Асимптотическое и переходное решения

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ И ПЕРЕХОДНОЕ РЕШЕНИЯ [c.63]

Полученные выше результаты позволяют предложить физическую интерпретацию асимптотической и переходной частей решения уравнения (2,48). Асимптотический поток описывает распределение нейтронов, обусловленное рассеянием нейтронов в среде. Его зависимость от координаты и угла определяется свойствами среды, т. е, с, и он не зависит (за исключением нормировки) от источника. Иначе говоря, асимптотический поток описывает равновесное распределение. [c.65]

Можно думать, что полученные ранее результаты для переноса нейтронов в бесконечной среде имеют весьма ограниченное применение. На самом деле это не так, по крайней мере в том, что касается общего поведения решения уравнения переноса, например, его разделения иа асимптотическую и переходную части. [c.72]

В случае ограниченной среды в бесконечной плоской геометрии влияние границы может быть изучено с помощью функций Грина для бесконечной среды (см. разд. 2.5.2). Поскольку граница выступает в качестве источника в бесконечной среде, следует ожидать, что она дает вклад как в асимптотическую, так и в переходную часть решения для конечной среды. Оказывается, это справедливо не только для плоской геометрии. Раньше было показано, что для любого точечного или распределенного источника, изотропного или анизотропного, решение состоит из асимптотической и переходной частей, причем первое является определяющим на больших расстояниях от источников. [c.73]

При соблюдении некоторых идеализированных и достаточно специальных условий упомянутый выше интеграл по конечной области полностью исчезает, в результате чего появляется возможность выразить интегральный параметр разрушения только через интеграл по дальнему контуру. Для определения этого интегрального параметра разрушения необходимо знать асимптотические решения, описывающие поля растущей трещины как в установившемся, так и переходном режимах. Хотя в последние годы и был достигнут некоторый прогресс в этой области, все же полное асимптотическое решение по-прежнему ускользает 113 практически важных задач раскрытия трещин по типу I (нормальный отрыв) в условиях плоского деформированного и плоского напряженного состояний. [c.163]

Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов развили точный метод отыскания переходных процессов и периодических решений уравнения (П1П.1) для случая малого ц [3]. Для случая большого (х известен приближенный метод разрывной трактовки и точный метод построения асимптотических решений [24]. Рассматриваемый в настоящей работе приближенный метод интегрирования позволяет в ряде случаев приближенно найти форму периодических решений, процесс установления и период колебания. [c.230]

Когда X велико, основной вклад в (2,50) обусловлен малыми значениями Z, и переходная часть полного потока убывает как ехр (— х ) при х-> оо, следовательно, она убывает с удалением от источника быстрее, чем асимптотическое решение. Такой же вывод был сделан в разд. 2.2,3. [c.65]

Возвращаясь к первоначальным переменным х, получим для уравнения (6.23) кусочно-постоянное решение с разрывом, который распространяется с постоянной скоростью а. Решение уравнения (6.25), содержащего аппроксимационную вязкость v<9 ы/<9л , имеет размытую переходную область, также перемещающуюся со скоростью а. Эффективная ширина этой области пропорциональна V и, следовательно, растет со временем. Решение сеточной задачи Коши должно обладать сходными свойствами. Численные эксперименты и асимптотическое исследование погрешности сеточного решения подтверждают это предположение. [c.161]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

Ту мар кин С. А., Асимптотическое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переходной точкой и его приложение к расчетам торообразных оболочек и лопастей, ПММ, 1959, т. 23, вып. 6. [c.508]

При асимптотическом интегрировании уравнений с переменными коэффициентам-и характерной является ситуация, когда в области интегрирования появляются переходные линии (в акустике они называются каустиками), которые делят эту область на части с качественно различным поведением решения. В задачах устойчивости оболочек переходные линии выделяют часть срединной поверхности, на которой расположены вмятины при потере устойчивости. Интересующему нас наименьшему собственному значению соответствует форма потери устойчивости, у которой вмятины занимают лишь небольшую часть срединной по- [c.14]

Развитие искусственно вводимых в ламинарный пограничный слой на плоской пластине трехмерных возмущений и последующие нелинейные стадии переходного процесса изучаются в [162] на основе прямого численного решения полных уравнений Навье-Стокса. Расчетные исследования [162], ориентированные на моделирование условий экспериментов [163,164], воспроизводят данные измерений вплоть до стадии вторичной неустойчивости. Комбинация численных и асимптотических методов применяется в [165] к построению стационарных возмущений двумерного течения в длинном прямолинейном канале. [c.11]

