Уравнения модуляций

Цель настоящего раздела — определить характеристические скорости уравнений модуляции, которые получаются из уравнения КдФ, записанного в форме [c.124]

Мы вернемся ко всем этим вопросам после того, как уравнения модуляций будут подробно изучены и обобщены на полностью нелинейный случай. [c.472]

Обобщение на большее число пространственных измерений очевидно. Для плоской периодической волны решение имеет вид ф = = Ч (0), где 0 = 0 (х, I) зависит от вектора х, и распространение происходит в направлении волнового вектора к = 0., . Усредненный лагранжиан переходит в X (со, к, А), и становятся возможными модуляции в пространстве (т. е. медленно изгибающиеся фазовые поверхности). Уравнения модуляций имеют впд (11.80) — [c.483]

Отсюда, как и ранее, выводятся уравнения модуляций. [c.490]

Рассмотрим теперь уравнения модуляций в следующем после [c.503]

В данном конкретном случае уравнения модуляций высшего порядка оказываются более сложными по форме, чем исходное уравнение (15.30) Тем не менее по ним легче определить поведение модуляций, чем по исходному уравнению. Конечно, обычно при переходе к уравнениям модуляций достигается значительное упрощение, но как бы то ни было система (15.35) — (15.37) типична для общего случая. [c.504]

Когда члены с е опущены, уравнения модуляций становятся гиперболическими при а > О и эллиптическими при о < 0. Эффекты дисперсии высшего порядка вводят в уравнения (15.35) — (15.37) третьи производные от й, и уравнения модуляций сами становятся диспергирующими. В случае а > О они по структуре аналогичны уравнениям Буссинеска. [c.504]

Эффекты следующего порядка приводят к тому, что в выражении (16.17) для появляются квадратичные по производным от а и Ь ч.лены. Тогда уравнения модуляций оказываются по структу- [c.518]

Поскольку Ь и р исключены, мы теперь имеем для к т Е простые уравнения модуляций рассмотренного в 14.2 типа и можем выписать характеристические скорости без дальнейших выкладок Искомые характеристические скорости равны [c.540]

Неустойчивость для волн на глубокой воде впервые была установлена Бенджаменом [1] ) при помощи рядов Фурье, указанных в 15.6. Именно тогда была понята важность эллиптических уравнений модуляций и было выведено критическое значение kh(, = = 1,36 для случая конечной глубины. Это значение затем было подтверждено Бенджаменом с помощью его фурье-компонентного подхода. Такая последовательность событий указывает на ценную взаимосвязь двух подходов. [c.540]

Для волнового пакета, приближающегося к отмели, параметры модуляций можно считать не зависящими от t. Тогда из уравнений модуляций имеем четыре соотношения [c.540]

Особый интерес представляет случай модуляции с частотой 2мо, где соо — первоначальная частота осциллятора. Предположим, что затухание мало. Напишем уравнение осциллятора в следующем виде [c.240]

Это неравенство представляет собой условие колебаний контура с частотой Шо при частоте модуляции 2шо. Мы не показали, что Шо будет единственной частотой, наблюдаемой в системе. Заметим, что выше мы условились, что р < < (Оо. Из уравнения (162) получим [c.240]

Заметим, что точно такое же уравнение было бы получено при постоянстве индуктивности, но при периодическом изменении значения емкости с глубиной модуляции т по закону t) = = Со/( + т os 2(ut). [c.135]

Для систем, съем данных в которых происходит в течение конечного интервала времени, удалось, используя аппарат разностных уравнений и дискретного преобразования Лапласа, разработать методы исследования их устойчивости и построения процессов в этих системах. В дальнейшем, благодаря применению некоторых теорем дискретного преобразования Лапласа, оказалось возможным свести изучение этого класса систем к изучению обычных импульсных систем с мгновенным съемом данных. Если на первых порах теория импульсных систем заимствовала методы и приемы у теории непрерывных систем, то в настоящее время она успешно решила ряд задач по синтезу оптимальных линейных импульсных систем при учете неизменной части системы, которые в теории непрерывных линейных систем до сих пор остаются нерешенными. Наличие неизбежно присутствующих или преднамеренно вводимых нелинейностей ограничивает возможности применения линейной теории импульсных систем. Особенно это относится к системам с широтно- и частотно-импульсной модуляциями, а также к системам, содержащим в качестве элемента цифровые вычислительные устройства при учете ограничений памяти и небольшом числе разрядов. [c.270]

