Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...

Статьи Чертежи Таблицы О сайте Реклама

Теорема о неподвижной точке

Теорема Пуанкаре о кольце. Существует одна теорема о неподвижной точке, которая особенно тесно связана с именем Пуанкаре. Эту  [c.619]

Пуанкаре принадлежит первый вариант знаменитой теоремы [96], [97] о неподвижной точке, однако в приложениях получила большее распространение другая формулировка теоремы о неподвижной точке, принадлежащая Дж. Биркгофу [98], [99]. Зигель дал новое доказательство [6] теоремы Биркгофа,. сопровождаемое более точными необходимыми оценками для отображаемых областей и для постоянных.  [c.798]


Такое изменение основных целей исследования повлекло за собой и появление специфического математического аппарата в 50-х годах нашего века для доказательства существования точки рыночного равновесия, т. е. некоторого вектора положительных цен в условиях неположительного избыточного спроса, стали использоваться топологические методы, например теорема о неподвижной точке 2.10 .  [c.19]

Книга представляет собой вводный курс лекций по голоморфной динамике — одной из интенсивно развивающихся областей современной математики. В них рассмотрена теория римановых поверхностей, теоремы о неподвижной точке. Обсуждаются современные результаты по структуре множеств Жюлиа. Имеется ряд приложений.  [c.4]

Теорема о неподвижных точках рационального отображения. Для любого нетождественного рационального отображения / С —С справедливо соотношение  [c.172]

В случае сжимаемости вспомогательного отображения утверждение о неподвижных точках допускает уточнение, состоящее в утверждении пе только существования или несуществования, но и в случае существования — единственности. В дальнейшем сформулированные выше утверждения о вспомогательных отображениях и о связи неподвижных точек вспомогательных отображений с неподвижными точками исходных отображений будут применяться в различных конкретных ситуациях. Ниже формулируются теоремы для двух, в некотором смысле, крайних случаев.  [c.130]

НИИ теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении сильно нерезонансных инвариантных торов и геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках отображения кольца. При этом остается неясным вопрос об аналитической зависимости этих решений от параметра е, а также ничего определенного нельзя сказать об их устойчивости.  [c.242]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью.  [c.11]


Теоремы А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа о неподвижной точке применялись Биркгофом [100], Зигелем [6] и Ю. Мозером [30] для доказательства существования новых семейств (отличных от решений первого сорта Пуанкаре) почти-круговых решений ограниченной круговой задачи трех тел.  [c.798]

Теорема 8.6.5 (теорема Брауэра о неподвижной точке). Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя обладает неподвижной точкой.  [c.334]

Д о к а 3 ат е л ь с т в о. Первое утверждение леммы 20.5.7 означает, что множество Со компактно в топологии поточечной сходимости (по теореме Тихонова, согласно которой произведение компактных множеств компактно). Тогда по теореме Тихонова о неподвижной точке П 2.11 существует  [c.647]

Но по теореме Брауэра о неподвижной точке (теорема 8.6.5) отображение F обладает неподвижной точкой 6 5, так что f(xQ)eU na = F(a )6i7 для некоторого а, и, согласно нашей лемме, отображение / обладает неподвижной точкой.  [c.701]

Теорема Биркгофа о неподвижной точке 223  [c.223]

Предположим теперь, что формальный степенной ряд, участвующий в нормальной форме (12), пе сводится к постоянной, т. е. что пе тождественно и = X. Тогда теорема Биркгофа о неподвижной точке, доказанная в 22, гласит, что в каждой окрестности Я начала координат и для каждого достаточно большого натурального п > rfi (Я) можно найти отличные от начала координат неподвижные точки преобразования S ", все образы которых при к = 1, 2, п) также лежат в Я. Ио отсюда, в частности, следует, что S пе является неустойчивым. Следовательно, вообще пе будет неустойчивости, если степенной ряд и пе равен тождественно постоянной. Остается открытым вопрос о том, имеет ли в этом случае место устойчивость или смешанный случай. Как уже было замечено, пе известно примера для смешанного случая, и пе известно, будет ли при и = Л действительно неустойчивость. Если бы это удалось доказать, то был бы получен пример со сходящимся рядом и и расходящейся подстановкой С пе известно также, возможно ли такое сочетание.  [c.288]