Если для системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся рядов по обратным степеням координаты исключение составляют лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в которых одно из решений может содержать логарифм координаты. В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной особенностью, когда решение должно быть представлено асимптотическим разложением. При получении возмущений по параметру последний может быть малым или большим, причем первый случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью преобразования Лиувилля—Грина (ВКВ) и его обобщений. Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера и его обобщений. [c.329]

Для всех Я > О по мере приближения к своему фронту пропагатор бесконечно гладким образом плавно убывает до нуля. Эта особенность поведения решений уравнений в теории наследственной упругости со (слабо-) сингулярными ядрами наследственности была обнаружена достаточно давно. Авторы, рассматривавшие в рамках наследственной упругости задачи о возбуждении переходных волн в наследственно-упругой среде, при использовании ядер наследственности, имеющих интегрируемую особенность, обнаруживали (и доказывали) плавное (бесконечно гладкое) убывание переходной волны по мере приближения к её фронту. В общем случае такие решения строились и вычислялись с использованием асимптотических методов или разложения в ряды по спецфункциям, родственным гипер- [c.171]

Решение для ф (х) [см, (2.48)] с помощью интегрирования ио контуру может быть сведено к виду, подобному (2.40), т, е, представлено в виде суммы асимптотического и переходного решений. Путь интегрирования в комплексной плоскости меняется так, как показано на рис, 2.2, Подынтегральное выражение в (2,48) имеет точку ветвления при /г = , так что разрез в комплексной плоскости проводится вдоль мнимой оси от 1до1оо, Кроме того, подынтегральное выражение имеет простой полюс в точке, где знаменатель обращается в нуль [c.63]

Так же, как и в задаче Мнлна, может быть сформулирована эквивалентная задача веществом среды заполняется все пространство и на границах л = О х = а вводятся отрицательные псевдоисточники. Как и прежде, решение имеет асимптотическую и переходную части вблизи границ. Если пластина достаточно толста, т. е. а 1, что имеет место при с—1 1, то решение вблизи каждой границы будет напоминать решение задачи Милна. [c.75]

С математической точки зрения все эти явления описываются уравнениями Навье—Стокса. Нелинейный характер уравнений передает общие физические свойства течений наличие зон с резким изменением градиентов величин (пограничные слои, ударные волны и т. п.), отрыв потока, возможность ламинарного, переходного и турбулентного режимов течений, появление квазипериодиче-ских, неустойчивых решений и бифуркации решений. Асимптотический анализ уравнений Навье—Стокса позволяет выделить в рассматриваемой задаче характерные области течения в зависимости от характерных параметров задачи. [c.62]

После введения нового аргумента ф и новой неизвестной функции Q = ф уравнения (31) переходят в систему с одной медленной переменной Q и многимн быстрыми переменными — компонентами вектора V. Асимптотический метод интегрирования таких систем разработан В М. Волосовым Существенный интерес представляет определение закона изменения частоты в переходном процессе В первом приближении частота Q по методу В. М. Волосова находится из решения уравнения [c.205]

Рассматривается стационарное решение, которое по предположению действительно устанавливается по истечении достаточно большого промежутка времени, когда переходные процессы, соответствующие страгиванию трещины, исчезают. Как было установлено в п. 2.2, разрешающие уравнения для поля деформаций внутри зоны активной пластичности приводятся к системе двух квазилинейных уравнений в частных производных. Точное решение этих уравнений на линии движения трещины в зоне активной пластической деформации было построено методом преобразования годографа Фрёндом и Дугласом [48], методом асимптотических разложений — Ахенбахом и Дунаевским [32]. Ниже для получения основных результатов применяется комбинация этих способов. [c.106]

Получение аналитических решений для торообразных оболочек связано с преодолением значительных математических трудностей. Это объясняется возникновением в окрестностях переходных точек меридиана (6 = О, л на рис. 11.1) сложного напряженно-деформированного состояния, не описываемого обычным разбиением на безмоментное и простой краевой эффект. В теоретическом плане здесь особенно интересным является построение асимптотического решения, отличного от стандартной экспоненциальной асимптотики. Кроме того, здесь самым естественным образом используются дислокационные смещения и статические функции (гл. 7). [c.382]