Рассмотрим низкочастотную узкополосную вибрацию с частотой (Oqi возбужденную гармонической составляющей инерционных сил в кулачковом механизме. При амплитудной модуляции уравнение колебаний на этой частоте может>быть записано в виде [c.73]

В простейшем случае синусоидальной функции модуляции /( )=sin[c.73]

При частотной модуляции, связанной, например, с неравномерностью вращения инерционного элемента, которая для текстильных машин достигает 6% [2], уравнение колебаний на ча- [c.73]

Каждая из функций Бесселя (z) в этом уравнении имеет главный максимум на частоте. v=A(u/2m и асимптотически затухает. Ширина полосы частотно-модулированного сигнала приближенно равна удвоенной девиации частоты 2Дш. Для текстильных машин, у которых основные механизмы работают с частотами вращения в пределах 500—600 об/мин, частотная модуляция при анализе, как правило, существенно не проявляется. Считая основную несущую частоту равной / =100 Гц и принимая наибольшую неравномерность хода машины 6% [2], получим в соответствии с изложенным Д/=6 Гц. Такая размытость спектра даже яри узкополосном анализе с шириной полосы Д/ =10 Гц на характере спектра не сказывается [7]. [c.74]

После модуляции получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными [c.53]

Заменяя два уравнения одним нелинейным, автор ищет периодическое решение с частотой ш путем разложения нелинейной части уравнения в ряд Фурье. Анализ решения показывает, что существует некоторая критическая скорость электропоезда, при которой возможен отрыв пантографа от провода. Это можно устранить уменьшением глубины модуляции жесткости или увеличением сил сопротивления. Интересно, что увеличение силы/ 0 практически бесполезно. [c.16]

Из анализа второго уравнения системы (8) видно, что 02 = = 02 (т, 0з) является периодической функцией 0з. Это приводит к модуляции коэффициента демпфирования в первом уравнении системы (8). Введем следующую замену [c.293]

Модуляция коэффициента демпфирования второго уравнения системы (19) приведет к периодическому изменению амплитуд обеих гармоник продольных высокочастотных колебаний скорости рабочей жидкости в системе. В связи с этим введем следующую замену переменных [c.296]

Общая схема метода малого параметра. Метод малого параметра позволяет получить достаточно простые приближенные соотношения для границ областей неустойчивости, если глубина модуляции параметров, а также диссипация в системе достаточно малы. В этом случае уравнение (1) может быть записано в виде [c.126]

Первое уравнение системы (23) обладает большим коэффициентом модуляции. [c.256]

Знак выражения со Юа совпадает со знаком коэффициента ст уравнения модуляций являются гиперболическими при а > О и эллиптическими при а < 0. Для почти линейных волн уравнение Sin-Гордона имеет ст < О, так что во всех задачах, описьтаемых этим уравнением, почти линейные волновые пакеты неустойчивы. [c.471]

Полные уравнения модуляций получаются в особенно простом и выразительном виде, если использовать вариационный подход, описание которого было начато в гл. И. Сначала рассмотрим применение этого подхода к пелинейньш задачам на типичном примере уравнения Клейна — Гордона. После этого станет ясным, как действовать в общем случае, и мы сможем обосновать наш метод. [c.472]

Система уравнений Ха = = О линейна и однородна (поскольку X квадратичен по и Ь ), и п общем случае ее можно решить, выразив и через единую амплитуду а. Эти выражения можно снова подставить в лагранжиан и представить X в виде функции Хх (и, к, а), так что уравнения модуляций будут такими же, как и в случае одной переменной. Данная подстановка допустима, поскольку ограничения, наложенные на выбор величин fita и Ьц, удовлетворяют условиям стационарности. Эту эквива- [c.483]

