам, волнам на воде и внутренним гравитационным волнам и пригодную также для изучения течений, генерируемых волнами (раздел 4.7) в дальнейшем (вторая часть эпилога) мы увидим, что один из основных результатов (сохранение волнового действия) является принципом очень большой общности, который может быть использован как ключ для анализа энергообмена в гораздо более широком классе случаев. [c.395]

При й=2я/Х-)-0 значение с (к) стремится к постоянной величине которая фигурирует в обычном волновом уравнении. Так, например, для гравитационных волн на глубокой тце с(к) = ]/ д/к (см. гл. 1), а для волн на мелкой воде при кк- О где Н — [c.82]

Уравнения (1.19) и (1.20) появляются в приближенных теориях длинных волн на воде. Не приводя здесь общих уравнений для линейных волн на воде, отметим, что они имеют решение вида (1.3), описывающее возмущения свободной поверхности, с [c.16]

В большинстве физических задач, в которых встречается это уравнение, функция р х, 1) является плотностью некоторой среды и по самой своей сущности однозначна. Поэтому, когда начинается опрокидывание, уравнение (2.2) перестает правильно описывать физический процесс. Даже в случаях, подобных волнам на воде, где многозначное решение для высоты поверхности можно по крайней мере интерпретировать, оказывается, что уравнение (2.2) не подходит для описания процесса. Дело в том, что какое-либо из предположений или приближенных соотношений, лежащих в основе уравнения (2.2), перестает быть справедливым. [c.30]

В первых двух главах данной части развиваются общие идеи для линейных систем. В главе 13 изучаются волны на воде мало того, что эта тема сама по себе захватывающа, ей обязаны своим происхождением многие идеи диспергирующих волн. В этой главе впервые речь идет о нелинейных диспергирующих волнах в соответствующем конкретном плане полученные здесь результаты служат основой для построения общей нелинейной теории в главах 14 и 15. Глава 16 посвящается различным приложениям этой теории. В главе 17 освещаются недавние работы по уединенным волнам (солитонам) и уравнениям специального вида. [c.348]

Для волн на глубокой воде (см. гл. 12) дисперсионное соотношение имеет вид 8 - Поэтому уравнение к) = х/1 приводит к формулам [c.363]

Вторая возможность состоит в том, что члены высшего порядка модуляционного приближения играют большую роль при ситуации, близкой к опрокидыванию, и препятствуют развитию многозначного решения. В общем случае легко убедиться (и это будет достаточно подробно показано в следующем параграфе), что за счет эффектов высшего порядка в уравнениях (15.2) и (15.3) обычно появляются дополнительные члены, содержащие производные третьего порядка. Внешне эти уравнения становятся подобными уравнениям Буссинеска и Кортевега — де Фриза. По аналогии можно ожидать, что опрокидывание подавляется этими дополнительными членами. Конечно, как и в случае волн на воде, дополнительные члены вводятся как малые поправки к крупномасштабным процессам и являются первыми членами бесконечного ряда высших производных. Было бы непоследовательно считать, что от них во всех случаях зависит, произойдет ли опрокидывание. Похоже на то, что это имеет место для малых симметричных модуляций, которые развиваются в серию уединенных волн, тогда как существенно асимметричные модуляции в некотором смысле опрокидываются. [c.501]

Неустойчивость для волн на глубокой воде впервые была установлена Бенджаменом [1] ) при помощи рядов Фурье, указанных в 15.6. Именно тогда была понята важность эллиптических уравнений модуляций и было выведено критическое значение kh(, = = 1,36 для случая конечной глубины. Это значение затем было подтверждено Бенджаменом с помощью его фурье-компонентного подхода. Такая последовательность событий указывает на ценную взаимосвязь двух подходов. [c.540]

Уравнения сохранения и скачки. Если осредненные уравнения являются гиперболическими, то некоторые решения будут рваться в том смысле, что непрерывное вначале решение будет становиться многозначным. Это явление аналогично возникновению ударных волн в газовой динамике. Однако в данном рассмотрении волн на воде это явление соответствует просто наложению двух частей цуга волн и не требует разрывов. Предсказание возникновения такого явления, в случае когда начальная форма близка к одиночному периодическому цугу волн, представляет самостоятельный интерес. Разумеется, после того как такое наложение произойдет, развитые здесь осредненные уравнения уже становятся неприменимы.ми. Здесь уже требуется обобщенная теория с возможностью появления более чем одной главной моды. По-видимому, такую теорию можно построить, причем в связи с этим может оказаться полезным рассмотрение взаимодействий для почти линейных мод. [c.29]

