Отображение периодов формы

Пример. Для функции Морса /==2 4-. .. +22 асимптотика -присоединенного отображения периодов формы ю общего положения на исчезающем цикле 5 равна [c.104]

Невырожденность отображения периодов формы общего положения в случае квазиоднородной функций была доказана в работе [262], аналогичные утверждения анонсированы в [318]. [c.105]

Определение, к-присоединенное отображение периодов формы (О называется устойчивым, если -присоединенное отображение периодов любой голоморфной формы, близкой к й), ему эквивалентно. [c.106]

Определение. Отображение Л [ш]л называется отображением периодов формы ш. [c.98]

Определение, к-и ассоциированным отображением периодов голоморфной формы ш называется к-я производная отображения периодов формы ш вдоль векторного поля = д/дХ . [c.99]

Пусть теперь на пространстве гладкого расслоения дана дифференциальная форма, замкнутая на слоях. Отображение периодов этой формы сопоставляет точке базы класс когомологий формы в слое над этой точкой. [c.432]

В этой ситуации невырожденное отображение периодов индуцирует на базе пуассонову структуру. Действительно, построенный выше изоморфизм кокасательного пространства базы с группой гомологий (снабженной кососимметрической формой пересечений) определяет билинейную кососимметрическую форму пары кокасательных векторов. Скобка Пуассона двух функций в точке определяется как значение этой формы на дифференциалах функций. [c.433]

Теорема ([155], [269]). Отображение периодов голоморфной формы является голоморфным сечением расслоения когомологий. [c.95]

Аналогично, голоморфная (л—1)-форма га на С" задает голоморфное отображение периодов расслоения [c.95]

Невырожденные отображения периодов. В этом и последующем пунктах параграфа приводятся результаты работ [52], [42], связывающие невырожденные отображения периодов голоморфных форм расслоения исчезающих когомологий с формой пересечения в гомологиях неособого слоя особенности /. [c.103]

Пусть ю — голоморфная (л. — 1)-форма на С хС , [оа]—ее отображение периодов (п. 3.4). Ковариантная производная отображения периодов [ю] вдоль векторного поля в базе версальной деформации Л также является сечением расслоения когомологий Зё р- Ь . Рассмотрим производные отображения периодов [ю] вдоль векторного поля д д. [c.104]

Определение, k-присоединенное отображение периодов []сй] формы й) называется инфинитезимально невырожденным, если порядок нуля Р на оси Я,о равен р, п—2k—2). [c.105]

Теорема. Форма пересечений инфинитезимально невырожденного -присоединенного отображения периодов голоморфна в Г Л, а при к п—2)/2 голоморфно продолжается в Т А. [c.106]

Теорема. При л = 2й- -2 форма пересечений на касатель ном расслоении, определенная инфинитезимально невырожденным А-присоединенным отображением периодов голоморфной формы, продолжается до голоморфной симплектической структуры на всей базе Л версальной деформации. [c.107]

Определение. Инфинитезимально невырожденное -присоединенное отображение периодов голоморфной формы для функции п=2к + 1 переменных называется главным отображением периодов. [c.107]

Отображения периодов переносят форму пересечений из пространства гомологий неособого множества уровня функции на базу версаль-ной деформации, определяя поле 2-форм на кокасательных пространствах базы. Это поле может рассматриваться как аналог римановой метрики на пространстве регулярных орбит группы евклидовых отражений. [c.81]

Пример 1. Предположим, что на тотальном пространстве (гладкого) расслоения зафиксирована дифференциальная форма, замкнутая вдоль слоёв. Отображение, сопоставляющее точке базы класс когомологий ограничения этой формы на слой (над этой точкой), является отображением периодов. [c.95]

Определение. Отображение примера 1 называется отображением периодов дифференциальной формы. [c.95]

Конечно, мы можем начать с ростка голоморфной формы. Некоторый представитель этого ростка определяет отображение периодов на некоторой части Л.) [c.98]

Пример. Значение к-го ассоциированного отображения периодов типичной формы ш на исчезающем цикле "д функции Морса асимптотически равно для нечётного п или для к < п/2 (в обозначениях предыдущего примера). [c.99]

Формы пересечения отображений периодов [c.102]

Определение. Формой пересечения невырожденного отображения периодов называется поле 2-форм на слоях кокасательного расслоения Т (Л Е), индуцированное отображением периодов из формы пересечения на средних гомологиях (то есть на гомологиях половинной размерности) множеств уровня голоморфных функций п переменных. [c.102]

Теорема 5. Форма пересечения к-го ассоциированного инфинитезимально невырожденного отображения периодов голоморфна вне дискриминанта и допускает голоморфное продолжение на дискриминант, если п < 2к — 2. [c.102]

Определение. Глобальное сечение [ю] расслоения исчезающих когомологий называется отображением периодо формы га. [c.95]

Отображение периодов позволяет переносить на базу расслоения структуры, имеющиеся в пространстве (ко)гомолошй слоя. Пуассонова структура на базе возникает этим способом из формы пересечений в средних гомологиях слоя, когда эта форма кососимметрична. [c.432]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

