Теорема о неподвижной точке

Теорема Пуанкаре о кольце. Существует одна теорема о неподвижной точке, которая особенно тесно связана с именем Пуанкаре. Эту [c.619]

Пуанкаре принадлежит первый вариант знаменитой теоремы [96], [97] о неподвижной точке, однако в приложениях получила большее распространение другая формулировка теоремы о неподвижной точке, принадлежащая Дж. Биркгофу [98], [99]. Зигель дал новое доказательство [6] теоремы Биркгофа,. сопровождаемое более точными необходимыми оценками для отображаемых областей и для постоянных. [c.798]

Такое изменение основных целей исследования повлекло за собой и появление специфического математического аппарата в 50-х годах нашего века для доказательства существования точки рыночного равновесия, т. е. некоторого вектора положительных цен в условиях неположительного избыточного спроса, стали использоваться топологические методы, например теорема о неподвижной точке 2.10 . [c.19]

Книга представляет собой вводный курс лекций по голоморфной динамике — одной из интенсивно развивающихся областей современной математики. В них рассмотрена теория римановых поверхностей, теоремы о неподвижной точке. Обсуждаются современные результаты по структуре множеств Жюлиа. Имеется ряд приложений. [c.4]

Теорема о неподвижных точках рационального отображения. Для любого нетождественного рационального отображения / С —С справедливо соотношение [c.172]

В случае сжимаемости вспомогательного отображения утверждение о неподвижных точках допускает уточнение, состоящее в утверждении пе только существования или несуществования, но и в случае существования — единственности. В дальнейшем сформулированные выше утверждения о вспомогательных отображениях и о связи неподвижных точек вспомогательных отображений с неподвижными точками исходных отображений будут применяться в различных конкретных ситуациях. Ниже формулируются теоремы для двух, в некотором смысле, крайних случаев. [c.130]

НИИ теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении сильно нерезонансных инвариантных торов и геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках отображения кольца. При этом остается неясным вопрос об аналитической зависимости этих решений от параметра е, а также ничего определенного нельзя сказать об их устойчивости. [c.242]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

Теоремы А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа о неподвижной точке применялись Биркгофом [100], Зигелем [6] и Ю. Мозером [30] для доказательства существования новых семейств (отличных от решений первого сорта Пуанкаре) почти-круговых решений ограниченной круговой задачи трех тел. [c.798]

Теорема 8.6.5 (теорема Брауэра о неподвижной точке). Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя обладает неподвижной точкой. [c.334]

Д о к а 3 ат е л ь с т в о. Первое утверждение леммы 20.5.7 означает, что множество Со компактно в топологии поточечной сходимости (по теореме Тихонова, согласно которой произведение компактных множеств компактно). Тогда по теореме Тихонова о неподвижной точке П 2.11 существует [c.647]

Но по теореме Брауэра о неподвижной точке (теорема 8.6.5) отображение F обладает неподвижной точкой 6 5, так что f(xQ)eU na = F(a )6i7 для некоторого а, и, согласно нашей лемме, отображение / обладает неподвижной точкой. [c.701]

Теорема Биркгофа о неподвижной точке 223 [c.223]

Предположим теперь, что формальный степенной ряд, участвующий в нормальной форме (12), пе сводится к постоянной, т. е. что пе тождественно и = X. Тогда теорема Биркгофа о неподвижной точке, доказанная в 22, гласит, что в каждой окрестности Я начала координат и для каждого достаточно большого натурального п > rfi (Я) можно найти отличные от начала координат неподвижные точки преобразования S ", все образы которых при к = 1, 2, п) также лежат в Я. Ио отсюда, в частности, следует, что S пе является неустойчивым. Следовательно, вообще пе будет неустойчивости, если степенной ряд и пе равен тождественно постоянной. Остается открытым вопрос о том, имеет ли в этом случае место устойчивость или смешанный случай. Как уже было замечено, пе известно примера для смешанного случая, и пе известно, будет ли при и = Л действительно неустойчивость. Если бы это удалось доказать, то был бы получен пример со сходящимся рядом и и расходящейся подстановкой С пе известно также, возможно ли такое сочетание. [c.288]