Для волн на глубокой воде кривая бесконечно малых амплитуд обращена выпуклостью вверх (фактически (к) равно У ). тогда как для конечных амплитуд величина со возрастает быстрее, чем Уё - В соответствии с этим кривая со = (к) обращена выпуклостью к точке (со, к) (и выражение (9) отрицательно) это согласуется с заключением Уизема в предыдущем докладе о том, что уравнения в этом случае эллиптичны. [c.50]

Как показывает уравнение (18), чтобы получить функцию 2 (/, т), мы просто должны взять плотность лагранжиана 2 для плоских волн с частотой со и волновым числом (/, — т) и подставить со = —Ш. Для волн на глубокой воде Лайтхилл [5] получил лагранжиан в следующей форме (см, также 4 ниже) [c.53]

В заключение перейдем от задачи о прямолинейных волнах на воде в каналах постоянного сечения к рассмотрению некоторых других приложений изложенного теоретического подхода. Общее обсуждение в 2 позволило нам достаточно близко подойти к пониманию рассматриваемого механизма неустойчивости без уточнения характера физической системы в частности было показано, каким образом дисперсионную компоненту определяющего уравнения (37) для фазовой функции 0 можно весьма просто получить из соотношения, неявно записываемого в виДе 0 = /( ), которое существует между частотой и волновым числом в предельном случае а->0. [c.102]

Второе уравнение системы (11.16) служит в этом случае для определения давления. В такой постановке рассматриваются такие важные задачи, как задачи о движении воды, возникшем при перемещении в ней твердых тел, задачи о волнах на поверхности воды, задачи о струйных течениях воды и многие другие. Ниже подробно будет рассмотрена задача о движении твердого тела в несжимаемой жидкости. [c.156]

Прилагаемая фиг. 43 показывает, конечно, с преувеличенной амплитудой, профиль волны, вычисленный из первого из этих двух уравнений для некоторого частного случая. Необходимо отметить следующее если зафиксируем внимание на какой-либо определенной точке канала, то заметим, гто поднятие и падение воды происходят Фиг. 43. несимметрично, а именно падение тре- [c.353]

В статье дается обзор различных применений вариационных методов п теории нелинейных волн в средах с дисперсией, причем особое внимание уделяется применению этих методов для волн на воде. Сначала обсуждается вариационный принцип, соответствующий теории волн на воде затем этот принцип используется для вывода длинноволновых приближений Буссинеска и Кортевега — де Фриза. Кратко излагается теория резонансного почти линейного взаимодействия с использованием функции Лагранжа. После этого дается обзор предложенной автором теории медленно меняющихся цугов волн и ее приложений к теории волн Стокса. Приводится также теория возмущений Льюка для медленно меняющихся цугов волн. Наконец показано, как можно при помощи интегро-дифференциальных уравнений сформулировать более общие дисперсионные соотношения важное приложение этого подхода, развитое с некоторым успехом, может помочь разрешить давно стоящие трудности в понимании опрокидывания волн на воде, [c.12]

Поэтому хотелось бы иметь возможность при помощи столь же простого и общего рассуждения получить нелинейную ком-ттоненту уравнения для 0 тогда можно было бы вывести универсальный критерий неустойчивости для систем рассматриваемого типа. Автор пытался получить такой критерий, обобщая основные шаги исследования для волн на воде, но ничего простого не получилось. В этой связи нужно отметить, что Лайтхилл [.10] дал элегантный и замечательно простой результат, определяющий, будут ли при опр.еделенных ограничениях очень плавные изменения параметров цуга волн описываться эллиптическим или же №пербол ическим уравнениями и, конечно, в .любом .частном случае неустойчивость можно считать доказанной, если удастся показать, что эти уравнения эллиптические. , .. [c.102]

У длинных нелинейных волн на мелкой воде скорость движения любой точки профиля растёт с высотой, поэтому вершина волны догоняет её подножие в результате крутизна переднего склона волны непрерывно увеличивается. Для относительно невысоких волн этот рост крутизны останавливает дисперсия, связанная с конечностью глубины водоёма такие волны описываются Кортевега—де Фриса уравнением. Стационарные волны на мелководье могут быть периодическими или уединёнными (см. Солитон), для них также существует критич. высота, при к-рой они обрушиваются. На распространение длинных волн существ, влияние оказывает рельеф дпа. Так, подходя к пологому берегу, волны резко тормозятся и обрушиваются (прибой) при входе волны из моря в русло реки возможно образование крутого пенящегося фронта — бора, продвигающегося вверх но роке в виде отвесной стены. Волны цунами в районе очага землетрясения, их возбуждаю- [c.332]