В 1981 г. А. Н. Варченко и А. Б. Гивенталь (которому принадлежит также доказательство этой теоремы для исключительных групп) указали далекие ее обобщения. Евклидову структуру они заменили формой пересечений подходящего невырожденного отображения периодов семейства голоморфных дифференциальных форм на слоях расслоения Милнора версального семейства функций. Невырожденная форма пересечений определяет (в зависимости от четности числа переменных) либо локально плоскую псевдоевкли-дову метрику со стандартной особенностью на лежандровом фронте, либо симплектическую структуру, голоморфно продолжающуюся на фронт. [c.456]

Отображение периодов. Неособый слой Уу. милноров-ского расслоения Ул - -Л является многообразием Штейна [229]. Поэтому Их когомологии можно вычислять с ПОМОЩЬЮ голоморфных форм [116], [326]. Это позволяет получить аналитическое описание связности Гаусса—Манина в расслоениях исчезающих когомологий (см. п. 3.7). [c.95]

Пример морсовской функции показывает, что условие невырожденности формы пересечений является существенным при четном п форма вырожденна и -присоединенное отображение периодов инфинитезимально вырожденно прн всех k> >nJ2. [c.105]

Теорема. Инфинитезимально невырожденное й-присо-единение отображение периодов устойчиво. Для квазиодно родной функции f все инфинитезимально невырожденные Л-при-соединенные отображения периодов голоморфных форм эквивалентны между собой. [c.106]

Отображение периодов и форма пересечт1й. Невырожденные сечения расслоения исчезающих когомологий Жр- А позволяют переносить на базу Л структуры, имеющиеся в расслоении исчезающих (ко) гомологий, в частности форму пересечений. [c.106]

Теорема. Форма пересечений инфинитезимально невырожденного -присоединенного отображения периодов устойчива. Если f— квазиоднородная- функция,-то..любые., две тзкйё формы эквивалентны между собой. [c.106]

Теорема. Если форма пересечений невырождена, то задаваемый главным отображением периодов изоморфизм Т А - изоморфно отображает модуль ростков голоморфных 1-форм на (Л, 0) на модуль ростков голоморфных векторных полей на (Л, 0) касающихся 2. [c.107]

Рассмотрим теперь в качестве сечения главное отображение периодов голоморфной формы (п. 3.11). Как нетрудно проверить, главное отображение периодов имеет з неособой точке бифуркационной диаграммы такую же особенность, как и отображение, обратное к отображению Виета в неособой точке ласточкиного хвоста. Отсюда выггекает [c.137]

Пример 5. Предположим, что форма пересечений невырождена. В этом случае невырожденное отображение периодов индуцирует на ба- [c.96]

Возвращаясь к общей версальной деформации произвольной голоморфной функции, рассмотрим к-е ассоциированное отображение периодов типичной формы. Зафиксируем базис пространства целочисленных гомологий слоя, непрерывно зависящий от точки базы (в некоторой окрестности выбранной точки базы) — постоянный базис канонической локальной тривиализации. Рассмотрим определитель матрицы производных вдоль базисных векторных полей 9/5Л,- компонент (в этом базисе) отображения периодов. [c.99]

Лемма. Порядок стремления к нулю определителя к-го ассоциированного отображения периодов типичной голоморфной формы на кривой, трансеерсальной дискриминанту в нуле например, вдоль оси Л ), не меньше чем fi n - 2к - 2)/2. [c.100]

Для морсовской точки вычисления были проведены в предыдущих примерах. Из этого следует, что в типичной точке дискриминанта порядок стремления к нулю определителя отображения периодов типичной голоморфной формы равен (п-2)/2. Типичная интегральная линия поля направлений д/дХ пересекает дискриминант в ц точках (см., на пример, [28] рис. 53). Следовательно порядок стремления к нулю (при движении к вершине дискриминанта) ограничения на трансверсальную кривую определителя отображения периодов равен ц п — 2)/2. Каждое дифференцирование элементов матрицы порядка fi снижает порядок стремления определителя к нулю на (как минимум) fi. После к дифференцирований получим утверждение леммы. [c.100]

Пример, к-е ассоциированное отображение периодов типичной голоморфной формы инфинитезимально невырождено для функции Морса от п переменных, при условии нечётности п оно инфинитезимально вырождено, если п чётно ъ к> п/2. [c.101]

Теорема 3. Если к-е ассоциированное отображение периодов голоморфной формы инфинитезимально невырождено, то оно устойчиво [то есть локально (в точках, близких к вершине) оно эквивалентно к-му ассоциированному отображению периодов любой близкой формы). [c.102]

Теорема 4. Все инфинитезимально невырожденные к-е ассоциированные отображения периодов голоморфных форм эквивалентны, при условии квазиоднородности исходной функции /. [c.102]

Теорема 6. Форма пересечения из теоремы 5 устойчива [две таких формы, определённые к-ми ассоциированными отображениями периодов близких голоморфных форм, преобразуются друг в друга биголо-морфным отображением пары (Л, Е) на себя). [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...