Соотношения упругости и еще раз o6j уравнениях равновесия

Как было отмечено, отличия в двух теориях пластичности заключаются в физических законах. Что касается двух других групп основных соотношений механики — уравнений равновесия и соотношений Коши, то они справедливы в обеих теориях пластичности и имеют тот же вид, что и в теории упругости (гл. 4 и 5). [c.502]

Зависимости для 1 / J 2 / 21 могуг быть найдены после замены индексов 1 на 2, 2 на 1 и X на j в приведенных соотношениях. В уравнениях равновесия (9.9.36) силы обобщенные, а в (9-9-37) истинные. Связь между ними дана выше. Силы с составляющими деформаций или степенями удлинения должны быть связаны соотношениями упругости. Вместе с ними уравнения равновесия и геометрические соотношения в форме (9.9.2) или в другом варианте, где деформации представлены через Xi, )l2, составляют полную систему зависимостей для мембраны в прямоугольной системе координат. [c.187]

В разд. 4.2 записаны основные уравнения теории упругости — уравнения равновесия, соотношения Коши и Гука. [c.184]

Рассмотрим теперь соотношение между основными величинами. Принцип равновесия достаточно понятен, и в настоящее время ни он, ни геометриче ,ские соотношения между деформациями и перемещениями не нуждаются в обсуждении. Здесь, однако, удобно обсудить тот-факт, что для случая упругого тела, т. е. для тела, чей материал можно считать подчиняющимся закону Гука, а напряжения не превышают предела упругости, уравнения равновесия можно заменить целиком либо частично рассмотрением энергии упругой деформации, т. е. потенциальной энергии, накопленной при упругом,деформировании тела (например, энергия, накопленная при заводе часовой пружины), которую можно подсчитать как сумму работ, совершаемых при деформировании каждой части тела. [c.23]

В этом разделе представлены основные уравнения и соотношения, которые используются в расчетах многослойных конструкций. На основе вариационных методов с использованием деформационных соотношений получены уравнения равновесия, дай анализ геометрических характеристик поверхностей и соотношений упругости анизотропного тела. Рассмотрены различные случаи упругой симметрии, показаны преобразования коэффициентов [c.65]

В прямом методе построение соотношений для элемента осуществляется непосредственно с помощью учета приведенных в предыдущей главе трех систем уравнений теории упругости уравнений равновесия, соотношений между перемещениями и деформациями, а также уравнений состояния. Этот метод особенно полезен при выяснении фундаментальных соотношений между конечно-элемент-ной аппроксимацией и реальной конструкцией. Так, этим методом будет проведено теоретическое обоснование построений, проведенных в разд. 2.2 и 2.3. Прямому методу присущи черты, свойственные и другим подходам к построению конечно-элементной модели. Особенно это затрагивает вопросы задания сил, если известны напряжения, и деформаций, если известны перемещения. Этот подход включает основные положения, использованные на ранней стадии развития метода конечных элементов [см. 5.1, 5.2]. Однако область применения прямого метода ограничена его трудно или даже невозможно применять при выводе соотношений для усложненных элементов и в некоторых специальных задачах. [c.125]

Уравнения равновесия [1] (1.16) и соотношения упругости [1] (3.26) в цилиндрических координатах имеют вид [c.308]

Поскольку, согласно определению, условия па боковой поверхности призматического тела не зависят от координаты Хз, граничные условия задаются на контуре одного из поперечных сечений или на нескольких контурах, если сечение многосвязное. Таким образом, система дифференциальных уравнений равновесия (6.5) и соотношения (6.3), наряду с контурными условиями, характеризуют более простые задачи статики упругого тела ( 35) при этом здесь также различают три основные двумерные граничные задачи. [c.101]

Шесть соотношений (3.23) между и вц вместе о тремя дифференциальными уравнениями равновесия (2.26) и шестью дифференциальными зависимостями Коши (1.40) составляют замкнутую систему уравнений теории упругости, число которых равно числу неизвестных функций ui, e,j, Otj. [c.55]

