Фазовые траектории и фазовый портрет

Фазовые траектории и фазовый портрет 19 [c.19]

Как уже было отмечено выше, исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения траекторий в фазовом пространстве Ф. Структура разбиения пространства Ф на фазовые траектории называется фазовым портретом рассматриваемой динамической системы. С геометрической точки зрения под структурой разбиения фазового пространства на траектории понимается геометрическая картина взаиморасположения фазовых траекторий в пространстве Ф. Следует отметить, что полное описание фазового портрета для произвольной динамической системы представляет собою очень сложную и до сих пор нерешенную проблему. Однако ряд основных особенностей этой структуры изучен, а для некоторых классов динамических систем в настоящее время получено полное описание фазового портрета. [c.12]

В данном случае вся фазовая плоскость заполнена множеством вложенных друг в друга эллипсов с общим центром в начале координат и с одинаковым отношением полуосей. Эти однотипные эллипсы отличаются друг от друга только параметром А, зависящим от начальных данных. Это семейство фазовых траекторий называют фазовой диаграммой или фазовым портретом. [c.266]

Совокупность семейства фазовых траекторий и особых точек на фазовой плоскости принято называть фазовым портретом системы — он графически изображает ее динамические свойства. [c.21]

Фазовая плоскость. Движение механизма с одной степенью свободы в любой момент времени определяется значениями его обобщенной координаты q и обобщенной скорости q. Скалярные величины q VI q можно рассматривать как декартовы координаты точки в плоской системе координат х = q, у = q (рис. 57). Эта точка называется изображающей, а плоскость ху — фазовой плоскостью. При движении звеньев механизма величины q и q изменяются, и соответственно меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, описывающих возможные движения звеньев механизма, называется фазовым портретом фазовой диаграммой). [c.201]

Роль неустойчивых состояний равновесия и периодических движений как границ областей притяжения отражена на фазовом портрете динамической системы (рис. 2.1), которую можно назвать триггером. Точки ж О г — устойчивые состояния равновесия (одно — типа фокуса, другое — типа узла). Точка О — неустойчивое состояние равновесия типа седла. В него входят только две фазовых траектории и 2, и они разделяют устойчивые равновесия О1 и О1, определяя возле каждого из них области притяжения и П . Всякая фазовая точка области стремится к точке 0 , всякая точка области Яд — к точке О г. Таким образом, в зависимости от начальных условий система с таким фазовым портретом оказывается в одном из состояний равновесия (либо О,, либо Ог). Перейти из одного из этих состояний равновесия в другое она [c.43]

В общем случае функции f(q, и) таковы, что выполнены условия теоремы сугцествования и единственности регпений для обыкновенных дифференциальных уравнений. Из этой теоремы следует, что за исключением особых точек (где и = О и f(q, и) = 0) фазовые траектории не могут пересекаться. Часто задача анализа поведения фазовых траекторий в фазовом пространстве является более важной и более простой задачей, чем нахождение полного решения q(i). Это, в частности, было показано на рассмотренных примерах. При т = I фазовое пространство двумерно, и результат анализа можно и полезно, как это было сделано, представить в плоскости ( , ). В этом случае изображение качественной картины фазовых траекторий иногда называют фазовым портретом задачи. [c.263]

Плоскость переменных s и называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные колебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия точных решений нелинейных уравнений. [c.15]

Допустим теперь, что нам не известен характер движений в системе, но каким-либо образом стал известен характер фазовых траекторий и величины фазовых скоростей. Можем ли мы, пользуясь этим знанием, делать высказывания, касающиеся отображаемых этими кривыми движений Как мы увидим дальше, общий характер движения, качественные его черты, выявляются уже в характере фазовых траекторий. Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый портрет динамической системы она дает возможность сразу, одним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях. [c.40]

Прежде чем переходить к рассмотрению задач о движении конкретных динамических систем второго порядка, нам придется изложить некоторые общие теоремы о свойствах фазовых траекторий, а также некоторые способы качественного исследования фазовых портретов динамических систем, которые позволяют получить некоторые, часто весьма неполные сведения о характере фазовых траекторий и, следовательно, о характере движений той или иной динамической системы. [c.338]

Отсюда сразу можно получить уравнение фазовой траектории и уравнение фазового портрета. Разрешив (2.71) относительно х, получим [c.54]

