Устойчивость отображения периодов

ЗЛО. Устойчивость отображения периодов. Определим отношение эквивалентности на множестве всех сечений расслоения когомологий [c.105]

Пример. Устойчивое отображение периодов особенности Аз, f = x + у , определяет на базе версальной деформации (рис. 55) [c.108]

При любом Ь у этого отображения имеется неподвижная точка Хк+1 = Хк = X = О, а при Ь > 1 — еще одна х = 1 — 1/Ь. Эта точка устойчива вплоть до Ь = 3. При Ь > 3 нетривиальная неподвижная точка становится неустойчивой мультипликатор (1хи+1/(1хи в этой точке переходит через значение —1 и возникает устойчивое периодическое движение периода 2. Этому соответствует появление двух действительных корней в уравнении хи+2 = хи- Однократная неподвижная точка не исчезает, но она становится неустойчивой. Двукратный цикл устойчив в интервале изменения параметра 3 < Ь < 3,45. Когда Ь и 3,45 двукратный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый четырехкратный цикл. Дальнейшее увеличение Ь приводит к тому, что он теряет устойчивость и возникает устойчивый цикл периода 2 , затем периода 2 ,. .., 2", 2"+1 и т. д. Наконец, при 3,57 устойчивых периодических движений не остается и происходит переход к стохастичности. В трехмерном фазовом пространстве этому соответствует появление странного аттрактора (рис. 22.16). Обратим внимание на то, что и при Ь > 3, 57 это отображение может иметь устойчивые периодические точки например, при Ь = 3,83 существует устойчивый трехкратный цикл [14]. [c.478]

Определение, к-присоединенное отображение периодов формы (О называется устойчивым, если -присоединенное отображение периодов любой голоморфной формы, близкой к й), ему эквивалентно. [c.106]

Если отображение Т — это отображение, порождаемое фазовыми траекториями, близкими к периодическому движению Г на секущей поверхности S, то первой из описанных бифуркаций устойчивой неподвижной точки соответствует мягкий режим удвоения периода колебаний. Поясняющие этот процесс фазовые картинки в трехмерном случае представлены на рис. 7.П. Как меняются при этом осциллограммы колебаний, изображено на рис. 7.12. При этом Г изображает родившееся движение удвоенного по отношению к периоду прежнего периодического движения Г Ч Периодическое движение переходит в На секущей поверхности S неподвижная точка переходит в О и при этом одновременно рождается цикл двукратных неподвижных точек (О, , 0.у ). На секущей поверхности S стрелками изображается отображение Т . Для отображения [c.259]

Определение 2. Отображение за период называется устойчивым в будущем, если для Ve > О 3O > О и для Vxo I Xq I < O => => II X (tQ + T, io)xo II < e для /N > 0. [c.457]

Таким образом, в большинстве случаев для определения устойчивости решений линейной системы с периодическими коэффициентами достаточно определить отображение за период Х( о + т, /о) и найти собственные числа этой матрицы. Исключительными являются случаи, когда выполнено (20), но среди корней А имеются кратные. [c.458]

Указанным в теореме неподвижным точкам отображения Пуанкаре соответствуют устойчивые периодические решения периода 2тг/ исходной задачи. Поведение системы вдоль этих решений следующее фазовая точка начинает движение при г = О в области G3, затем пересекает сепаратрису, попадает в область С или С2 затем вновь пересекает сепаратрису и возвращается в G3. [c.195]

Отображения /(ж), имеющие плавный максимум, в котором вторая производная, подобно (19.16), отрицательна, подчиняются определенным закономерностям. Пусть А — значение параметра, при котором период удваивается 8-й раз. Тогда оказывается, что последовательность А геометрически сходится к Ас Ас — А Наиболее впечатляющей особенностью различных систем, испытывающих удвоение периода, явилось то, ЧТО значение 6, впервые вычисленное Фейгенбаумом, одинаково и равно универсальному числу 6 = 4,6692016. .. Аналогичный результат был получен и для процесса расщепления устойчивых точек расстояние от точки ж = 1/2 до ближайшей к ней неподвижной точки на 2 -цикле подчиняется закону ёд+г = —а с1з, где а —универсальное число, равное 2,503. .. [c.176]

