Устойчивость диссипативных систем

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ [c.74]

Устойчивость диссипативных систем [c.51]

Наша цель состоит в том, чтобы сформулировать (а в некоторых случаях и доказать) критерии, позволяющие установить, устойчиво ли положение равновесия. Критерии такого рода мы рассмотрим отдельно для консервативных систем, диссипативных систем и систем общего вида. [c.219]

Устойчивость равновесия диссипативной системы. Функция Ляпунова. Рассмотрим теперь строго диссипативную систему, т. е. стационарную систему, отличающуюся от консервативной наличием таких непотенциальных обобщенных сил Q, что [c.230]

Достаточные условия устойчивости равновесия строго диссипативных систем определяет [c.230]

Приведем теперь теорему, которая является далеко идущим обобщением теоремы Лагранжа для консервативных систем и доказанной выше теоремы для диссипативных систем и вместе с тем является частным случаем общей теоремы об устойчивости движений, доказанной Ляпуновым. [c.233]

Перейдем к рассмотрению устойчивости равновесия систем, находящихся под действием произвольных потенциальных и неконсервативных позиционных сил и линейных диссипативных сил с положительным сопротивлением, считая, что возмущенное движение определяется уравнением (6.50). [c.198]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Упрощенный метод исследования устойчивости. Большое число опубликованных численных результатов относится к задачам, которые приводят к уравнениям (6) при В = О, т. е. к таким задачам об устойчивости упругих систем при действии следящих нагрузок, где с самого начала не учитываются диссипативные силы. Уравнение (6) при подстановке X = iw принимает вид [c.244]

Можно ли решить предыдущую задачу, опираясь па теорему об асимптотической устойчивости определенно диссипативных систем [c.179]

Сегодня можно дать вполне четкое теоретическое обоснование возможности существования устойчиво воспроизводящихся геометрических форм поверхностей при изнашивании в заданных условиях относительного движения и нафужения. Это обоснование строится на фундаментальных принципах термодинамики диссипативных систем, какими являются трибосистемы. В таких системах, обменивающихся с другими системами и внешней средой энергией и массой (например, массой изношенных частиц), могут возникать стационарные состояния, характеризуемые постоянным фадиентом энтропии [c.496]

Существуют строгие доказательства асимптотической устойчивости стационарных состояний диссипативных систем по Ляпунову. В терминах и понятиях теории трения и изнащивания В.В. Шульц [33] сформулировал частный принцип самоорганизации фрикционного контакта следующим образом устойчивой будет лишь та форма поверхности изнашивающегося контакта, которая соответствует энергетическому минимуму в заданном относительном движении при установившемся про- [c.496]

Обратим внимание на то обстоятельство, что большинство физических диссипативных систем со странными аттракторами, строго говоря, не удовлетворяют определению стохастической системы, которое мы дали выше. Дело в том, что странный аттрактор наряду с множеством неустойчивых траекторий может включать в себя и устойчивые периодические траектории, однако области их притяжений настолько малы, что они не сказываются на поведении системы ни в физическом, ни в численном эксперименте. Именно поэтому диссипативные системы с такими аттракторами мы будем называть стохастическими. [c.464]

Диссипативной мы назвали динамическую систему, любое движение которой при t оо стремится к одному из ее устойчивых состояний равновесия. Из этого определения сразу же вытекают следующие дв свойства диссипативных систем 1) отсутствие замкнутых фазовы траекторий и соответственно отсутствие периодических колебаний 2) отсутствие фазовых траекторий, уходящих (при / -> схэ) в бесконечность, т.е. отсутствие неограниченно нарастающих движений. [c.86]