Итак, в случае а О все фазовые траектории асимптотически приближаются к устойчивому состоянию равновесия, а фазовый портрет системы имеет вид, показанный на рис. 3.17. Таким образом, при наличии сил сопротивления воздуха планер при любых начальных условиях приходит к единственному устойчивому равновесному режиму. Если начальная скорость планера достаточно велика, то планер совершит сначала одну или несколько мертвых нетель, затем ио волнообразно затухающей траектории будет приближаться к траектории прямолинейного полета. Одна из возможных траекторий полета планера показана на рис. 3.18. [c.66]

К этим двум основным элементам фазового портрета консервативной системы следует добавить еще фазовые траектории, пограничные между областями фазовой плоскости, соответствующими движениям различного характера. Эти линии (например, линия С на рис. 1.3) носят название разделительных линий или сепаратрис. Их расположение очень наглядно показывает области возможных движений разного типа и те значения фазовых координат х и [c.21]

Но независимо от того, встречаемся ли мы с простейшим случаем или с упомянутыми здесь более сложными, все равно уравнение фазовых траекторий позволяет нам получить фазовый портрет и произвести качественное рассмотрение изучаемой системы на фазовой плоскости. Разумеется не всегда может быть получено простое выражение вида y — /2 h—V(x)], и тогда для построения фазового портрета системы необходимо применять более общие приемы, как, например, метод построения фазовых траекторий с помощью изоклин. [c.23]

Из фазового портрета видно, что при малых амплитудах колебаний, как и в случае идеального маятника, фазовые траектории близки к эллипсам, т. е. малые движения в нелинейной системе близки к гармоническим колебаниям в линейной системе. [c.33]

Для всей совокупности отрицательных и положительных значений у уравнение (2.2.1) нелинейно, так как при проходе х == у через значение / = 0, а изменяется скачком от до — о и обратно. Поэтому для изображения соответствующих движений на фазовой плоскости необходимо отдельно построить фазовые траектории для I/> О и для г/<0, а затем сшить их в точках г/ = 0 для получения непрерывных фазовых траекторий на всей фазовой плоскости. В самом деле, система изучаемого типа при наличии инерционных и упругих сил, т. е. с резервуарами кинетической и потенциальной энергий, может совершать лишь непрерывные движения, допускает лишь непрерывные изменения координаты и скорости, а, следовательно, ее фазовый портрет обладает только непрерывными фазовыми траекториями. Разрывы непрерывности в значениях координаты или скорости и наличие конечных скачкообразных изменений этих величин означали бы скачкообразное изменение потенциальной или кинетической энергий, что соответствовало бы физически бессмысленному мгновенному выделению или поглощению бесконечной мощности. [c.48]

Из этого фазового портрета сразу виден основной характер колебательных движений в данной системе, а именно затухание колебаний и прекращение движения после конечного числа колебаний (при заданных начальных условиях — отклонении и начальной скорости). Например, одно такое движение от начальных условий х = Хд, у — у (точка Р на фазовом портрете системы) изображено более жирной фазовой траекторией. Фазовый портрет (см. рис. 2.3) показывает нам также одно характерное свойство колебательных систем с сухим трением, а именно наличие зоны застоя в самом деле, прекращение движения ( / = 0) может происходить при любых значениях х в области —+ откуда следует, что при каких-то начальных условиях система, будучи представлена самой себе, не обязательно придет к состоянию покоя в точке х = 0, = 0. Зона застоя тем больше, чем больше трение в системе. [c.49]

При б <со5 мы имеем дело с затухающими колебаниями линейного осциллятора, фазовый портрет которых представляет собой совокупность логарифмических спиралей, стягивающихся в особую точку типа фокус. Для > ф система становится апериодической, и на фазовой плоскости движения изображаются фазовыми траекториями, имеющими вид кривых, сходящихся в особую точку типа узел без обходов вокруг нее. В обоих [c.51]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

В отличие от фазового портрета маятника без учета трения, который был изображен ранее на рис. 1.4, здесь не появляются убегающие траектории, нет замкнутых траекторий и нет замкнутых разделительных линий — сепаратрис. Все траектории из любой точки фазовой плоскости стягиваются к одной из точек устойчивого положения равновесия — устойчивым фокусам (л == = 2пп, у = 0). Это означает, что при наличии потерь система в общем случае после конечного числа оборотов (вращений) колебательным путем придет к устойчивому состоянию равно- [c.52]

Если мы построим на фазовой плоскости фазовые траектории для системы, у которой функция (и) меняется в больших пределах, то получим для данного вида [(у) фазовый портрет, показанный на рис. 5.17. Нелинейная функция f (у) такого вида соответствует автоколебательной системе релаксационного типа, близкой [c.199]