Это семейство замкнутых орбит параметризовано частотой о , которая соответствует энергии. Легко проверить, что на любой поверхности постоянной энергии существуют ровно две орбиты подобного типа, одна 00 + 1 > о и другая с си + 1 < 0. Исследуем сначала изоэнергетическую устойчивость этих решений нри малых значениях /х. Для этого нам придется рассмотреть связанное с ними сохраняющее площадь отображение, которое мы уже изучали в конце 24 в связи с применением теоремы Биркгофа о неподвижной точке к этой проблеме. Решающую роль здесь играет то, что условия устойчивости выражаются в терминах конечного числа неравенств  [c.319]

Теорему 1 часто называют теоремой о неподвижной точке ввиду того, что решение Х(о) уравнения (7.1) является неподвижной точкой оператора S. Ниже в п. 3 мы применим для доказательства существования другие (неконструктивные) теоремы о неподвижной точке. Для наилучшего использования таких теорем о неподвижной точке будет удобно перейти к другим пространствам Банаха, определяемым различными функциями расстояния. Так, например, Лерэ [52], исследуя уравнения Вилла, вначале использовал норму  [c.198]

Метод точечных отображений как средство изучения динамических систем, придающее аналитическим проблемам геометрическую трактовку, существенно расширяющую возможности исследования, ведет свое начало от А. Пуанкаре, П. Боля, Я. Брауера и Дж. Биркгофа. При этом многие основные геометрические соображения, такие как теоремы о неподвижных точках, понятие индекса векторного поля, были привлечены извне, а некоторые, например, последняя геометрическая теорема Пуанкаре, и, вообще, теория отображений с инвариантной мерой, теория устойчивости, теория бифуркаций и ветвления решений, воникли в прямой связи с теорией динамических систем.  [c.137]

Для теоремы о неподвижной точке Биркгофа важно потребовать, чтобы ряд W в подстановке (31) содержал не только постоянный член, следовательно, чтобы нормальная форма не сводилась только к повороту на постоянный угол jq. Пусть при таком предположении I > О выбрано таким образом, что 71 =. .. = 7 i = 0. Если преобразование (40) опять записать в комплексной форме, причем + irj, — irj, l + iVij l — опять обозначить через С, , i, Щ, то  [c.222]


Согласно подходу Ферми [3], можно рассуждать следующим образом. В случае устойчивости в каждой окрестности начала координат Я лежит одпосвязпая инвариантная относительно б окрестпость 8. Примем теперь, что 8 имеет границу, которую можно представить уравнением Р х, у) = 0. Если написать такое уравнение для семейства окрестностей Я = зависящих от параметра 7, то получится семейство уравнений Р х, у, 7) = 0. Если эти уравнения удастся разрешить относительно 7 и если уравнение (р х, у) = 7, кроме того, будет аналитическим по ж и у, то этим будет доказано существование сходящегося инвариантного степенного ряда, так как при отображении б каждая граница ср х, у) = 7 переходит в себя. Наконец, следовало бы установить аналитическими методами, что в общем случае сохраняющее объем преобразование б пе имеет сходящегося инварианта. Этим самым было бы доказано утверждение, что в общем случае устойчивости не будет. Попытки провести строгое доказательство этого утверждения представляются нам довольно безнадежными. Пока даже пе доказано, что границей 8 является кривая, Биркгоф, используя приемы доказательства своей теоремы о неподвижной точке, пытался показать, что 8 будет при достаточно малой окрестности Я звездообразной, если формальный степенной ряд и, входящий в нормальную форму (12), не сводится то.пько к свободному члену, и что тогда граница С области 8 может быть представлена в полярных координатах г, I с помощью схо-  [c.289]

Примечание. Существует далеко идущее обобщение этой теоремы о неподвижных точках, принадлежащее Атье и Ботту. В частности, для голоморфного отображения / компактной римановой поверхности рода g в себя из формулы Атьи-Ботта вытекает, что сумма индексов неподвижных точек задается формулой  [c.174]

Теорема П2.11 (теорема Тихонова о неподвижной точке). Пусть Е—локально выпуклое топологическое векторное пространство и множество К СЕ компактно и выпукло. Тогда каждое непрерывное отобраокение f К - К обладает неподвижной точкой.  [c.701]

В 3,2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных особенностей поведения системы, включая теорему KAM, которая устанавливает устойчивость квазипериодиче-ских колебаний под действием достаточно малого возмущения. Проанализированы условия умеренной нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного движения. На основании теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои. Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости. Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310 J, в которых приведены многие математические доказательства,  [c.176]