Пусть / 5 - 5 —некоторое С°°-отображение, и пусть х — такая периодическая точка периода п этого отображения, что (/") (х) = 1. Докажите, что / не является С -сильно структурно устойчивым ни для какого к. [c.83]

К 0,9716 ( 4.4). С ростом К первичные точки периода 2, а затем и периода 1 становятся неустойчивыми, однако, как видно из рисунка, островки устойчивости существуют и при больших К-Таким образом, стандартное отображение, в котором для любого ненулевого значения К нет ни полной интегрируемости, ни сплошного хаоса, является характерным представителем типичной гамильтоновой системы. [c.255]

При дальнейшем уменьшении параметра С обе неподвижные точки периода 2 становятся неустойчивыми. Поскольку в их окрестности отображение /а х) также квадратично, следует ожидать аналогичной бифуркации, при которой возникают четыре неподвижные точки периода 4 и т. д. Означает ли это, что при любом значении параметра имеется либо устойчивое решение, либо (устойчивая) бифуркация Оказывается, что нет. Последовательность бифуркаций удвоения периода кончается, достигая бесконечного периода при конечном значении параметра С = Соо. За этим значением лежат области хаоса. [c.432]

Точно так же с помощью отображений Д, Д, /в, люжно найти устойчивые траектории с основным периодом л 4, 5, 6,. ... Для каждой из этих траекторий существует своя последовательность, бифуркаций удвоения с начальной точкой Со и точкой сгущения С . Порядок, в котором появляются основные периоды при уменьшении параметра, является универсальным для всех отображений с одним квадратичным максимумом. Например, первые шесть пе- [c.441]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

Теорема. Инфинитезимально невырожденное й-присо-единение отображение периодов устойчиво. Для квазиодно родной функции f все инфинитезимально невырожденные Л-при-соединенные отображения периодов голоморфных форм эквивалентны между собой. [c.106]

Теорема. Форма пересечений инфинитезимально невырожденного -присоединенного отображения периодов устойчива. Если f— квазиоднородная- функция,-то..любые., две тзкйё формы эквивалентны между собой. [c.106]

Теорема 3. Если к-е ассоциированное отображение периодов голоморфной формы инфинитезимально невырождено, то оно устойчиво [то есть локально (в точках, близких к вершине) оно эквивалентно к-му ассоциированному отображению периодов любой близкой формы). [c.102]

Теорема 6. Форма пересечения из теоремы 5 устойчива [две таких формы, определённые к-ми ассоциированными отображениями периодов близких голоморфных форм, преобразуются друг в друга биголо-морфным отображением пары (Л, Е) на себя). [c.102]

Теорема 7. Любые два ростка форм пересечения, определённых инфинитезимально устойчивыми к-ми ассоциированными отображениями периодов голоморфных форм, эквивалентны, при условии квазиоднородности исходной функции /. [c.102]

Мы видим, что при малых ц, < 0,92 имеют место либо квазипериодические движепия, либо синхронизм высоких порядков. При ц, 0,02 возникает касание графика функции точечного отображения с биссектрисой, а затем сначала две, потом четыре точки пересечения. Это означает появление сначала одного, а затем двух устойчивых периодических движений периода 2я. При дальнейшем росте параметра ц- они теряют устойчивость, но взамен появляются устойчивые периодические движения периода 4л. Уже при х = 1,44 устойчивые неподвижные точки численно не обнаруживаются, и движения системы носят хаотический характер (естественно, в малой окрестности некоторой тороидальной поверхности, пересекающейся с секущим цилиндром 0 = О по замкнутой кривой 1). При дальнейшем увеличении параметра ц-возникают новые пересечения графика точечного отображения с биссектрисой, т. е. вновь, но уже для очень узкого промежутка значений параметров возникают устойчивые периодические движепия периода 2л, 4л и т. д. Затем наступает хаос. При дальнейшем увеличении параметра x картина повторяется, но с каждым разом области существования устойчивых периодических движений периодов 2л, 4л,. .. по параметру [х становятся меньше и меньше. При больших значениях параметра ц- они практически исчезают, и движения приобретают хаотический характер. Инте- [c.204]

