Колебания стержней Уравнения движения

Наконец, рассмотрим крутильные колебания стержня. Уравнение движения стержня, подвергаемого деформации кручения. [c.140]

Уравнения малых колебаний пространственно-криволинейного стержня. Уравнения движения гибкого нерастяжимого стержня, имеющего продольное движение, были получены в 39 (рис. 8.10). Полагая уравнениях (7.86)—(7.87) = Qo + + AQ-, я = о + Ди М = Ма + и т. д. (как это было сделано при выводе уравнений малых колебаний в 40), получим следую-ш,ие векторные уравнения малых колебаний, выраженные через локальные производные (при = 1), в связанной системе координат , [c.197]

Наконец, особым случаем колебаний стержней являются так называемые крутильные колебания (колебания кручения). Уравнения движения стержня, совершающего крутильные колебания, получаются [c.766]

При наезде тележки А на упругий упор В начинаются колебания подвешенного на стержне груза D. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если m — масса тележки, тг—масса груза, I—длина стержня, с —коэффициент жесткости пружины упора В. Массой колес и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х [c.364]

Материальная точка А массы mi движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса /. Материальная точка В массы m2, присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины /, может колебаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А п В определены с помощью углов а и ф, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня АВ пренебречь. [c.365]

Стержень ОА маятника при помощи шатуна соединен с маленькой стальной рессорой ЕВ жесткости с. В напряженном состоянии рессора занимает положение ЕВ вестно, что к рессоре нужно приложить силу Fo, направленную по ОВ, чтобы привести ее в положение ЕВа, соответствующее равновесию маятника ОА=АВ = а массой стержней пренебрегаем расстояние центра масс маятника от оси вращения ОС — / вес маятника Q. С целью достижения наилучшего изохронизма (независимость периода колебаний от угла первоначального отклонения) система отрегулирована так, чтобы в уравнении движения маятника [c.409]

Р е щ е н и е. Колебание отдельной материальной точки под действием силы тяжести (математический маятник) было изучено выше (см. определение 3.9.1). В рассматриваемом примере имеются две материальные точки, описывающие дуги различных радиусов за одно и то же время. Следовательно, каждая точка должна влиять на движение другой. Применив принцип Даламбера, эту динамическую задачу можно свести к обычной задаче статики, которая, будучи решенной, дает дифференциальные уравнения движения. Пусть ОА — а, ОВ = 6 и угол, образованный стержнем с вертикалью Ог, равен (9. Точка А описывает дугу окружности. Компоненты ее ускорения имеют вид [c.377]

Аналогичные результаты справедливы и для волн изгиба тонких стержней колебания изгиба предполагаются малыми. Уравнения движения получим, заменив в уравнениях равновесия слабо изогнутого стержня (20,4) силы —Кх, —Ку произведениями ускорений X, Y на массу pS единицы длины стержня (S — площадь его сечения). Таким образом, [c.140]

Во второй части учебника изложены основные положения динамики стержней, дан вывод уравнений движения стержней в линейной и нелинейной постановке приведены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с изложением численных методов определения частот и форм колебаний. Большое внимание уделено неконсервативным задачам с изложением методов исследования динамической устойчивости малых колебаний. Рассмотрены параметрические и случайные колебания стержней. Приведены примеры численного решения прикладных задач с использованием ЭВМ. [c.2]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Для исследования колебаний стержней необходимо иметь соответствующие уравнения движения. Поэтому первые параграфы данной главы посвящены выводу основных уравнений малых колебаний пространственно-криволинейных стержней. Остальные параграфы главы посвящены частны.м случаям уравнений малых колебаний. [c.53]

От лу и ио зависят только уравнение (2.43) поступательного и уравнения (2.47) вращательного движения элемента стержня, из уравнений (2.43) и (2.47) получаем векторные уравнения малых колебаний стержня при у 0, ио=+=0 и 1 = 1 [c.66]