Большая часть предыдущей главы была посвящена выводу основных уравнений теории. Изучим теперь уравнения модуляций и их решения более подробно и подчеркнем существенное различие между линейной и нелинейной теориями. В этой главе мы рассмотрим основной случай одномерных волн в однородной среде и для простоты предположим, что псевдочастоты и псевдоволновые числа не возникают. В качестве типичных примеров будем здесь использовать нелинейное уравнение Клейна — Гордона и задачи, приведенные в 14.1. Более специальные приложения к нелинейной оптике и волнам на воде составят содержание следующей главы. Обобщения на большее число измерений, неоднородную среду и системы высших порядков будут кратко изложены в виде дополнительных замечаний. [c.492]

Как было указано в 14.2, периодические волновые пакеты в определенном смысле неустойчивы, когда уравнения модуляций зллиптические. Чтобы убедиться в этом, заметим, что уравнения модуляций имеют следующий общий вид [c.498]

Члены в квадратных скобках являются почти линейными поправками к линейной теории. В линейной теорвд уравнение для Р отщепляется и его можно решить независимо оно дает характеристическую скорость = 6 р. Как правило, однако, подходит решение Р = О, и мы имеем обычные уравнения модуляций для а и /с. Почти линейные поправки приводят к вагрным качественны изменениям, делающим систему, строго гиперболической и расщепляющим оставшиеся групповые скорости. [c.547]

И подставляя их вместе с решением х = и ost + u sin т в дифференциальное уравнение (4.3.4), получим выражение для квадрата амплитуды колебаний в контуре с частотой со в зависимости от параметров системы и фазового сдвига между внешней силой и модуляцией реактивного параметра. При этом мы пренебрегаем членами, содержащими утроенную частоту решения. [c.148]

Известно, что уравнения динамики и их решения несут большую информацию о двин ении, но только в механическом смысле. Если же нужно использовать информацию о других свойствах движения, то следует модулировать систему динамических уравнений некоторой функцией, содержание которой раскрывает желаемые изменения. В результате применения принципа модуляции и последуюш его осреднения получаем новые обобш енные координаты и их скорости, отражающие не только динамику, но и иной, более глубокий смысл. [c.71]

Кинетические уравнения для туннельной системы. Двухъям-ные системы, обсуждавшиеся в предыдущем пункте, будем впредь называть туннельными системами. Волновые функции нижних состояний туннельной системы, изображенной на рис. 2.4, локализованы в разных ямах. Эти состояния по определению являются стационарными, т. е. система, находясь в одной из ям, будет существовать в ней бесконечно долго. Однако в реальных условиях существует вероятность перехода системы из одной ямы в другую. Физической причиной таких переходов является взаимодействие туннельных систем с фононами. Оно проявляется в том, что колебания, отвечающие фононам, модулируют барьер, разделяющий ямы, делая квантовые состояния в ямах нестационарными и вызывая переходы между ямами. В теоретическом подходе, применяемом здесь, упомянутая модуляция содержится в функциях Uw x) при I ф I, определенных формулой [c.72]

Параметрическим называют такое возбуждение колебательной системы, при котором сила непосредственно не вызывает колебания, но она изменяет один или несколько параметров системы во времени, поэтому коэффициенты дифференциального уравнения системы зависят от времени. Колебания, имеющие место в системе при этих условиях, называют параметрическими, они могут быть затухаюпгими и нарастающими во времени. Особый интерес представляют нарастающие колебания. Характерным примером является вращение тяжелого диска, насаженного на вал прямоугольного поперечного сечения, у которого жесткость на изгиб в двух взаимно перпендикулярных направлениях имеет максимальное и минимальное значения. Обозначив Шд - угловую скорость вращения вала, Ь = Ас I с -коэффициент глубины модуляции параметра, дифференциальное уравнение колебаний диска в одной плоскости представим в виде [c.359]

В случае одночастотного параметрического возбуждения внешнее воздействие может быть задано с точгГостью до двух параметров частоты возбуждения со и коэффициента возбуждения г, который характеризует интенсивность параметрического возбуждения (глубину модуляции параметров). Например, в уравнении (7.2.32) [c.471]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...