Таким образом, решение задачи для физически нелинейной упругой среды сводится к решению уравнений равновесия (4.4) гл. III и уравнений совместности деформаций (4.6) гл. III с учетом соотношений (4). Очевидно, что рассмотрение задач плоской деформации и плоского напряженного состояния (как и для линейной среды) можно проводить единым образом, поскольку различие сказывается лишь на значениях постоянных. [c.668]

Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа соответствующих функций. Уравнения (17.9.1) имеют форму обычных уравнений закона Гука. Выполняя преобразования Лапласа над уравнениями равновесия, соотношениями связи между деформациями и перемещениями и граничными условиями, мы получим для изображений систему уравнений, совпадающую с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не отличается от решения задачи обычной теории упругости изображения напряжений и перемещений оказываются выраженными явно через изображения заданных на границе усилий и перемещений и функций наследственности. Теперь последний этап будет заключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам. Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается принципом Вольтерра, но в других терминах. [c.599]

Здесь 2 — текущее значение относительного напряжения во втором стержне, а U — начальное значение этого напряжения, которое определяется пз упругой части решения, приведенного ранее. Соотношение (3.58) дает возможность для каждого момента времени определить значение силы = iEA. В свою очередь, из уравнения равновесия можно найти Ni. Так как в задачах ползучести большей частью определяют значение накопленной деформации, то из соотношения ползучести (3.54) можно определить [c.76]

Решение задачи в перемещениях строится на базе уравнений, получающихся путем замены в уравнениях равновесия (19.3) напряжений T.V, ст,/, Хху деформациями с использованием соотношений упругости (19.1) с последующей заменой деформаций их выражением через перемещения согласно соотношениям Коши (19.2). Это дает два дифференциальных уравнения в частных производных вида [c.441]

Решение задачи в напряжениях строится на базе двух уравнений равновесия, записанных в виде (19.3) с привлечением условия совместности деформаций (19.4). С помощью соотношений упругости [c.441]

Решение в перемещениях строится на базе уравнений равновесия (19.3), в которых, как и в случае плоской деформации, напряжения следует заменить их выражениями через деформации по соотношениям упругости (19.13), а деформации заменить их выражениями через перемещения согласно соотношениям Коши (19.2). [c.443]

Решение в напряжениях строится на базе уравнений равновесия (19.3), записанных в напряжениях а ., Оу, х, , и уравнения совместности деформаций (19.4), в котором деформации согласно соотношениям упругости (19.12) заменяются напряжениями. Поступая аналогично случаю плоской деформации и подобным же образом исключая смешанную производную т х и у функции т ., получим уравнение [c.443]

Пусть (г), 81 (г), г4 (г) — решение граничной задачи для упругого тела, деформации которого сопровождаются большими углами поворота при малых удлинениях и сдвигах, не превосходящих предела пропорциональности. Тогда компоненты тензора деформации e j (г) и напряжений о (г), а также вектора перемещений И (г) будут удовлетворять закону упругости (5.1), нелинейные уравнениям равновесия (5.4), соотношениям (5.5) и граничным условиям (5.6). Прямой подстановкой можно показать, что решение 8 ( , г), t, г), t,r) граничной задачи для такого [c.297]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Кроме того, принцип соответствия не существует ни для ТПМ, ни для рассмотренного выше типа ТСМ, если поле температур одновременно нестационарно и неоднородно. Действительно, если в качестве независимых переменных использовать t и Xi, то преобразования определяющих уравнений не имеют вида, присущего упругим зависимостям между напряжениями и деформациями. С другой стороны, если независимыми переменными являются I и Xi, то, согласно [72J, производные по координатам в уравнениях равновесия и соотношениях между перемещениями И деформациями нужно заменить на [c.144]

Рис. 18.81. Упруго-пластический переход от вертикального равновесия стойки к наклонному а) к составлению уравнений равновесия б) к составлению кинематических соотношений.