Рис. 75. Фазовый портрет математического маятника на плоскости. Изображены фазовые траектории колебательных, асимптотических и вращательных движений, указана зона отрицательной реакции связи. Видны состояния равновесия, в линейном приближении имеющие эллиптический и гиперболический типы (особые точки типа центр и седло )

Типичная фазовая траектория изображена на рис. 11.20 (здесь Хо и Хо — начальные возмущения). Она представляет собой спираль, накручивающуюся на начало координат. Фазовый портрет образуется семейством таких спиралей, окружающих начало координат — особую точку, которая в этом случае называется устойчивым фокусом. [c.53]

Разл. фазовые траектории одной достаточно гладкой динамич. системы не пересекаются в Ф. п. (в противном случае, выбирая точку пересечения за нач. условие, мы получили бы, что из одной точки начинается более одной фазовой траектории последнее противоречит теореме Коши). Фазовые траектории могут представлять собой либо отд. точки, либо замкнутые кривые, либо отрезки кривых конечной длины, заключённые между двумя точками (последние не принадлежат данной траектории), либо кривые, неограниченные в одну или обе стороны. Траектории, являющиеся точками, наз. особыми точками и отвечают стационарным состояниям динамич. системы. Классификация структурных элементов фазового портрета выполнена в теории колебаний. [c.267]

Этот частный случай подсказывает, что должен существовать переходный режим от фазового портрета типа а, где кривизна капилляра существенна, к фазовому портрету типа в, в котором доминирующими являются поверхностные силы со стороны подложки. Такой промежуточный режим смачивания и ответствен за формирование менисков. Понятно также, что ниже критического капиллярного давления мениски образоваться не могут, поскольку фазовые траектории режимов 6 и г (см. рис. 2.2 б, г) описывают лишь капли. [c.45]

Из этих выражений следует, что при законе управления (5.105) особые точки отсутствуют. На рис. 5.17 показан фазовый портрет для данного случая подключения исполнительных органов, фазовые траектории которого представляют собой окружности с центрами во втором, первом, четвертом и третьем квадрантах соответственно последовательности значений А =1, 2, 3, 4. Таким образом, установившемуся режиму может предшествовать режим скольжения так, как это имеет место на фазовом портрете рис. 5.14. [c.228]

Характер траекторий изображающей точки для всех девяти зон представлен на рис. 5.22. Сравнивая фазовый портрет, данный на этом рисунке, с фазовым портретом рис. 5.21, убеждаемся в том, что диссипативные моменты приводят к тому, что фазовые траектории из окружностей превращаются в спирали. В итоге система предварительного успокоения демпфирует нутационные колебания и гасит начальные угловые скорости КА до уровня угловых скоростей Шх и Шу> определяющих собой прецессию главной оси в инерциальном пространстве, обусловленную внешними моментами и [c.235]

Общее представление о решениях системы (6.14) можно получить из рис. 7.5,д, на котором приведен ее фазовый портрет. Прямой физический смысл имеют, конечно, лишь фазовые траектории, лежащие в верхнем правом квадрате (/, и > 0). Однако соответствующие уравнения инвариантны относительно преобразований (/, и) -> (—/, —и) и (л, W i.f) - -f)- Поэтому фазовые траектории из любого квадранта могут быть приведены в первый квадрант изменением знака параметров Wi и U, и в результате, как нетрудно видеть, рис. 7.5 исчерпывает все решения при любом соотношении знаков этих параметров, за исключением случаев W2 = О (резонансные пузырьки) и и = О (отсутствие дрейфа). [c.209]

Во многих случаях вопрос о диссипативности системы удается решить, доказав отсутствие в ее фазовом портрете замкнутых фазовых траекторий и фазовых траекторий, уходящих в бесконечность. [c.87]

Попытаемся ответить на этот вопрос, анализируя фазовый портрет динамической системы. Пусть — фазовая траектория и Жо и ж, — ее точки. Предположим, что малая шаровая окрестность бо точки Жо через время i > О переходит к окрестность б< точки XI. В общем случае то, как будет меняться окрестность 5 , пока она мала, определяется линеаризованными дифференцйаль-ными уравнениями относительно отклонений от фазовой траектории у [c.74]

Рис. 4. Временная зависимость пути I, пройденного конфигуративной точкой по фазовой траектории а — фазовый переход второго рода (кривая 1 отвечает фазовому портрету на рис. 3 а, кривая 2 — рис. 5 а, кривая 3 — рис. бои кривая 4 — рис. б в) б — фазовый переход первого рода (кривая 1 отвечает фазовому портре-fy на рис. 9 а, кривая 2 — рис. 10 а, кривая 3 — рис. 11 о и кривая 4 — рис. 11 в). Начало отсчета I отмечено крестиком на соответствующих рисунках