Это семейство замкнутых орбит параметризовано частотой о , которая соответствует энергии. Легко проверить, что на любой поверхности постоянной энергии существуют ровно две орбиты подобного типа, одна 00 + 1 > о и другая с си + 1 < 0. Исследуем сначала изоэнергетическую устойчивость этих решений нри малых значениях /х. Для этого нам придется рассмотреть связанное с ними сохраняющее площадь отображение, которое мы уже изучали в конце 24 в связи с применением теоремы Биркгофа о неподвижной точке к этой проблеме. Решающую роль здесь играет то, что условия устойчивости выражаются в терминах конечного числа неравенств [c.319]

Теорему 1 часто называют теоремой о неподвижной точке ввиду того, что решение Х(о) уравнения (7.1) является неподвижной точкой оператора S. Ниже в п. 3 мы применим для доказательства существования другие (неконструктивные) теоремы о неподвижной точке. Для наилучшего использования таких теорем о неподвижной точке будет удобно перейти к другим пространствам Банаха, определяемым различными функциями расстояния. Так, например, Лерэ [52], исследуя уравнения Вилла, вначале использовал норму [c.198]

Метод точечных отображений как средство изучения динамических систем, придающее аналитическим проблемам геометрическую трактовку, существенно расширяющую возможности исследования, ведет свое начало от А. Пуанкаре, П. Боля, Я. Брауера и Дж. Биркгофа. При этом многие основные геометрические соображения, такие как теоремы о неподвижных точках, понятие индекса векторного поля, были привлечены извне, а некоторые, например, последняя геометрическая теорема Пуанкаре, и, вообще, теория отображений с инвариантной мерой, теория устойчивости, теория бифуркаций и ветвления решений, воникли в прямой связи с теорией динамических систем. [c.137]

Для теоремы о неподвижной точке Биркгофа важно потребовать, чтобы ряд W в подстановке (31) содержал не только постоянный член, следовательно, чтобы нормальная форма не сводилась только к повороту на постоянный угол jq. Пусть при таком предположении I > О выбрано таким образом, что 71 =. .. = 7 i = 0. Если преобразование (40) опять записать в комплексной форме, причем + irj, — irj, l + iVij l — опять обозначить через С, , i, Щ, то [c.222]

Согласно подходу Ферми [3], можно рассуждать следующим образом. В случае устойчивости в каждой окрестности начала координат Я лежит одпосвязпая инвариантная относительно б окрестпость 8. Примем теперь, что 8 имеет границу, которую можно представить уравнением Р х, у) = 0. Если написать такое уравнение для семейства окрестностей Я = зависящих от параметра 7, то получится семейство уравнений Р х, у, 7) = 0. Если эти уравнения удастся разрешить относительно 7 и если уравнение (р х, у) = 7, кроме того, будет аналитическим по ж и у, то этим будет доказано существование сходящегося инвариантного степенного ряда, так как при отображении б каждая граница ср х, у) = 7 переходит в себя. Наконец, следовало бы установить аналитическими методами, что в общем случае сохраняющее объем преобразование б пе имеет сходящегося инварианта. Этим самым было бы доказано утверждение, что в общем случае устойчивости не будет. Попытки провести строгое доказательство этого утверждения представляются нам довольно безнадежными. Пока даже пе доказано, что границей 8 является кривая, Биркгоф, используя приемы доказательства своей теоремы о неподвижной точке, пытался показать, что 8 будет при достаточно малой окрестности Я звездообразной, если формальный степенной ряд и, входящий в нормальную форму (12), не сводится то.пько к свободному члену, и что тогда граница С области 8 может быть представлена в полярных координатах г, I с помощью схо- [c.289]

