ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фазовые траектории и фазовый портрет из "Колебания Введение в исследование колебательных систем " Недостатком фазового портрета является невозможность непо-средственного представления процесса во времени, но этот недостаток компенсируется большим преимуществом здесь из чисто геометрического представления фазовой траектории или семейства фазовых траекторий можно сделать важные заключения о свойствах колебаний ). [c.19] На фазовой плоскости такое уравнение описывает эллипс с полуосями Л и Лш (рис. 12). В случае со=1 этот эллипс превращается в окружность. Однако окружность можно получить и для любой частоты со, изменив масштаб по оси ординат и откладывая по ней не V, а и/(о. [c.19] Рассмотрим теперь некоторые общие свойства фазовых траекторий. Непосредственно видно, что каждая фазовая траектория в верхней полуплоскости может проходить только слева направо, а в нижней полуплоскости — только справа налево. В верхней полуплоскости всегда у 0, и, следовательно, величина х может только возрастать в нижней полуплоскости, наоборот, с) 0, и величина х может только убывать. Таким образом, направление движения изображающей точки по фазовой траектории определяется однозначно на рис. 11—13 оно показано стрелками. [c.21] В точках пересечения с осью абсцисс все фазовые траектории имеют вертикальные касательные. Это следует из того, что точка пересечения с осью абсцисс характеризуется значением скорости, равным нулю. Однако когда скорость и=0, величина х имеет стационарное значение и, следовательно, касательная к фазовой траектории в точке пересечения с осью абсцисс должна быть вертикальной. Одновременно точки пересечения с осью абсцисс определяют экстремальные значения х, т. е. амплитуду колебания. Отсюда следует, что ни в одной точке верхней или нижней полуплоскости фазовая траектория не может иметь вертикальную касательную, ибо в каждой точке, где касательная вертикальна, будь то экстремальное значение или точка перегиба, скорость должна быть равной нулю. Возможны исключения, когда определенные вырожденные фазовые траектории пересекают абсциссу не вертикально, но тогда точка пересечения всегда является так называемой особой точкой. Подробнее об этом будет сказано ниже. [c.21] Отдельная фазовая траектория представляет некоторое вполне определенное движение. Если требуется общее представление о всех возможных движениях колебательной системы (осциллятора), то изображается семейство фазовых траекторий. Такое семейство траекторий называется фазовым портретом осциллятора. Подобно тому как портрет человека позволяет составить известное представление о нем, фазовый портрет показывает специалисту важные свойства осциллятора. [c.21] Положение равновесия осциллятора всегда представляется особой точкой фазовой плоскости. Легко видеть, что такая точка может лежать только на оси х, так как в противном случае состояние покоя невозможно. [c.22] По виду фазовых траекторий, окружающих особые точки, различают следующие типы этих точек центр, фокус, узел и седло. Эти понятия, заимствованные из теории дифференциальных уравнений ), оказались очень полезными для описания поведения колебательной системы. [c.22] На рис. 14 показана особая точка типа центра. Она характерна для незатухающих колебаний около положения равновесия. При наличии демпфирования каждый эллипс переходит в спираль (рис. 15), а особая точка в начале координат становится фокусом. [c.22] Если демпфирование слабое, то спираль состоит из большого числа близко расположенных витков. Чем сильнее демпфирование, тем дальше витки отстоят друг от друга. При очень сильном демпфировании фазовый портрет меняется и качественно, принимая вид, показанный на рис. 16. Здесь начало координат является узлом. В особой точке все фазовые траектории касаются проходящей через нее наклонной прямой а—а и вдоль этой прямой стягиваются в особую точку. [c.22] Таким образом, особая точка может быть достигнута лишь асимптотически и касательные к фазовым траекториям, пересекающим ось абсцисс в особой точке, не вертикальны. [c.23] На рис. 17 представлен фазовый портрет системы с особой точкой типа седла. Он характеризуется тем, что через особую точку проходят две вырожденные фазовые траектории (сепаратрисы), а остальные траектории похожи на гиперболы. Ниже мы увидим, что особая точка такого типа соответствует неустойчивому положению равновесия осциллятора. [c.23] Приведенные здесь фазовые портреты являются стандартными блоками , из которых строятся рассматриваемые в дальнейшем фазовые портреты реальных осцилляторов. Следует также заметить, что можно применять модифицированные фазовые плоскости. Так, чтобы получить фазовые траектории более простого вида, иногда целесообразно откладывать по оси ординат вместо скорости у ее подходящую функцию, а по оси абсцисс — подходящую функцию от X соответственно. Успешно применяются и фазовые плоскости, где оси координат не прямоугольные, а косоугольные ). [c.23] Вернуться к основной статье