Понятия о колебательных движениях и волнах сформулировались в начале XIX в. В то время получены линейные решения уравнений теоретической механики и гидродинамики, описывающие движения планет и волн на воде. Несколько позднее благодаря наблюдательности Д. С. Рассела [186], теоретическим исследованиям Б. Римана [97, 99] и других исследователей сформировалось понятие о нелинейных волнах. Однако, если линейные колебания и волны были весьма полно изучены в XIX в., что нашло отражение в фундаментальном курсе Д. Рэлея [177], то этого нельзя сказать о нелинейных колебаниях. Сознание того, что нелинейные уравнения содержат в себе качественно новую информацию об окружающем мире пришло после разработки А. Пуанкаре новых методов их изучения. Созданные им и другими исследователями методы интегрирования нелинейных уравнений нашли широкое применение в радиофизике [6] и механике твердых тел [73]. Более медленно нелинейные понятия и подходы входили в механику жидкости и твердого деформируемого тела. Показательно, что первые монографии, посвященные нелинейному поведению деформируемых систем, были опубликованы на-рубеже первой половины XX в. [39, 72, 107, 153]. В это же время резко возрос интерес к нелинейным колебаниям и волнам в различных сплошных средах. Сформировались нелинейная оптика, нелинейная акустика [97, 173], теория ударных волн [9, 198] и другие нелинейные науки [184, 195, 207]. В них рассматриваются обычно закономерности формоизменения волн, взаимодействия их друг с другом и физическими полями в безграничных средах. Нелинейные волны в ограниченных средах исследованы в значительно меньшей степени, несмотря на то что они интересны для приложений. В последнем случае важнейшее значение приобретает проблема формирования волн в среде в результате силового, кинематического, теплового или ударного нагружения ее границ. Сложность проблемы связана с необходимостью учета физических явлений, которые обычно не проявляют себя вдали от границ, таких как плавление, испарение и разрушение среды, а также взаимодействия соприкасающихся сред. В монографии рассмотрен широкий круг задач генерации и распространения нелинейных волн давления, деформаций, напряжений в ограниченных неоднородных сплошных средах. Большое внимание уделено динамическому разрушению и испарению жидких и твердых сред вблизи границ, модельным построениям для адекватного математического описания этих процессов. Анализируется влияние на них взаимодействия соприкасающихся сред, а также механических и тепловых явлений, происходящих в объемах, прилегающих к границам. [c.3]

В части I рассматривались в основном гиперболические системы. Однако большая часть волновых движений, включая знакомые каждому волны на воде, на первый взг.ияд не имеет непосредственной связи с гиперболическими уравнениями. Эти связи обнаруживаются. иишь на последующих стадиях исследования при описании процессов распространения важных усредненных величин, ассоциированных с возмущением. Для изучения же вопроса в целом необходимо развить другую систему основополагающих идей и другой математический аппарат. [c.348]

Возможно, эта модель не сл1Ш1ком хорошо описывает эффекты трешш в волнах на воде, но в любом случае представляет интерес, поскольку уравнение Кортевега —- де Фриза является канониче- ск11м для общей теории диспергирующих волн. [c.464]

Большая часть предыдущей главы была посвящена выводу основных уравнений теории. Изучим теперь уравнения модуляций и их решения более подробно и подчеркнем существенное различие между линейной и нелинейной теориями. В этой главе мы рассмотрим основной случай одномерных волн в однородной среде и для простоты предположим, что псевдочастоты и псевдоволновые числа не возникают. В качестве типичных примеров будем здесь использовать нелинейное уравнение Клейна — Гордона и задачи, приведенные в 14.1. Более специальные приложения к нелинейной оптике и волнам на воде составят содержание следующей главы. Обобщения на большее число измерений, неоднородную среду и системы высших порядков будут кратко изложены в виде дополнительных замечаний. [c.492]

Параметры Р и у дают нену.левые средние значения для В и Е, и их следует рассматривать как псевдоволновое число и псевдочастоту, как бы.ло объяснено в 14.7. В уравнение (16.6) теперь с.ледует ввести вторую постоянную интегрирования, скажем А, и тройка (у, Р, А) ана.логична основной тройке (со, к. А). В теории модуляций связь изменений тройки (со, к. А) с изменениями средних полевых параметров (у, р, А) приводит к чрезвычайно важному эффекту. Мы не будем выяснять здесь дета.ли они аналогичны случаю волн на воде, который будет рассмотрен ниже. [c.516]