Выше было рассказано о результатах численного исследования уравнения (4.10) при М = 0,1 /г = 1. Однако, как показали аналогичные численные исследования, такие же результаты получаются и при других значениях параметров М ш Ъ, если только Н> М. При несоблюдении этого условия ж к< М возможность сведения к точечному отображению окружности в себя исчезает, и необходимо исследовать точечное отображение двумерного цилиндра в себя. Общая схема изменений фазового портрета оказывается следующей. При малых ц- возникают устойчивые вращательные синхронизмы, области притяжения которых разделяются сепаратрисами 3 и 3 седловых ненрдвижных точек. С ростом параметра ц, число их возрастает, и вместе с этим возникают пересечения сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек, отвечающих разным синхронизмам. Это приводит к усложнению вида областей притяжения устойчивых синхронизмов. Дальнейшее увеличение параметра ц- сопровождается появлением новых пересечений сепаратрис и возникновением гомоклинических структур, содержащих циклы. При этом характер приближения фазовых точек к устойчивым синхронизмам носит весьма сложный немонотонный характер фазовая точка то приближается к нему, то удаляется и, лишь попав в достаточно малую его окрестность, стремится к нему. В соответствии с этим области притяжения устойчивых синхронизмов имеют сложный и тонкий характер. При дальнейшем росте параметра [х начинаются бифуркации удвоения периодов устойчивых синхронизмов с одновременным образованием новых седдовых синхронизмов которые ведут к еще большей хаотизации движений и утопьше-нию областей притяжения устойчивых синхронизмов. При ничтожно малых возмущениях фазовая точка блуждает по поверхности секущего цилиндра, не попадая в малые окрестности устойчивых синхронизмов. [c.206]

Теорема 7. Если отображение за период является преобразованием устойчивым в будугцем, то тривиальное регпение х = О устойчиво. [c.457]

При учете неабсолютной жесткости связи можно разложить бифуркацию касания на последовательность стандартных бифуркаций неподвижных точек гладких отображений. Так, вышеупомянутая потеря устойчивости сопровождается бифуркацией удвоения периода. Рождаюгциеся в результате устойчивые решения двойного периода в свою очередь либо сливаются с неустойчивыми решениями того же периода и исчезают, либо проходят через удвоение периода и т. д. В случае, когда имеется бесконено много удвоений периода, движение принимает хаотический характер. [c.248]

Такое отображение имеет две неподвижные точки — неустойчивую х = у = 0 и устойчивую х=1 — (1— )lbi y = - . При некотором iLi = iLii( ) вторая из этих точек теряет устойчивость, и, кроме того, появляется двукратный цикл, т. е. неподвижная точка второй итерации Хп- -2 = П2(хп). В окрестности своей неподвижной точки эта вторая итерация путем перенормировки значений х, i и приводится к такому же функциональному виду, как исходное отображение (причем перенормировка имеет вид 2 = ). Поэтому далее происходит последовательность бифуркаций удвоения периода с асимптотическими законами подобия Фейгенбаума при тех же параметрах б и а, с той же точкой накопления i x> (при x> = 0) и с аналогичным вышеизложенному дальнейшим поведением при ц > Цс . Для эквивалентного (2.100), (2.90) отображения [c.136]

Проследим возникновение точек 61, 62 при переходе А через значение А = 3. Вначале отметим, что в неподвижной точке ах отображения /2 велргтина 1/2 ( 1) = (2 — А) меньше единицы в интервале 1 < А < 3 и больше единицы при А > 3. Следовательно, график / = /2 (ж) пересекает прямую у = X в точках ао, ах при 1 < А < 3 ив точках ао, ах, Ьх, 62 при А > 3. Члены подпоследовательностей Ж2й+1, Х2к генерируются через промежуток времени 2т. В этом случае говорят, что отображение имеет устойчивый цикл 2 с периодом 2. Переход от неподвижной точки с устойчивым циклом 2° к циклу 2 произошел в результате бифуркации, [c.175]