Уравнения малых колебаний стержня, имеющего при стационарном движении плоскую форму. Эти уравнения можно получить как частный случай уравнений (3.84), (3.89) при хю=Х2о=0, [c.70]

В 3.4 были получены уравнения малых колебаний стержня относительно стационарного движения, которые содержали (в уравнении поступательного движения элемента стержня) силы инерции Кориолиса, равные дЧ/ дгд%), также зависящие от первой производной по времени. При наличии сил сопротивления свободные колебания должны быть затухающими, поэтому А, должны быть комплексными числами вида [c.98]

Если рассматриваются вынужденные колебания стержня относительно стационарного движения, то в уравнении появится слагаемое, зависящее от сил Кориолиса, [c.128]

Очень часто в реальных задачах большой практический интерес представляет переходный режим колебаний от момента приложения нагрузки до выхода системы на установившийся режим (стационарный режим, если он возможен) или до определенного момента времени. Например, если на стержень действует внезапно приложенная случайная по направлению и модулю сила и требуется выяснить, как будет двигаться стержень после ее приложения, то считать движение (колебания) стержня стационарными нельзя даже в том случае, если сила является стационарной случайной функцией. В общем случае случайные силы, действующие на стержень, могут быть любыми, в том числе и нестационарными, случайными функциями, у которых вероятностные характеристики зависят от времени. В этом случае вероятностные характеристики решений уравнений колебаний стержня (в том числе и уравнений с постоянными коэффициентами) также зависят от времени, т. е. являются нестационарными. Это существенно осложняет решение, так как воспользоваться спектральной теорией нельзя. [c.158]

Как правило, полученные общие уравнения движения стержней, включая и уравнения малых колебаний, являются довольно сложными, в то время как решение прикладных задач приводит к уравнениям, которые являются частными случаями общих уравнений. Поэтому целесообразно более подробно рассмотреть эти частные случаи динамики стержней с решением конкретных задач из разных областей техники. [c.164]

Система уравнений колебаний прямолинейного стержня с учетом инерции вращения и сдвига. Для стержня с переменным сечением целесообразно и из уравнений движения (7.56) [c.177]

Уравнения малых колебаний прямолинейного стержня, имеющего продольное движение. Общие нелинейные уравнения движения пространственно-криволинейного стержня (см. рис. 2.4), имеющего принудительную угловую скорость вращения 0)0 и принудительную скорость продольного движения ууо, были получены в 2.1. Уравнения, характеризующие стационарный режим движения, когда форма осевой линии стержня остается в пространстве неизменной, получены в 2.4. Уравнения малых колебаний стержня относит,ельно стационарного движения были получены в 3.4. Уравнения, полученные в 3.4, описывают малые колебания стержня относительно стационарного движения, когда осевая линия стержня есть пространственная кривая. Можно уравнения малых колебаний стержня относительно прямолинейного движения, например ветвь передачи с гибкой связью (см. рис. В.5), получить из этих общих уравнений. Но для выяснения основных особенностей подобных задач целесообразно для частного случая колебаний прямолинейного стержня еще раз повторить вывод уравнений малых колебаний относительно прямолинейного стационарного движения стержня. [c.191]

В общем случае при исследовании действия подвижной нагрузки на упругую систему необходимо учитывать массу как нагрузки, так и самой упругой системы. Однако в случае стационарного режима движения груза по бесконечной балке, лежащей на сплошном упругом основании, когда прогиб под грузом остается постоянным (рис. 7.22), масса груза роли не играет (так как нет ускорения по оси Хз). Уравнение вынужденных изгибных колебаний стержня постоянного сечения, лежащего на упругом основании, без учета сил сопротивления, инерции [c.212]

Рассмотрим установившееся движение стержня с учетом инерции вращения. В этом случае уравнение изгибных колебаний стержня имеет вид [c.215]