Волковысский Д. X. Доказательство существования выпученных форм круглых пластин при помощи. теоремы Шаудера о неподвижной точке Ц Теория ветвлений и нелинейные задачи на собственные значения.— [28],— С. 35-45.  [c.370]

Таким образом, теорема Биркгофа [1] о неподвижной точке доказана полностью. В найденном Биркгофом доказательстве теоремы Пуанкаре о неподвижной точке используется та же самая основная идея о построении охватываюгцей начало координат замкнутой кривой К, точки которой при отображении 5 " смегцаются только радиально.  [c.230]

Пусть / В —> В — произвольное голоморфное отображение. Следующее рассуждение почерпнуто из лекций Бердона и было сообщено мне Сисикурой. Для любого е > О рассмотрим приближение / отображением е г) = (1 — s)f z) диска Ю в его собственное подмножество. Каждое отображение имеет единственную неподвижную точку (Ср. задачу 2-j, заметим также, что существование такой неподвижной точки вытекает из теоремы Брауэра о неподвижной точке (см., например, Борисович и др.) примененной к диску (1 — е)В. Единственность неподвижной точки очевидна, поскольку сокращает расстояния в метрике Пуанкаре.) Ввиду компактности замкнутого диска В  [c.81]

Рассмотрение одномерных задач о неподвижной точке, пред-ставленных на рис. 17.1, наводит на мысль, что сходимость метода последовательных приближений (и все остальные утверждения теоремы 17.1) гарантирована, когда тангенс угла наклона кривой 2 = <9 (X) по модулю меньше единицы (т. е. (X) X < 1). Это действительно так, и доказывается это без особого труда. Возникает вопрос, имеет ли место аналогичное утверждение для п-мерного сл5П1ая. Ответ на этот вопрос также утвердителен. В самом деле, если = Р — оператор, отображающий в себя  [c.301]

Эти частттьте случаи показывают, что для подвижных точек центра масс для любой системы и мгновенного центра скоростей при плоском движении твердого тела в рассмотренном случае теорема об изменении кинетического момента для абсолютного движения имеет ту же форму, что и для неподвижной точки О.  [c.200]

Динамические уравнения Эйлера. Пусть на твердое, тело, имеющее неподвижную точку О, действуют заданные Hjm ft, 7S,. .., 7 (рис. 341). Одновременно на тело будет действовать реакция Ло связи (на рисунке не показана). Чтобы исключить из уравнений движения эту неизвестную реакцию, воспользуемся теоремой моментов относительно центра О ( 116), представив ее в виде (74), т. е, в виде теоремы Резаля, Тогда поскольку то(/ о)=0, уравнение (74) даст  [c.341]

Движение свободного твердого тела. Как известно, движение свободного твердого тела слагается из поступательного движения вместе с полюсом, в качестве которого при решении задач динамики выбирают обычно центр масс С тела, и из движения вокруг центра масс, i k OKpyr iie-подвижной точки (см. 63). Если на тело действуют внешние силы F, F%, то движение полюса С описывается теоремой о движении.центра масс тас= 1 г> где m — масса тела. В проекциях на неподвижные оси это равенство дает  [c.344]



Смотреть страницы где упоминается термин Теорема о неподвижной точке : [c.6]    [c.704]    [c.344]    [c.202]    [c.73]    [c.26]    [c.16]    [c.723]    [c.223]    [c.228]    [c.231]    [c.136]    [c.189]    [c.490]    [c.511]   
Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Изд.2 (1976) -- [ c.798 ]



ПОИСК



Вращение около неподвижной точки. Теорема Эйлера

Даламбера теорема о движении системы, имеющей неподвижную точку

Иные методы исследования движения тела вокруг неподвижной точки. Теорема Эйлера —Даламбера

Кинетическая анергия системы. Теорема Кёни. 84. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки

Момент количеств движения относительно неподвижной точки и центра масс. Теоремы об их изменениях

Неподвижная точка

Теорема Айвори неподвижную точку

Теорема Биркгофа о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Пуанкаре — Бендиксона Существование траисверсалей Потоки без неподвижных точек на торе

Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку

Теорема о перемещении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мгновенная ось и угловая скорость твердого тела

Теорема о перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Угловая скорость тела

Устойчивость неподвижной точки. Теорема Кенигса



© 2025 Mash-xxl.info Реклама на сайте