Доказательство. При доказательстве теоремы Лагранжа для консервативных систем мы, предполагая лишь, что в рассматриваемой точке функция V имеет строгий минимум и что энергия сохраняется во время движения, установили устойчивость равновесия в этой точке. Это доказательство тем более сохраняется, если считать, что во время движения Е убывает. Поэтому нет необходимости заново доказывать устойчивость равновесия в условиях, когда система не консервативна, а диссипативна чтобы доказать теорему, надо дополнительно показать лишь, что при условиях этой теоремы существует такая Д-окрестность на- [c.230]

Ограничивая качественное рассмотрение свободных колебаний в линейных и нелинейных диссипативных системах разобранными примерами, отметим, что в более сложных случаях, особенно для нелинейных задач, целесообразно пользоваться методом изоклин, построение которых позволяет составить представление об основных чертах фазового портрета исследуемой системы и, тем самым, о характере совершаемых ею движений. При этом, как уже указывалось, в диссипативных системах мы должны получить независимо от начальных условий такие движения, которые приводят систему к устойчивой особой точке — состоянию покоя, т. е. к диссипации всей энергии, связанной с изучаемым движением. [c.55]

Мы не будем сейчас углубляться в детали вопроса об исследовании устойчивости стационарных движений, а вернемся к нему позднее при рассмотрении параметрических и активных систем, в которых возможны различные типы стационарных движений. Для диссипативных же систем ясно, что может существовать лишь одно стационарное состояние — состояние покоя, которое всегда устойчиво. [c.74]

Представим себе далее, что на голономную систему вместе с действующими на нее консервативными силами оказывают влияние кинетические действия гиростатического типа предполагая, что конфигурация С (л-, = i ,-= 0) является конфигурацией равновесия, отбросим предположение, что потенциал в ней допускает действительный максимум или, другими словами, что в отсутствие гиро-статических (или диссипативных) действий конфигурация С соответствует состоянию устойчивого равновесия. [c.398]

Диссипативные системы. Гироскопическая устойчивость. Рассмотрим следующую систему N линейных дифференциальных уравнений с действительными постоянными коэффициентами [c.367]

До сих пор рассматривались системы, в которых диссипативные и гироскопические силы действовали вместе с потенциальными силами. Между тем в приложениях встречаются системы, в которых диссипативные и гироскопические силы действуют беа потенциальных сил. Изучению устойчивости таких систем посвящеи этот параграф. [c.183]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

Общие уравнения динамической устойчивости упругих систем. Пусть соотношение между частотами возбуждения и наименьшей собственной частотой в невозмущенном движении таково, что при нахождении невозмущенного напряженно-деформированного состояния допустимо использовать квазистатическое приближение и пренебречь перемещениями в этом состоянии. Тогда уравнения динамической устойчивости каждой конкретной упругой системы могут быть получены из уравнений нейтрального равновесия для задачи статической устойчивости добавлением далам-беровых сил инерции и заменой усилий (напряжений) невозмущенного состояния соответствующими функциями времени. Если необходимо учитывать диссипацию, то в уравнения добавляют также диссипативные силы. [c.248]

Детерминированный хаос характеризуется наличием периодического процесса, траектория которого воспроизводится, т.е. после повторения начального состояния вновь воспроизводится одна и Та же траектория, независимо от ее сложности. Это позволяет по параметрам одного из периодов повторения траектории прогнозировать будущее. Однако при этом необходимо учитывать свойства равновесных и неравновес-ных систем. Неравновесные открытые системы допускают новые структурные состояния. Диссипативные системы независимо от вида устойчивости вызывают уменьшение фазового объема во времени до нуля. Так что диссипативная система может переходить в упорядоченное состояние в результате неустойчивости предыдущего неупорядоченного состояния. Первоначально устойчивая диссипативная структура в процессе своей эволюции достигает критического состояния, отвечающего порогу устойчивости структуры, начинает осцилировать, а возникающие в ней флуктуации приводят к самоорганизации новой, более устойчивой структуры на данном иерархическом уровне эволюции. При этом важным является тот факт, что как и в биологических системах, переходы устойчивость - неустойчивость - устойчивость контролируются кумулятивной обратной связью. Она отличается от регулируемой извне обратной связью тем, что позволяет самоорганизовывать такую внутреннюю структуру, которая повышает степень ее организации. Таким образом, кумулятивная обратная связь за счет накопленной внутренней энергии позволяет системе осуществлять не просто обратное взаимодействие, учитывающее полученную информацию о предыдущем критическом состоянии, но и обеспечивать сохранение или повышение организованности структуры. Такой характер эволюции динамической [c.21]