При значениях xi и хз, равных статическим, угол 9 равен ранее введенному (см. гл. 6 ч. 1) углу фа. Если рассматривается движение стержня относительно состояния равновесия в потоке, то целесообразно из общих уравнений движения исключить статику, тогда в уравнения движения войдут только силы, зависящие от движения стержня. Для этого достаточно из выражений (8.14) или (8.15) вычесть соответствующие статические составляющие дпх[ , т. е. использовать при рещении нелинейных уравнений колебаний силы = 7 — 7 [c.238]

Уравнение (9.6) аналогично уравнению (2.43), полученному в гл. 2 при рассмотрении колебаний стержня, имеющего продольное движение. Если в уравнении (9.6) положить ип = 1 (что имеет место при т = 0), то уравнения (9.6) и (2.43) полностью совпадают. Остальные уравнения совпадают с (2.21), (2.23) — (2.25) (при /=0) [c.259]

Изложенные во второй части учебника разделы динамики стержней в основном повторяют разделы, которые рассматривались в первой части учебника, посвященной статике стержней. При выводе уравнений движения использовались те же допущения, что и при выводе уравнений равновесия (т. е. рассматривались физически линейные нерастяжимые стержни). Если статику рассматривать как частный случай динамики, то, положив в уравнениях движения слагаемые, зависящие от времени, равными нулю, можно получить уравнения равновесия стержня, что и делается, когда рассматриваются колебания относительно состояния равновесия. [c.276]

В результате получили систему уравнений с периодическими коэффициентами. Основная особенность данной задачи заключается в том, что время процесса ограничено (время движения массы по стержню), поэтому колебания стержня являются неустановившимися и воспользоваться методами, которые были изложены в 7.7, нельзя. Время движения массы т по стержню равно tк = l/v. Безразмерное время Тк=1/Цо- Систему уравнений (4) можно представить в виде [c.299]

Пример. 22.4. Эллиптическим маятником называется система, состоящая из двух тел, одно из которых Mr веса Р скользит без трения по горизонтальным направляющим, а другое Л/а ве-са Рз соединено с пим невесомым стержнем длины I и совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 22.10). Составить уравнение движения п определить период малых колебаний эллиптического маятника. [c.405]

Выражение аргумента в синусоидальном распределении амплитуд нормальных колебаний выбрано так, чтобы для s = 0 и s = n + l для всех гармоник i/o и обраш,ались в нуль. При и = оо это распределение амплитуд совпадает с распределением для стержня с закрепленными концами. Для п конечного, т. е. для дискретной модели, полагаем, что амплитуды грузов тоже распределены по закону синуса, но, конечно, это распределение уже не непрерывное, а дискретное ys имеют смысл только для отдельных дискретных значений аргумента skn/ n + 1), соответствующих целым значениям s. Чтобы проверить правильность нашего предположения, подставим выражение (19.15) в уравнения движения грузов (19.14). Нетрудно убедиться, что при этой подстановке (19.14) обращается в тождество, если [c.695]

Соответствующий график представлен на рис. 16.11.1. Существенно, что кривая, изображающая уравнение (16.11.1), направлена выпуклостью вверх, вторая производная <р" (е) всюду отрицательна. Для реальных металлов дело всегда обстоит именно так. Обращаясь к выводу уравнения продольных колебаний стержней, запишем выведенное там уравнение движения в следующем виде [c.566]

Следующие рассуждения будут относиться к колебаниям бесконечно тонкого стержня. Мы ограничимся случаем, когда колебания бесконечно малы и стержень первоначально был прямой п изотропный. Нетрудно найти дифференциальные уравнения движения с помощью принципа Гамильтона из выражений (6) и уравнения (27) предыдущей лекции. В последнем надо прежде всего принять во внимание, что, основываясь на изложенных выше предположениях, по уравнению (25) предыдущей лекции будем иметь [c.361]

Рассмотренный простой пример примечателен тем, что п нем аналитическое решение удалось довести до конца. К сожалению, ато можно сделать лишь в немногих случаях. Часто задачи оптимизации оказываются аналитически неразрешимыми даже в аналогичных простых постановках. Так, при определении максимальной первой собственной частоты изгибных колебаний стержня заданной массы М,,, заделанного на одном конце и свободного на другом, уравнения движения и оптимальности имеют вид [356] [c.264]