Используя соотношения упругости (6.26) и (6.27), получаем систему уравнений равновесия в перемещениях [c.242]

Преобразуем уравнения равновесия, используя гипотезу (7.1). Из соотношений упругости [c.314]

Соотношение (II. 59) представляет собой уравнение равновесия упругих и центробежных сил в точке присоединения диска (массы т ). Соотношение же (II. 60) есть уравнение равновесия упругих и центробежных сил на опоре (массе т ). Эти два уравнения и определяют неизвестные прогибы и как функции оборотов со. [c.93]

Рассмотренные в двух предыдущих главах статические и геометрические соотношения механики деформируемого твердого тела (уравнения равновесия Навье и соотношения Коши) не зависят от свойств материала и его поведения при деформировании (упругость, пластичность, ползучесть). [c.106]

Уравнения (16.14) называются уравнениями Ляме. По своей сути они являются уравнениями равновесия, выраженными через перемещения. Поскольку при выводе этих уравнений использовались все основные соотношения теории упругости, можно сказать, что уравнения Ляме являются синтезом статических, геометрических и физических уравнений. [c.339]

Тогда уравнения равновесия будут удовлетворяться, а из соотношений упругости [c.192]

Такой вид соотношений упругости в линейной теории позволяет удовлетворить шестому уравнению равновесия и теореме взаимности. Учитывая шестое уравнение равновесия, получаем вместо (4.6) одно выражение [c.41]

ТО первые два уравнения равновесия (1.6) при этом удовлетворяются тождественно. Из четвертого и пятого уравнений, учитывая соотношения упругости (4.4) гл. II и условия Кодацци [c.47]

Уравнения равновесия, силовые граничные условия и геометрические соотношения, а также соответствующие им уравнения связи между масштабами в теории малых упругопластических деформаций совпадают с аналогичными уравнениями линейной теории упругости ( 5.1) и в данном разделе не рассматриваются. [c.91]

Пользуясь результатами масштабных преобразований уравнений равновесия, граничных условий и геометрических соотношений линейной теории упругости, которые, как указывалось, справедливы для случая упругопластических деформаций и допускают известный произвол в выборе масштаба относительных удлинений ( 5.1), можно поставить выбор этого масштаба в зависимость от характера диаграмм деформации модели и натуры. [c.93]

Сохраняя обозначения, принятые в 6.2, представим геометрические зависимости (I), соотношения упругости (II) и уравнения равновесия (III) полубезмоментной теории в форме [c.120]

Тогда вариационные уравнения для всех рассматриваемые конструктивно-анизотропных оболочек в качестве условий стационарности имеют одинаковые дифференциальные уравнения равновесия, выраженные в обобщенных усилиях (производные понимаются в обобщенном смысле), и геометрические соотношения такие же, как для гладкой оболочки. Все различия содержатся в физических уравнениях, которые в общем случае по форме совпадают с уравнениями для анизотропных оболочек, но имеют различные параметры упругости, отражающие все особенности конструктивной анизотропии. Таким образом, приведение конструктивно-анизотропных оболочек к анизотропным состоит в определении физических параметров. [c.218]

Итак, мы получили все определяющие соотношения для задачи линейной теории упругости уравнения равновесия (1.4), соотношения деформации—перемещения (1.5), соотношения напряжения—деформации (1.6) внутри тела V и граничные условия в напряжениях и перемещениях (1.12), (1.14) на границе тела S. Эти соотношения показывают, что мы имеем 15 неизвестных, а именно 6 компонент напряжений, 6 компонент дефотмаций, 3 компоненты перемещения в 15 уравнениях (1.4) и (1. , (1.6). Нашей задачей является решить эти 15 уравнений при граничных условиях (1.12) и (1.14). Поскольку все уравнения линейны, то для построения решений может быть использовано правило суперпозиции. Следовательно, мы получили линейные соотношения между заданными величинами, скажем нагрузками на Si, и неизвестными, какими являются напряжения и перемещения внутри тела. [c.26]

