Уравнение Ван дер для траектории на фазовой плоскости

Будем исследовать эти уравнения на фазовой плоскости переменных X, У (см. 1.1). Физический смысл имеют только положительные значения X и У, т. е. фазовые траектории расположены в первом квадранте. Прямая [c.363]

Так как (К) = р (К)1В < О, то эта особая точка-седло, через которое проходят только две траектории. Их уравнения на фазовой плоскости N,p в окрестности точки (/Г,0) можно записать в форме (5 50) [c.20]

Эти критерии относятся к системе дифференциальных уравнений (3.1), правые части которых являются аналитическими функциями на всей фазовой плоскости. Сформулируем сначала критерий Бендиксона, указывающий достаточное условие отсутствия замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий если в некоторой односвязной области на фазовой плоскости выражение [c.48]

Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени / = О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть S и S — координаты точки /И и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость [c.71]

С этой целью рассмотрим сначала простейший случай двумерного фазового пространства. Пусть фазовая плоскость разделяется некоторой прямой 5 на две области Di и Dj, в каждой из которых правые части соответствующих диф( )еренциальных уравнений (4.15) являются гладкими функциями фазовых переменных. Среди всех возможных типов поведения фазовых траекторий в окрестности прямой 5 рассмотрим лишь три основных случая, которые показаны на рис. 4.9. В первом случае (рис. 4.9, с) при [c.81]

При л = о рассматриваемая динамическая система будет линейной консервативной и фазовые траектории на плоскости qq представляют собой вложенные друг в друга концентрические окружности с центром в начале координат, являющимся состоянием равновесия, В этом случае решением уравнения (5.3) служит [c.120]

Очевидно, что состояние равновесия а = О, Ь = О на плоскости аЬ согласно (5.5) соответствует состоянию равновесия q = О, q = О для исходной динамической системы. Состояния равновесия системы (5.14), для которых афО, ЬфО, соответствуют периодическим движениям для исходной системы. Следовательно, изучив состояния равновесия уравнения (5.14), а также расположение фазовых траекторий на плоскости аЬ, можно судить о возможных движениях исходной динамической системы. Этот прием был впервые предложен А. А. Андроновым [3]. Переход к полярным координатам в системе уравнений (5.13) позволит ответить на вопрос о поведении интегральных кривых на плоскости qq. Пусть [c.123]

Фазовая плоскость для уравнения (6.1) вырождается в фазовую прямую. Рассмотрим представление движения на этой фазовой прямой. Согласно теореме о единственности решения уравнения (6.1), начальное условие при i = to X = х однозначно определяет дальнейшее движение изображающей точки. Характер движения изображающей точки не будет зависеть от момента времени to, так как уравнение (6.1) явно от времени не зависит. Это значит, что каждая отдельная фазовая траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, соответствующим различным t . [c.215]

На фазовой плоскости это уравнение прямой (6.12). В силу уравнения (6.10) d >/d(p -у оо при / -> О, т. е. все фазовые траектории, за исключением (6.12), вырождаются в вертикальные прямые. Фазовая прямая ф = й остается фазовой прямой. Вид фазовой плоскости при / = О представлен на рис. 6.8. Для начальных условий —УИц/с < ф < Л/q/ , ф = Q изображающая точка, перемещаясь по фазовой прямой ф = Q (колодка захвачена валом), попадет в точку Ф = Мд/с, ф = Q. Из этой точки изображающая точка [c.223]

Более полное представление об оптимальном управлении дает задана синтеза. Так называется задача определения оптимального управления в зависимости от фазовых координат (в рассматриваемом случае от Хх,Х2) Используем результаты исследования структуры оптимального управления. В начало координат траектория может входить либо при и = -И, либо при и = —1. Возьмем независимую переменную г = Т — 1. Определим все точки фазовой плоскости, из которых можно попасть в начало координат по закону оптимального управления за время Т. Уравнения движения примут вид [c.611]

Исключая из соотношений (а) и (Ь) время /, найдем уравнение траектории изображающей точки на фазовой плоскости [c.278]