Это означает, что при отходе от автомодельных граничных условий при г = К течение все равно стремится к автомодельному в ядре потока, а детали распределения скоростей при г = к забываются в некоторой переходной пеавтомодельной зоне. Такое поведение вообще характерно для диссипативных систем и пе является невозможным для рассматриваемой задачи при условии устойчивости соответствующих автомодельных режимов. В данном случае пространство всевозможных краевых условий разбивается на ряд подпространств, которые стягиваются к соответствующим автомодельным решениям. Если это так, то неединственность автомодельных решений будет соответствовать действительной неоднозначности предельных режимов течения в области небольших г. При этом роль краевых условий при г = Н сведется к переключению режимов. Эксперимент, по-видимому, подтверждает это. Как уже упоминалось, в разных экспериментальных установках при одинаковых числах Рейнольдса наблюдались разные автомодельные режимы течения. [c.252]

Проблема существования устойчивых стационарных движений (нульмерных инвариантных множеств) впервые была исследована в [1]. Действительно, известная теория Рауса [1-15] дает не только условия устойчивости стационарных движений консервативных механических систем с первыми интегралами, но и метод определения таких движений. Этот метод был распространен на случай определения не только устойчивых стационарных движений [2, 7] и на случай диссипативных систем с первыми интегралами [12-15. [c.62]

Итак, экспоненциальная расходимость близких траекторий у диссипативных систем связана с наличием в их фазовых пространствах гиперболических множеств. Свойственны ли они многим динамическим системам или, наоборот, являются исключением В последнем случае малое возмущение такой системы (скажем, всегда присутствующими в природе шумами ) лишало бы ее этого свойства. В связи с этим полезно использовать введенное Андроновым и Понтря-гиным (1937) понятие структурно устойчивой (или грубой ) системы, для (2.79) формулируемое следующим образом при любом е > О имеется такое б > О, что [c.127]

Разработаны также методы качественного исследования диссипативных систем и систем с антидиссипацией, позволившие получить условия бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых автоколебаний, а также условия отсутствия любых таких траекторий. Метод исследования плоских топографических систем Пуанкаре и систем сравнения удалось распространить на высшие размерности. Получены достаточные условия устойчивости по Пуассону некоторых классов незамкнутых траекторий динамических систем. [c.9]

Интенсивные исследования нелинейных диссипативных систем с трехмерным фазовым пространством позволили в последние годы обнаружить совершенно новый класс автоколебательных систем. Это автогенераторы шума — диссипативные системы, совершающие незатухающие хаотические колебания, колебания со сплошным спектром за счет энергии нешумовых источников. Замечательно, что даже столь привычный нам осциллятор (14.10) в широкой области параметров является автогенератором шума. Открытие стохастических автоколебаний — это, пожалуй, наиболее яркое достижение современной теории. Почему же оно появилось только сейчас Дело в том, что со времен Пуанкаре до недавнего времени предельный цикл был единственным примером нетривиального притягивающего множества в фазовом пространстве нелинейных диссипативных систем. Правда, уже довольно давно были обнаружены сложные многопетлевые предельные циклы. Устойчивые многопериодические движения были обнаружены при исследовании синхронизации автогенераторов. [c.305]