Изучению напряжений, деформаций и перемещений в пластически деформируемых телах посвящен раздел механики деформируемого твердого тела, называемый теорией пластичности [10, 12, 13, 18, 36]. Теория пластичиости решает глав1гым обра юм те же задачи, что и линейная теория упругости, но для материалов с другими физическими свойствами. Поэтому между указанными теориями имеется много общего, в частности общими оказываьзтся уравнения равновесия, зависимости между перемещениями и деформациями, уравнения совместности деформаций. Только вместо закона Гука, используемого в линейной теории упругости, в теории пластичности применяются другие физические соотношения. [c.293]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии тонких плит (пластин) в общем случае связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия (16.40), в которых усилия и моменты для линейно-упругих материалов с характеристиками деформации связаны соотношениями (16.26). Де- рмации, в свою очередь, выражаются через перемещения по формулам (16.14) в декартовых осях и по формулам (16.15) в полярных оординатах. Эта задача представляет большие математические трудности, и поэтому целесообразно классифицировать задачи, с тем чтобы выделить из них те случаи, которые дают возможность применительно к разным конкретным условиям получить более простые уравнения, поддающиеся решению относительно простыми средст-<вами. [c.389]

Нетрудно видеть, что принятые (в соответствии с, предложе-ниями Л. И. Балабуха и В. В. Новожилова) соотношения упругости (5.46) для Тда, Tai, М12 И Маг удовлетворяют последнему уравнению равновесия тождественно. Это и было целью учета малых добавок HiRi и HIR2 в формулах (5.46). С учетом соотношения Mi2 = Мц = Н уравнения моментов относительно направлений ti и tg могут быть также записаны в виде [c.253]

Так-как все входящие в уравнения (5,59) усилия и моменты выражены с помощью уравнений упругости (5.46) через деформации и параметры изменения кривизны срединной поверхности, а последние с помощью геометрических соотношений (5.33) — через три компонента вектора перемещений, то, в конечном счётеГ три уравнения равновесия (5.59) определяют три неизвестные функции и, V и W, [c.254]

Соотношения типа (8.17) для точек гайки записываются аналогично. Определение функцир влияния производится ио обычно 1 методике решения задач теории упругости. При использовании метода конечных элементов эта задача облегчается (см. с. 116). Записывая условие (8.16) для всех окружностей контакта и учитывая уравнения равновесия (8.13), соотношения (8.17) и краевые условия задачи, найдем неизвестные контактные да1вления. [c.149]

В плоской задаче теории упругости неизвестными являются восемь функций Tpi составляющие напряжений а,., Оу, т. три составляющие дефор1аций г-р. , Vii, и лве составляющие перемещений и и V. Уравнений для решения задачи также Bo e i два дифференциальных уравнения равновесия (ft.2). три геометрических соотношения Коши (6,4) и три формулы. закона Гука (6.7) или (6,8), [c.60]

Рассмотрим основные уравнения установившейся ползучести. Уравнения теории напряжений и теории деформации остаются теми же, что и в теории упругости и пластичности. Это дифференциальные уравнения равновесия (4, Г), условия на поверхности (4.2), геометрические соотношения Хоши (4.С) и уравнения неразрывности 4.4). [c.253]

Покажем, что при этом строго выполняются все основные соотношения теории упругости. Очевидно, что, если a = onst, а x,j = 0, то уравнения равновесия (16.1) обращаются в тождества. Из закона Гука (16.3) получим, что также постоянны по объему тела, а у,у = 0. Отсюда следует, что условия совместности деформаций Сен-Венана (16.4) и (16.5) также выполняются. Рассмотрим граничные условия в напряжениях (16.7). Проектируя нагрузку р в любой точке поверхности на оси координат (рис. 16.10), получим [c.341]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...