Как будет видно из дальнейшего изложения, решение задачи получается в виде бесконечных рядов, сходимость которых зависит от расстояния до излучателя. Для точек, расположенных вблизи излучателя, получаются слабо сходящиеся ряды. Для удаленных точек можно найти решение с помощью интегралов Френеля или рядов Ломмеля. Для очень удаленных точек пространства можно пользоваться асимптотическими приближениями. В соответствии с изложенным выше поле излучателя можно разделить на несколько областей непосредственно примыкающую к поверхности излучателя, френелевой дифракции, переходную и дальнего поля. [c.270]

Применение метода осреднения наталкивается в ряде случаев на существенные трудности, скажем, при расчете резонансов (к этому вопросу Мы далее еще вернемся и рассмотрим его подробнее), при исследовании переходных режимов, связанных с прохождением через сепаратрису или вблизи нее на фазовой плоскости или, например, когда решение порождающего уравнения не выражается достаточно просто. В последнем случае часто применяется так называемый метод эталонных уравнений А. А, Дородницына (1952) к этой же проблеме относится одна работа Г. Е. Кузмака (1959), Асимптотические расчеты сепаратрис возмущенных уравнений разрабатывались Б, К. Мельниковым (1959). [c.128]

Изложение применения метода Монте-Карло для исследования жидкостей будет неполным, если хотя бы кратко не коснуться его соотношения с методом молекулярной динамики, рассмотренным в гл. 4 первого тома. Объединяет оба эти метода то, что они применяются к малым конечным системам, используют одинаковые периодические граничные условия, оба дают для подобных систем точные решения, но для различных задач. В методе молекулярной динамики асимптотически точные результаты в принципе получаются путем усреднения по времени функций фазового пространства вдоль одной или нескольких характерных фазовых траекторий системы с помощью интегрирования элементарных уравнений движения Ньютона для системы. Равновесные свойства получаются в результате усреднения по времени, проводимого после затухания переходного процесса, обусловленного выбором начального состояния. В методе Монте-Карло асимптотически точные результаты для средних по различным конфигурациям, определяемых в том или ином статистическом ансамбле, получаются путем усреднения по случайным блужданияль в этом конфигурационном пространстве. (Различие двух методов, заключающееся в том, что в методе молекулярной динамики траектория определена в фазовом пространстве координат и импульсов системы, а в методе Монте-Карло — в конфигурационном пространстве, являющемся проекцией фазового пространства на координаты [c.316]

Переходная же часть описывает отклонение потока от равновесного, вызванное наличием источника нейтронов. Поэтому переходный поток зависит и от источника, и от свойств среды. При с = О, т. е. для чисто поглощаюш,ей среды, источник определяет поток нейтронов на всех расстояниях, поскольку в этом случае не приходится говорить о равновесном распределении, и асимптотическая часть решения уравнения (2.48) отсутствует. [c.65]

В работе Н. А. Алумяэ и Л. Поверуса [3.9] (1963) на основе уравнений I. Mirsky и G. Hermann a [3.132] исследованы переходные динамические про-цессы в цилиндрической оболочке, на край которой действует осевая сила типа функции Хевисайда во времени и типа os п0 по дуговой координате. Методом преобразования Лапласа построено численное решение с помощью аппроксимации подинтегральной функции вблизи фронта волны. Построено также асимптотическое решение, описывающее процессы вдали от фронта волны. Показано, что для определения тангенциальных характеристик деформации при малых п и больших моментах времени мож- [c.213]

Ряд авторов рассматривал задачи о распространении волн в наследственноупругих средах, описываемых дробно-дифференциальными уравнениями, используя для вычисления решений различные приближенные и асимптотические методы. Необходимые литературные ссылки будут нами даны по ходу дальнейшего изложения. Эти задачи несколько отличаются от рассматриваемых нами, а предложенные методы их решения не вполне удобны для наших целей. В связи с этим, несмотря на определенное сходство рассматриваемых нами задач с общими задачами наследственной упругости, целесообразно исследовать интересующие нас задачи и построить методы, позволяющие эффективно описывать процессы распространения переходных волн в средах, содержащих стохастические фрактальные структуры. Мы имеем в виду как удобство теоретического анализа, так и практических вычислений. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...