Область фазовой плоскости II, расположенная выше и ниже сепаратрисы, соответствует круговращению маятника. Фазовые траектории в ней определяются уравнением (27) при X > 1. Максимумы I ф , равные 2 V(g//) X, расположены над центрами а минимумы I ф I = 2 — 1) — над седлообразными точ- [c.495]

Таким образом, исследованное положение равновесия (минимум потенциальной функции) соответствует на фазовой плоскости особой точке, называемой особой точкой типа центр, и отвечает положению равновесия, относительно которого система может совершать колебания, близкие к гармоническим или точно гармонические. Для представления на фазовой плоскости таких движений характерно наличие семейства замкнутых фазовых траекторий, окружающих центр, причем они (за исключением специальных случаев зависимости потенциальной функции от координаты в окрестностях данной особой точки) всегда стремятся к эллипсам при уменьшении амплитуды колебаний. Для рассматриваемого случая можно из уравнения (1.1.6) получить после ряда простых выкладок выражение для периода колебаний [c.19]

Если изобразить графически функцию V (х) и построить фазовые траектории на основании уравнения + Е (зг)---/г или его решения г/ = г ]/2 [/г — У (л )], то, задаваясь различными значениями Н, мы получим два характерных случая (рис. 1.3, точки А и В). Значение X = Ха соответствует минимуму потенциальной функции V (дг), и точка А (ха, 0) является особой точкой типа центр. Точка В (х , 0), соответствующая максимуму функции V (а ), представляет собой особую точку типа седло и отвечает па фазовой плоскости неустойчивому положению равновесия. [c.21]

Но независимо от того, встречаемся ли мы с простейшим случаем или с упомянутыми здесь более сложными, все равно уравнение фазовых траекторий позволяет нам получить фазовый портрет и произвести качественное рассмотрение изучаемой системы на фазовой плоскости. Разумеется не всегда может быть получено простое выражение вида y — /2 h—V(x)], и тогда для построения фазового портрета системы необходимо применять более общие приемы, как, например, метод построения фазовых траекторий с помощью изоклин. [c.23]

Таким образом, на фазовой плоскости мы получим единственную особую точку х — 0, г/ = 0 типа центр, вокруг которой располагаются замкнутые фазовые траектории, отвечающие колебательным процессам с различными амплитудами. Уравнение фазовых траекторий имеет еид = = h-V(x). [c.32]

На фазовой плоскости (х — д, у = х = ф будем иметь фазовые траектории, описываемые уравнениями [c.36]

Для всей совокупности отрицательных и положительных значений у уравнение (2.2.1) нелинейно, так как при проходе х == у через значение / = 0, а изменяется скачком от до — о и обратно. Поэтому для изображения соответствующих движений на фазовой плоскости необходимо отдельно построить фазовые траектории для I/> О и для г/<0, а затем сшить их в точках г/ = 0 для получения непрерывных фазовых траекторий на всей фазовой плоскости. В самом деле, система изучаемого типа при наличии инерционных и упругих сил, т. е. с резервуарами кинетической и потенциальной энергий, может совершать лишь непрерывные движения, допускает лишь непрерывные изменения координаты и скорости, а, следовательно, ее фазовый портрет обладает только непрерывными фазовыми траекториями. Разрывы непрерывности в значениях координаты или скорости и наличие конечных скачкообразных изменений этих величин означали бы скачкообразное изменение потенциальной или кинетической энергий, что соответствовало бы физически бессмысленному мгновенному выделению или поглощению бесконечной мощности. [c.48]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

При малом г, что соответствует большим С , изоклины близки к прямым, и такую автоколебательную систему можно считать близкой к линейной консервативной с фазовыми траекториями, близкими к эллипсам. При большом е (С мало) изоклины сильно отличаются от прямых, и фазовые траектории содержат быстрые изменения производной от координаты. В пределе при = 0 процесс описывается уравнением первого порядка, и на фазовой плоскости останется одна-единственная фазовая траектория. В этом случае периодические движения возможны лишь при наличии скачков производной при сохранении непрерывности изменения X, т. е. напряжения на емкости, определяющего запас энергии системы. [c.196]

ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. Число п называется числом степеней свободы гамильтоновой системы порядка 2п независимо от природы функции Н. Пусть /1=1. Тогда уровни функции Н(р, q)=h на фазовой плоскости состоят из траекторий решений системы уравнений Гамильтона и образуют так называемый фазовый портрет системы. При его графическом изображении принято рисовать положения равновесия и несколько характерных фазовых кривых. В случае натуральной системы [c.231]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

Рассмотрим Вариант системы (1.7), фазовый портрет которой показан на рис. 1. Траектория на фазовой плоскости определяется Уравнением [c.26]

Фазовые траектории, описываемые уравнением (3.13) и лежащие в первом квадранте фазовой плоскости, замкнуты (рис. 11). Особая точка (щ - Vo = I) является центром. Начало координат—сед- [c.67]

Корни уравнения (15) определяют равновесные значения координаты q - q - Точки Qs< 0) —особые точки дифференциального уравнения (14) все остальные точки фазовой плоскости называют регулярными. Через любую регулярную точку проходит только одна фазовая траектория. Если обобщенной координатой является угол, то вместо фазовой плоскости удобно пользоваться фазовым цилиндром (рис, 3, б). [c.24]

По функции F (х) можно судить о характере движений систем >1. Изобразим (рис. 28) график этой функции и фазовые траектории в плоскости хОи для различных значений h. Очевидно, что при переносе начала координат из точки х = О в точки x=xi i — 1.....4) оси абсцисс, уравнение (165) после подстановки I = х — Х [c.110]

Критерии существования замкнутых траекторий на фазовой плоскости. Исследования особых точек системы уравнений (163) проясняют картину поведения траекторий на фазовой плоскости в их окрестности, однако не позволяют окончательно изучить колебательные процессы, описываемые системой (163). Для системы (163) наличие колебательного процесса связано с существованием замкнутой траектории на фазовой плоскости. Пока не существуют общие теоретические методы, позволяющие установить существование замкнутых траекторий и определить место их расположения на фазовой плоскости. Общий геометрический принцип, с помощью которого можно решить вопрос о существовании замкнутой траектории системы (163), а также вопрос о существовании колебательного процесса в этой системе известен как принцип кольца и состоит в следующем.На фазовой плоскости выделяем несколько особых точек, сумма индексов которых равна + 1, и окружаем их двумя замкнутыми кривыми так, чтобы в полученной кольцеобразной области К не было особых точек. На границе Г этой области наносим направления вектора скорости изображающей точки. В кольцеобразной области /С существует по крайней мере одна замкнутая траектория. [c.111]

О, либо есть одна точка пересечения. Условие перехода от одного случая к другому даст условие появления из отрезка покоя периодического движения Наличие устойчивой точки соответствует существованию устойчивого периодического движения, составленного из кусков фазовых траекторий, принадлежащих пластинкам, и кусков траекторий между плоскостями ф = d= ij5 . Значения параметров Л и S, при которых возникают автоколебания, определяются из уравнений [c.185]

С учетом ЭТОГО изменения линии переключений разграничат фазовую плоскость (рис. 5.23) всего лишь на три зоны, в которых Фу (y) и Фф (ф) принимают одинаковые значения —1, О, +1. Для каждой из зон имеют место уравнения фазовых траекторий [c.236]

Отметим, что, строго говоря, каждая область, отождествляемая с листами фазовой плоскости, есть проекция на плоскость фазового пространства. Уравнение (24) показывает, что фазовая траектория представляет собой пространственную кривую, расположенную на трех ци- [c.25]

Нетрудно показать, что через каждую точку фазовой плоскости, в которой одновременно не обращаются в нуль скорость и ускорение, проходит только одна интегральная кривая, а следовательно, одна фазовая траектория. Наоборот, в точках фазовой плоскости, в которых обращается одновременно в нуль скорость и ускорение д = 0ил=0, пересекаются несколько фазовых траекторий. Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения интегральных кривых. [c.22]

Выбирая соответствующее значение постоянных интегрирования с, можно определить фазовую траекторию, проходящую через любую заданную точку фазовой плоскости. Поскольку постоянная интегрирования входит во все три уравнения в качестве слагаемого, то достаточно построить фазовую траекторию только для одного значения с (например, с = 0). Все же остальные фазовые траектории могут быть определены путем параллельного переноса построенной траекто-, рии вдоль оси Ох. [c.29]