Применение метода точечных отображений к изучению динамики виброударника позволило Л. В. Беспаловой (1957) отыскать все возможные виды периодических движений и исследовать их устойчивость и зависимость от параметров. В случае упругого удара массы об ограничитель, когда задача сводится к исследованию точечного отображения поверхности цилиндра в себя, любое периодическое движение виброударника можно характеризовать числом ударов за период движения т и кратностью периода движения периоду внешней силы п. Исследование устойчивости одноударных -кратных периодических движений показало, что часть найденных ранее (из условия действительности и положительности ударной скорости) областей суш ествования выпадает из-за потери устойчивости. Другая часть этих областей выпадает из-за наличия -бифуркационных границ, разделяюш,их периодические движения с различным числом ударов. [c.149]

Для исследования устойчивости периодического движения периода т можно вместо отображения (6) воспользоваться отображением Тпереводящим любую точку окрестности точки в точку, в которую она переходит по истечении времени т. В случае неавтономной системы корни характеристических уравнений отображений и (6) совпадают, а в случае автономной системы отображение имеет дополнительный корень, равный единице (остальные корни совпадают) (Ю, И. Неймарк, 1958). [c.154]

При исследовании колебательных систем с периодически меняющимися параметрами (см. 25) мы выяснили, что параметрнческвй резонанс зависит от поведения собственных чисел некоторого линейного преобразования ( ото-сбражения за период ). Зависимость состоит в том, что положения равновесия системы с периодически меняющимися параметрами устойчиво, если собственные числа отображения за период по модулю меньше единищл, и неустойчиво, если хотя бы одно из собственных чисел по модулю больше единицы. [c.197]

Доказательство. Покажем, что множество диффеоморфизмов Купки— Смейла данного порядка открыто в С -топологии. Это следует из тех фактов, что, во-первых, множество диффеоморфизмов, все периодические точки которых являются гиперболическими, открыто в С -топологии и в силу компактности существует лишь конечное множество периодических точек любого данного периода (если все они гиперболические) и, во-вторых, устойчивое и неустойчивое многообразия (с С-топологией) непрерывно зависят от отображения, так что, поскольку трансверсальность является открытым условием (по следствию П 3.18), условие трансверсальности замкнутых п-шаров в устойчивом и неустойчивом многообразиях также открыто. Теперь установим плотность в С-топологии множества таких диффеомм-физмов, которые имеют только гиперболические периодические точки. По [c.298]

Прежде чем перейти к общему доказательству ограниченности числа периодических точек числом Лефшеца, посмотрим, что происходит с возмущениями линейных отображений. По предложению 1.1.4 любая периодическая точка PJ сохраняется при достаточно малых С -возмущениях и ее индекс также не меняется. Замечательно, что если преобразование А гиперболическое, то достаточно малое возмущение сохраняет индексы всех периодических точек. Это можно показать следующим образом в силу структурной устойчивости (теорема 2.6.3 для двумерного случая, которая дословно переносится на случай произвольной размерности) число Р (/) точек периода п постоянно для любого отображения /, достаточно близкого к и по следствию 6.4.7 они все гиперболические и, следовательно, все имеют одинаковый индекс, поскольку L(/) = L( ). [c.339]

Длинная ось симметрии соответствует гиперболической точке периода два, и орбиты, проходящие через каждый из фокусов, образуют две ветви вырожденной инвариантной кривой, содержащей такую орбиту (упражнение 9.2.5). Эти ветви переставляются биллиардным отображением, и каждая из них состоит из ветви устойчивого многообразия одной из точек этой периодической орбиты и ветви неустойчивого многообразия другой. Поэтому все орбиты на этой кривой являются нетрансверсальными гетероклини-ческнми орбитами, и возмущения данного биллиардного отображения в соответствии с теоремой Купки — Смейла дают примеры сложного поведения (сравните с примером в конце 7.2). Короткая ось симметрии соответствует эллиптическим орбитам. Заметим, что индекс гиперболической орбиты как неподвижной точки квадрата отображения возвращения равен -1, а индекс эллиптической орбиты равен +1 (см. таблицу в 8.4). [c.351]