Основные уравнения движения при продольных колебаниях выводятся из уравнения равновесия элемента стержня, заключенного между двумя смежными сечениями (фиг. 91). [c.224]

По неподвижной призме А, расположенной под углом а к горизонту, скользит призма В массы тг. К призме В, посредством цилиндрического шарнира О и спиральной пружины с коэффициентом жесткости с, присоединен тонкий однородный стержень OD массы mi и длины I. Стержень совершает колебания вокруг осп О, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения Призмы В н стержня OD определены посредстпом координат s п ф. Написать дифференциальные уравнения движения материальной [c.364]

Улитка Паскаля. Положим /(/) =с + а os Уравнение кривой р = с + асозф. Равномерно вращательное движение эксцентрика преобразуется в гармонические колебания стержня. [c.18]

Векторные уравнения в связанной системе координат. При стационарном режиме движения стержня у = Iи о I =соп51, а)о = 0. В 2.4 были получены уравнения стационарного движения стержня. Получим теперь уравнения малых колебаний стержня относительно стационарного движения. Из уравнений (3.73), (3.74) имеем [c.68]

В качестве второго примера рассмотрим стержень, показанный на рис. 4.2. Сте(ржень нагружен следящими силой Ро и моментом М.О. постоянны.ми во времени. Равновесная форма осевой линии стержня (например, прямолинейного до нагружения) есть пространственная кривая. На конце стержня имеется сосредоточенная масса т. Примем приближенно, что точка О (центр масс) совпадает с центром то рцового сечения стержня. Для следящих сил уравнения малых колебаний стержня в связанной системе координат будут однородными, так как проекции следящих сил и моментов в уравнения движения в связанной системе координат не входят. В данном примере имеем следующие краевые условия 1) е=-0, ио(0)=0,до(0)=0 2) в—1, АМ(1)- М =0, АО( 1) + Л = 0, где М , — соответственно момент инерции и сила инерции, дей- [c.80]

В предыдущих главах, посвященных изложению основных теоретических положений динамики стержней, были даны методы вывода уравнений движения пространственнокриволинейных стержней, нагруженных переменными во времени распределенными и сосредоточенными силами. Наряду с мертвыми силами расс.матривались и другие возможные силы, которые могут зависеть от линейных и угловых перемещений и их первых производных по независимым аргументам. Были получены уравнения малых колебаний и изложены численные точные и приближенные методы определения частот и форм колебаний пространственно-криволинейных стержней. [c.164]

Вынужденные колебания относительно стационарного движения. Уравнение малых колебаний относительно прямолинейного стационарного движения стержня (рис. 7.20) имеет следующий вид [частный случай уравнения (7.105) при Qi=Qio= onst] [c.210]

Обозначим крутильную жесткость вала (скручиваюший момент, необходимый для закрутки вала на один радиан) через с = Ол.й /1 32 (d — диаметр стержня, / — его длина), а полный угол закручивания стержня — через ф. Крутяший момент в циклически закручиваемом при колебаниях стержне в произвольный момент времени будет Сф. Пренебрегая силами инерции массы стержня по сравнению с массой диска и приравнивая крутяший момент в стержне к моменту сил инерции диска, получаем следующее дифференциальное уравнение движения диска [c.597]

Изгибиые колебания связаны с изгибнон деформацией стержней. Рассмотрим также одномассовую систему (рис. 14.12). Уравнение движения массы [c.242]

Первое уравнение (5.75) является уравнением Бернулли (5.7) для продольных колебаний, которые оказываются не связаннымп С другими видами колебательного движения. Три других уравнения (5.75) описывают совместные изгибно-крутильные колебания стержня. Как видно из уравнений, связность изгибных и крутильных колебаний зависит от моментов функции кручения /и и Лф — геометрических характеристик поперечного сечения. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...