Работы Фрелиха находятся в тесной связи с представлениями о высокой чувствительности некоторых биологических систем, особенно биомембран, к слабым электрическим и электромагнитным полям. Эти системы могут накапливать сигнал энергии и таким образом превышать тепловой Больцмановский шум (кТ), они могут обеспечиваться сравнительно малыми энергиями активации и при этом — быть защищены от тепловых флуктуаций [18]. С точки зрения эволюции, биологическая мембрана может быть рассмотрена как одна из наиболее элементарных диссипативных систем [61 ], которая является химически накачанной, открытой и устойчивой, а энергия, поставляемая ей, обеспечивается последовательностью обратных связей, как накопленного результата осцилляторных биохимических реакций [63 ]. Последние являются источником когерентных колебаний в биологической системе, которые могут переходить в низшие колебательные состояния, характеризующиеся высокой степенью пространственной когерентности по типу бозе-конденсации фононов. Общая теория когерентных колебаний в биологических системах была развита Фрелихом [34-38 ], где он рассматривает коллективные химические осцилляции, в которых белки, окружающие ионы и структурированная вода являются главными составляющими и осциллируют между сильным электрически полярным возбужденным состоянием и слабым полярным фоновым состоянием. Слабая химическая осцилляция в них связана с соответствующими электрическими колебаниями. Сильное электрическое взаимодействие между высокополярными состояниями в связи с сильным сопротивлением электрической проводимости налагает лимит-циклические ограничения на эти полярные системы, делая осцилляции крайне чувствительными к внешним электрическим и химическим влияниям. Ответы на них носят кооперативный характер, нелинейны и часто бывают сильными в ответ на сверхслабые стимулы [18 ]. [c.23]

Можно заметить, что во всех случаях перехода различных систем к новому устойчивому состоянию четко выделялся какой-либо параметр. Превышение критического значения этого параметра и приводило к формированию диссипативных TpjT ryp и включению нового механизма диссипации энергии системы. Такой параметр называют управляющим параметром системы, то есть он управляет поведением системы в критических точках. В табл. 6.1 собраны управляющие параметры для всех рассмотренных нами диссипативных структур. Забегая немного вперед, скажем, что управляющим параметром эволюции конструкционных материалов является плотность дислокаций. Но об этом - а следующем разделе. [c.278]

Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учитывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости (или обратной э. д.с. на сопротивлении от силы тока) нужно знать лишь ее графическое изображение, которое может быть получено и экспериментально. При этом построении, очевидно, нет никаких существенных ограничений на вид функции потерь ф (у) и ее мгновенное значение, так что данный метод с одинаковым успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших потерь, а также к системам с большой и малой нелинейностью в диссипативном элементе. Последнее обстоятельство придает методу Льенара большую общность и позволяет с его помощью изучать колебательные свойства систем при изменении затухания от малых до весьма больших значений и с учетом различных законов трения (как линейного, так и существенно нелинейных законов). Заметим, что метод Льенара широко используется для построений фазовых портретов автоколебательных систем с разными законами нелинейности, а именно для нахождения устойчивых предельных циклов — замкнутых фазовых траекторий. [c.57]

Вопросы устойчивости, связанные с наличием диссипативных и гиростАтичЕских ЧЛЕНОВ. Выше установлена аналитически в согласии с физической действительностью возможность того, что, кроме консервативных сил, на систему могут действовать еще гиростати-ческие и диссипативные силы вместе с этим возникают и хорошо известные вопросы об устойчивости движения. [c.396]

Докан<ем, что наличие диссипативных сил превращает обычную устойчивость в асимптотическую. Рассмотрим для простоты систему с двумя степенями свободы. Пусть X ж у — главные координаты системы без затухания, так что [c.198]

Итак, добавление диссипативных сил к консервативным не изменяет значения р = Pi критической нагрузки, но превращает устойчивое равновесие при р < р в асимптотически устойчивое, а неустойчивое равновесие при р — р — в неасимптотически устойчивое. В этом проявляется стабилизирующее влияние диссипативных сил на систему, находящуюся под действием консервативной нагрузки. [c.436]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...