Зная решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора, нетрудно найти уравнение траектории на фазовой плоскости. Если [c.542]

Основные отличия многомерных систем проявляются уже при переходе от двумерной системы к трехмерной, от двумерной фазовой плоскости к трехмерному фазовому пространству. Поведение фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве может быть запутанным и не поддающимся непосредственному восприятию. Поэтому рассмотрение трехмерного фазового пространства во многих случаях следует сводить к двумерному точечному отображению, геометрическое изображение которого с помощью инвариантных кривых столь же наглядно, как и разбиение на траектории фазовой плоскости. Эти геометрические каргинки могут быть такими же, как и в случае дифференциальных уравнений без предельных циклов, либо с существенными отличиями, которые вызываются пересечениями сепаратрисиых кривых седловых равновесий, образующими голюоинцческце структуры 4, 45]. Эти отличия существенны, так как соответствуют совершенно разным типам поведения системы. При наличии гомоклинической структуры установившиеся движения системы могут иметь стохастический характер. В частности, как некоторые аналогии периодического движения появляются так называемые стохастические синхронизмы. Стохастический синхронизм —- это автоколебание со стохастически меняющейся фазой. Соответствующая ему фазовая картина изображена на рис, 18. [c.96]

Из физических соображений очевидно, что в дифференциальных уравнениях (3.1), описывающих движение реальной физической системы, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во времени. Следовательно, правые части уравнений (3.1), вообще говоря, изменяются вместе с входяпшми в них физическими параметрами. Однако если эти изменения достаточно малы, то, как показывает практика, физическая система как бы не замечает этих изменений, качественные черты ее поведения сохраняются. Поэтому, если мы хотим, чтобы уравнения (3.1) отобразили эту особенность, нужно придать им свойство грубости, а именно при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения фазовой плоскости на траектории. Тем самым выделится класс грубых динамических систем. Грубость динамической системы можно трактовать как устойчивость структуры разбиения ее фазового пространства на траектории по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений (3.1). [c.44]

Во многих задачах не представляется возможным получить функцию последования, записанную в явном виде (4.3). В таком случае прибегают к параметрической форме этой записи, что часто облегчает не только нахождение функции последования, но и ее исследование. Пусть, например, фазовая плоскость ху рассматриваемой динамической системы разбивается прямой L, определяемой уравнением у = —kx, на две области I н И (рис. 4.3), в каждой из которых уравнения движения (4.2) различны, но линейны. Обозначим через х,, х абсциссы точек пересечения прямой у — —kx с некоторой фазовой траекторией, по которой изображающая точка движется в области I, [c.73]

Метод точечных отображений возник одновременно с появлением качественной Теории дифференциальных уравнений в основополагающих работах А. Пуанкаре, который использовал так называемые секущий отрезок (поверхность) и функцию последования (см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий на плоскости [551, при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде — в теории периодических решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в работах А. А. Андронова и А. А. Внтта, стала широко известна как метод малого параметра (см. гл. 11, п. 3). [c.91]

Для качественного описания быстрых движений на фазовой плоскости к, у достаточно представить поведение изоклины вертикальных касательных Р х, у) = 0. Пусть для конкретности рассуждений кривая Р (х, г/) = О ведет себя так, как это представлено на рис. 20, В соответствии с (53), (54) траектории движения изображающих точек, расположенные вне малок окрестности кривой Р [х, у] = О, почти горизонтальны [6, 181 Предельное положение таких траекторий при -ЬОописывается системой уравнений [c.188]

Уравнение (47) назьгеается уравнением интегральных кривых на фазовой плоскости q,q) (в данном случае фазовое пространство — плоскость состояний — фазовая плоскость). В нашем случае интегральные кривые совпадают с фазовыми траекториями. Подчеркнем, что такое совпадение имеет место не всегда, так как одна интегральная кривая может соответствовать не одной, а одновременно нескольким фазовым траекториям. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...