После того, как выяснены расположение и типы состояний равн весия, доказано отсутствие замкнутых фазовых траекторий и неограниченн нарастающих решений, можно однозначно построить фазовые портрет системы (5.5) для всех четырех случаев, перечисленных в табл. 5.1. портреты даны на рис. 5.3-5.6. Из рисунков видно, что система (5.5) типичная диссипативная система любое ее движение заканчивается в одно [c.134]

При изменении состояния системы точка, изображающая это состояние в Ф. п., описывает нек-рую кривую, наз. фазовой траекторией. Черев каждую точку Ф. п. проходит, вообще говоря, одна, и только одна, фазовая траектория, поэтому ф. н. разбивается на непересекающиеся фазовые траектории, соответствующие всевозможным состояниям системы. Этот геом. образ — Ф. п., заполненное непересекающимися фазовыми траекториями, наз. фазовым портретом системы. Его можно трактовать как изображение течения нек-рой воображаемой фазовой жидкости, отдельные ч-цы к-рой движутся по фазовым траекториям. [c.799]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учитывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости (или обратной э. д.с. на сопротивлении от силы тока) нужно знать лишь ее графическое изображение, которое может быть получено и экспериментально. При этом построении, очевидно, нет никаких существенных ограничений на вид функции потерь ф (у) и ее мгновенное значение, так что данный метод с одинаковым успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших потерь, а также к системам с большой и малой нелинейностью в диссипативном элементе. Последнее обстоятельство придает методу Льенара большую общность и позволяет с его помощью изучать колебательные свойства систем при изменении затухания от малых до весьма больших значений и с учетом различных законов трения (как линейного, так и существенно нелинейных законов). Заметим, что метод Льенара широко используется для построений фазовых портретов автоколебательных систем с разными законами нелинейности, а именно для нахождения устойчивых предельных циклов — замкнутых фазовых траекторий. [c.57]

Повторяя последовательно подобное исследование по этапам, можно получить выражение для изменения if и во времени. На фазовой плоскости соответствующий фазовый портрет системы имеет вид, изображенный на рис. 2.22. Фазовые траектории будут представлять отрезки спиралей, соединенные отрезками прямой 4 = — д1щЯС в точках 1 = 4. соответствующих началам и концам этапов Ф = onst. Таким образом, мы видим, что при учете гистерезисных явлений должно происходить более быстрое уменьшение амплитуды свободных колебаний исследуемого контура. Это обусловлено тем, что существование гистерезисной петли приводит к потерям в материале сердечника за счет работы на его перемагничивание, вызванным взаимодействием элементарных областей намагничения с остальной массой вещества сердечника, и в конечном счете —к переходу магнитной энергии в тепловую за счет работы, расходуемой на переориентацию указанных областей, или доменов. [c.69]

Зависимость между ф и ф, определяемая соотношением (1.11) с некоторым значением постоянной к, геометрически представляется кривой па фазовом цилиндре ф, ф. При всевозможных значениях Ъ, мы получаем на цилиндре семейство фазовых кривых (рис. 1.6, я), представляющее фазовый портрет всевозможных движений физического маятника. Фазовым кривым, вырождающимся в точки О и О, отвечают нижнее и соответствоппо верхнее положения равновесия маятника. Кривым, охватывающим точку О, отвечают всевозможные периодические колебательные движения маятника кривым, охватывающим цилиндр,— всевозможные периодические вращательные движения маятника. На фазовом портрете видно, как переходят друг в друга различные движения маятника при плавном изменении энергии к (параметра к). Минимальному значению энергии h=—gl/J отвечает нижнее равновесие маятника О. С ростом к возникают колебания возрастающей амплитуды (замкнутые фазовые траектории, охватывающие точку О), значению к — И1 отвечают три движения— верхнее положение равновесия О и два движения 5, предельные к верхнему положению равновесия. При дальнейшем росте к возникают вращательные движения в одиу и другую сторону. [c.13]

В рассматриваемод случае с ростом времени плотность вещества р(а , у, 2, г)->-0, поэтому все фазовые траектории фазового портрета рассматриваемой системы стремятся к одной и той же точке О, отвечающей функции р(а , у, z, t) = 0, которая сама пе принадлежит фазовому пространству. [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...