Доказательство. Сначала докажем, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий для Р состоит не более чем из одной точки. Будем рассуждать от противного и предположим, что у 6 И "(х) П И (х) и уф X. Выберем окрестность Р точки х с локальной структурой произведения, которая не содержит у. Поскольку множества Р) = г У г)ПР ф ф0 и Р) = г г)ПРф0 открыты, Ш (Р)пШ (Р) представляет собой окрестность точки у. Так как по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в = Т", существует поднятие у /-периодической точки из множества И (Р) П И (Р) Р. Но П Р 0 и И (у) ПРф0, так что благодаря наличию стр туры произведения на Р найдется точка х W y ) П П Р. Таким образом, без потери общности мы можем считать, что у 6 х) П 1У (х), уфх я х — поднятие неподвижной точки отображения / (быть может, после перехода к некоторой итерации). Меняя, если нужно, поднятие Р отображения /, мы можем считать, что х — неподвижная точка отображения Р. -гомоклиническая точка у по следствию 6.5.6 является неблуждающей точкой, так что, поскольку периодические точки плотны в iVW(P), найдется периодическая точка г отображения Р вблизи у. Но если п — период г, то тем самым показано, что отображение Р" имеет две неподвижные точки, вопреки лемме 18.6.3. [c.591]

Как мы видели в 4.1, в стандартном отображении островки устойчивости существуют при сколь угодно больших К- С увеличением К эти островки уменьшаются, но поскольку они могут существовать вокруг периодических точек произвольно большого периода, то возникает вопрос, не занимают ли они значительную часть фазовой плоскости, что привело бы к неправильному значению КС-энтропии (5.3.8) даже для больших К- Чириков исследовал этот вопрос двумя методами. В первом квадрат 2л X 2я разделялся на 100 X 100 ячеек и вычислялась доля ячеек, в которые попадала траектория с начальными условиями на стохастической колшоненте. Ясно, что такое огрубление может давать правильные результаты только для относительно малых значений К, когда [c.311]

Это условие не является необходимым для хаоса, как показывает расс.мотренный ранее пример (5.2.32), а также отображение Лоренца (рис. 1.21). Напротив, области с / = О способствуют устойчивости (регулярности) движения, так как они уменьшают показатели Ляпунова [см. (7.2.46)]. Поэтому рассматриваемая ниже теория бифуркаций удвоения периода в окрестности (х) = О есть прежде всего теория сложного разрушения такой устойчивости.— Прим. ред. [c.427]

Следуя Экману [112], покажем, каким образом это происходит на примере потери устойчивости предельного цикла периода 3 для одномерного квадратичного отображения (7.2.4). В п. 7.26 (см. рис. 7.15 и пояснения к нему) было показано, что при С = = [c.484]

Дополнительное измерение (по у) также должно иметь параметр подобия. Это видно, например, из рис. Б.З. Здесь кружки представляют траекторию периода 2, возникающую при потере устойчивости неподвижной точки (квадрат) треугольники — траекторию периода 4 и точки — траекторию периода 8. Нетрудно заметить подобие в расположении периодических точек картина вокруг квадрата повторяется в уменьшенном масштабе вокруг левого кружка (с отражением). Обе картины можно совместить, увеличив масштаб по оси л в а — 4,018 раза [что хорошо согласуется с (Б.4)], а по оси в Р 16,36 раза. Фактически эти параметры принимают точные значения лишь в ренормализационном пределе. Оказывается, что при С = С , подобие распространяется не только на периодические точки, но и на все отображение Too, если применить его дважды и изменить масштабы [1671 [c.500]

Перенормировка и критерий удвоения периода. Две идеи ифа-ют важную роль в понимании явления удвоения периода первая — понятие бифуркации решений, вторая — идея перенормировки. Наглядное представление о том, что такое бифуркащ1я, дает рис. S.10. Термин бифуркация используется для обозначения внезапного качественного изменения поведения системы при изменении некоторого параметра. Например, на рис. S.12 стационарное периодическое решение Xq становится неустойчивым при некотором значении параметра , и амплитуда начинает осциллировать между двумя значениями х и j f, совершая полный цикл за вдвое большее время, чем до потери устойчивости. При дальнейшем изменении параметра амплитуды х и х также теряют устойчивость, и решение претерпевает ветвление, переходя в новый цикл периода 4. В случае квадратичного отображения (S.3.1) также бифуркации решения продолжаются неограниченно при возрастании (или убывании) X." Однако критические значения параметра стремятся к точке накопления, т. е. Jim IXJ = I <00, при переходе через которую система допускает хаотическое непериодическое решение. Таким обра- [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...