Уравнения (16.122) имеют разумно симметричный вид, в то время как исходные вариационные уравнения для Р и у выглядят неуклюже. Это, но-видимому, связано с гибридной природой уравнения Кортевега — де Фриза как приближения к исходной теории волн на воде. При выводе этого приближения скорость жидкости выражается через глубину (см. (13.102)), так что тройка V, р, В перемешивается несимметричньш образом. Например, параметр Р вводится как средняя высота в выражении (16.113), однако в своей естественной роли он равен средней скорости жидкости. В более симметричной системе (16.122) такая двойственность сглаживается. Кроме того, из-за потенциального представления нам сначала пришлось иметь дело с системой четвертого порядка, и более удобное выражение восстановилось только после того, как мы вернулись к системе третьего порядка. [c.545]

К настоящему времени выполнено также полное исследование стоксовых волн на воде произвольной глубины (Уизем, [12]). В дополнение к нелинейности, вносимой дисперсионным соотношением, здесь имеет место взаимное влияние волнового движения и изменений средней высоты Ь и скорости Р для глубокой воды этим взаимным влиянием можно пренебрёчь, поэтому предыдущий результат остается справедливым. Для конечной глубины это взаимное влияние приводит к уменьшению скорости роста модуляций, а для мелкой воды уравнения меняют тип и цуги волн становятся устойчивыми. [c.27]

Таким образом, для выполнения условия (1) необходимо иметь такое нелинейное воздействие на соотношение между частотой и волновым числом для боковых полос, которое уравновесило бы влияние дисперсии, выражаемое соотношением (4). В случае, подробно рассматриваемом ниже, оказывается, что к правой части уравнения (4) добавляется член О(со а ) можно ожидать, что таким же будет результат в общем случае. При рассмотрении устойчивости решающее значение имеет знак получающейся суммы, так как, если этот знак тот же, что и знак " к), то условие (1) не выполняется и обеспечена устойчивость. Таков результат анализа для волн на мелкой воде, подтверждающего выводы, ранее полученные Уиземом [14, 15]. [c.89]

Оба эти свойства аналогичны свойствам волн на мелкой воде в соответствии с этим было обнаружено, что дисперсия, так же как и для скачка в открытом канале, препятствует образованию ударных волн. Далее, динамические уравнения этой упругой системы можно преобразовать в уравнение Кортевега — де Фриза (см. [14], 7), которое описывает распространение длинных волн на воде. Поэтому вопрос об устойчивости периодических волн в этой новой системе решается немедленно ссылкой на исследование возмущений, которое Уизем применил к периодическим решениям (т. е. кноидальным волнам) уравнения Кортевега — де Фриза его результаты показывают, что в обеих физических системах однородные цуги волн устойчивы. Однако для волн растяжения с большими волновыми числами неустойчивость заведомо остается возможной, в частности, ввиду того, что функция f"(k) дважды меняет знак при увеличении к от нуля. (Но при к-> оо стационарные цуги волн постоянной амплитуды становятся невозможными, поскольку / ( )->- onst и дисперсия волн исчезает.) Заслуживает исследования также [c.103]

В нелинейных системах суждение о Д. в, может быть составлено на основе представлений об инерционности и нелокальности линейных взаимодействий (соответствующие свойства нелинейных взаимодействий иногда квалифицируют как нелокальность нелинейности). Примером, объединяющим нелинейность и дисперсию, может служить класс физ. явлений, описываемых Кортевега — де Фриса уравнением, впервые полученным (1895) для волн па мелкой воде [c.646]

Рассеяние длинных гравитационных волн малой амплитуды на поверхности воды постоянной глубины настолько аналогично рассеянию двумерных акустических волн на твердых препятствиях той же формы, что решения можно брать непосредственно из акустики, области, в которой метод ГИУ активно применяется как для неустановившихся [3], так и для гармонических по времени процессов [4]. Рассмотрим простой пример гармонической по времени ( ехр(—Ш)) плоской волны, которая рассеивается островом С. Фундаментальное решение для точечного источника в точке хо, i/o), удовлетворяющее двумерному уравнению Гельмгольца, к которому сводится уравнение (1) при постоянной глубине и k — al o, [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...