Примечание. Существует далеко идущее обобщение этой теоремы о неподвижных точках, принадлежащее Атье и Ботту. В частности, для голоморфного отображения / компактной римановой поверхности рода g в себя из формулы Атьи-Ботта вытекает, что сумма индексов неподвижных точек задается формулой [c.174]

Теорема П2.11 (теорема Тихонова о неподвижной точке). Пусть Е—локально выпуклое топологическое векторное пространство и множество К СЕ компактно и выпукло. Тогда каждое непрерывное отобраокение f К - К обладает неподвижной точкой. [c.701]

В 3,2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных особенностей поведения системы, включая теорему KAM, которая устанавливает устойчивость квазипериодиче-ских колебаний под действием достаточно малого возмущения. Проанализированы условия умеренной нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного движения. На основании теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои. Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости. Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310 J, в которых приведены многие математические доказательства, [c.176]

Волковысский Д. X. Доказательство существования выпученных форм круглых пластин при помощи. теоремы Шаудера о неподвижной точке Ц Теория ветвлений и нелинейные задачи на собственные значения.— [28],— С. 35-45. [c.370]

Таким образом, теорема Биркгофа [1] о неподвижной точке доказана полностью. В найденном Биркгофом доказательстве теоремы Пуанкаре о неподвижной точке используется та же самая основная идея о построении охватываюгцей начало координат замкнутой кривой К, точки которой при отображении 5 " смегцаются только радиально. [c.230]

Пусть / В —> В — произвольное голоморфное отображение. Следующее рассуждение почерпнуто из лекций Бердона и было сообщено мне Сисикурой. Для любого е > О рассмотрим приближение / отображением е г) = (1 — s)f z) диска Ю в его собственное подмножество. Каждое отображение имеет единственную неподвижную точку (Ср. задачу 2-j, заметим также, что существование такой неподвижной точки вытекает из теоремы Брауэра о неподвижной точке (см., например, Борисович и др.) примененной к диску (1 — е)В. Единственность неподвижной точки очевидна, поскольку сокращает расстояния в метрике Пуанкаре.) Ввиду компактности замкнутого диска В [c.81]

Рассмотрение одномерных задач о неподвижной точке, пред-ставленных на рис. 17.1, наводит на мысль, что сходимость метода последовательных приближений (и все остальные утверждения теоремы 17.1) гарантирована, когда тангенс угла наклона кривой 2 = <9 (X) по модулю меньше единицы (т. е. (X) X < 1). Это действительно так, и доказывается это без особого труда. Возникает вопрос, имеет ли место аналогичное утверждение для п-мерного сл5П1ая. Ответ на этот вопрос также утвердителен. В самом деле, если = Р — оператор, отображающий в себя [c.301]

Эти частттьте случаи показывают, что для подвижных точек центра масс для любой системы и мгновенного центра скоростей при плоском движении твердого тела в рассмотренном случае теорема об изменении кинетического момента для абсолютного движения имеет ту же форму, что и для неподвижной точки О. [c.200]

Динамические уравнения Эйлера. Пусть на твердое, тело, имеющее неподвижную точку О, действуют заданные Hjm ft, 7S,. .., 7 (рис. 341). Одновременно на тело будет действовать реакция Ло связи (на рисунке не показана). Чтобы исключить из уравнений движения эту неизвестную реакцию, воспользуемся теоремой моментов относительно центра О ( 116), представив ее в виде (74), т. е, в виде теоремы Резаля, Тогда поскольку то(/ о)=0, уравнение (74) даст [c.341]

Движение свободного твердого тела. Как известно, движение свободного твердого тела слагается из поступательного движения вместе с полюсом, в качестве которого при решении задач динамики выбирают обычно центр масс С тела, и из движения вокруг центра масс, i k OKpyr iie-подвижной точки (см. 63). Если на тело действуют внешние силы F, F%, то движение полюса С описывается теоремой о движении.центра масс тас= 1 г> где m — масса тела. В проекциях на неподвижные оси это равенство дает [c.344]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...