Волновой оператор и S-матрица

ВОЛНОВОЙ ОПЕРАТОР И 8-МАТРИЦА [c.178]

БН—борелевский носитель ВО—волновой оператор МР—матрица рассеяния ОВ—определитель возмущения п.в.—почти везде ПИ— принцип инвариантности ФСС—функция спектрального сдвига. [c.9]

Из полноты волновых операторов вытекает, что матрица рассеяния 5 (А) является унитарной функцией спектрального параметра А. Кроме того, в теории относительно компактных возмущений 5 (А) отличается от единичного оператора на компактный. Например, для оператора Шредингера 5 (А)— унитарный оператор в 2( - ) при всех А > О, а 5(А) — I— [c.20]

Тогда существуют и полны сильные нестационарные волновые операторы У Н, Но), а для соответствующей матрицы рассеяния при п.в. А справедливо представление [c.221]

Основные объекты теории рассеяния (волновые операторы, оператор и матрица рассеяния) относятся к теории возмущений на непрерывном спектре. Понятие функции спектрального сдвига (ФСС) выходит за рамки собственно теории рассеяния. [c.328]

Из (20.4) следуе , что совокупность чисел В , которую можно записать в виде матрицы, связывает волновые функции и н V в -представлении. Сами числа называются матричными элементами оператора В. [c.128]

Об этих матрицах говорят как об операторах в соответствующем представлении ( -представлении, /)-пред-ставлении и т. д.). Отсюда ясно, что все изложенное выше о квантовой механике с помощью волновой функции i fx), операторов координаты X = X, операторов импульса = = (h/ijd/dx и г. д. может быть сформулировано без использования координат. Другими словами, волновая функция V(x), оператор координаты х = х, оператор импульса = = (h/i)d/ lx и т.д. сами являются представлением более абстрактных величин, лежащих в основе квантовой механики. Это конкретное представ- [c.129]

Вторичное квантование. В статистической механике приходится иметь дело с волновыми функциями, зависящими от огромного числа переменных, поэтому координатное представление неудобно для практического использования. Квантовые состояния многочастичных систем обычно описываются в представлении чисел заполнения которое также называется представлением вторичного квантования. Главным достоинством этого представления является то, что в нем симметрия Д/ -частичных волновых функций учитывается автоматически путем введения специальных операторов рождения и уничтожения. Действуя на квантовое состояние системы, эти операторы изменяют число частиц в одночастичных состояниях. Как мы увидим дальше, формализм, основанный на использовании операторов рождения и уничтожения, очень удобен для построения операторов динамических величин и приведенных ( -частичных) матриц плотности, которые играют исключительно важную роль в кинетической теории (см. главу 4). Мы обсудим основные идеи метода вторичного квантования, поскольку он будет часто использоваться в книге. Детальное изложение этого метода можно найти в любом современном учебнике по квантовой механике (см., например, [14, 79, 89, 125]). [c.32]

В последнем выражении фермиевские операторы рождения и уничтожения соответствуют одночастичным состояниям с заданным импульсом р и проекцией спина а. Из формулы (6.1.60) следует, что эффекты поляризации связаны с двухчастичными корреляциями. Поэтому при построении квазиравновесного статистического оператора естественно выбрать в качестве наблюдаемых одночастичную и двухчастичную матрицы плотности. Этот вариант термодинамического описания неравновесных состояний мы уже обсуждали в разделе 6.1.1. Из физических соображений ясно, однако, что наиболее важные корреляции, приводящие к экранированию кулоновского взаимодействия, описываются средними значениями при достаточно малых волновых векторах [c.21]

Оператор K mk) можно найти, произведя в формуле (7.92) замену д/дх- imk. Имея уравнение (7.110), мы можем не решать задачу на собственные значения для каждого волнового вектора. Достаточно лишь найти обратную матрицу третьего порядка, которая стоит в формуле (7.110). Собственные векторы и собственные значения должны вычисляться только при m == 1, а сумму (7.108) нужно вычислять по устойчивым модам. Введем, наконец, обозначения [c.192]

После того как написаны эти соотношения, можно переходить к задаче нахождения функции распределения для квантовомеханических переменных. Сначала заметим, что в соответствии с основными принципами квантовой теории классические наблюдаемые — такие, как д (i) — заменяются в квантовой механике операторами Ь. Как мы знаем, в квантовой механике можно по-разному выбирать временную зависимость операторов Ь. В представлении Шредингера операторы Ь, Ь+ не зависят от времени и вся временная зависимость квантовой системы описывается волновой функцией <р или (при более изящном подходе) зависящей от времени матрицей плотности. Другое описание основывается на представлении Гейзенберга, в котором зависят от времени операторы Ь, Ь+, а волновая функция от времени не зависит. В нашем изложении будет использоваться представление Шредингера, которым мы уже пользовались в разд. 11.1, хотя и не употребляли этот термин. Мы установим аналогию между структурой статистического среднего такого вида, как Б формуле (П.35), и квантовомеханического среднего вида [c.297]

Для вычисления средних энергий фононов при термодинамическом равновесии напомним некоторые положения статистической физики. Состояние системы, находящейся в термодинамическом равновесии, описывается не волновой функцией, а статистическим оператором, или матрицей плотности [5]. Матрица плотности для системы, находящейся при постоянной температуре и давлении, определяется выражением [c.53]

Здесь первый множитель под интегралом показывает вероятность отсутствия удара до момента , а величина й1/т равна вероятности "измерения" на интервале Если мы переходим к усредненной по времени вероятности, то число ударов за время Л/ следует считать равным Аг/т. Таким образом, предлагаемая логика автоматически приводит к классической цепи Маркова, а квантовый подход понадобился лишь для нахождения вероятностей перехода от одного "измерения" к другому. В итоге, для многих последовательных измерений мы получаем диффузионное уравнение (143) для р , 1) с Максвелловским распределением частицы по скоростям. От этих вероятностей можно было бы перейти к матрице плотности р х,х ) = (ф х)ф х )). Но как мы видим, в этом нет большой нужды. Найденные нами усредненные волновые пакеты, которые входят в выражение (147), играют роль базиса, в котором матрица плотности имеет диагональный вид р х,х ) представляет собой случайную выборку одного из таких пакетов с вероятностью, которая предписывается извне оператором измерения М ф). В результате для описания статистических свойств случайной волновой функции основную роль играют именно свойства "измерения", а свободный пролет частицы от одного "измерения" до другого "измерения" определяет лишь величину коэффициента диффузии П. [c.142]

Теперь мы видим, что оператор М ф) по отношению к его действию на ф, мало чем отличается от макроскопического прибора он осуществляет коллапс волновой функции по правилам теории измерений квантовой механики, т.е. в одно из взаимно ортогональных состояний. Если трактовать эти измерения в терминах превращения чистого ансамбля в смешанный, то нетрудно видеть, что матрица плотности р х,х ) изменяется при таких измерениях очень мало. В самом деле, осциллирующая зависимость от х - х матрицы плотности определяется, в основном, не размерами волновых пакетов, а максвелловским распределением по импульсам. Поэтому описание смешанного состояния в терминах матрицы плотности не является достаточно чувствительным, чтобы определить, происходят ли в самом деле коллапсы усреднение по ансамблю легко уничтожает соответствующую очень "деликатную" информацию. [c.143]

Теперь нетрудно видеть, что С/(р, У) является аналогом функции Вигнера, т.е. матрицы плотности в смешанном представлении. Если в уравнении (191) волновые векторы К и К заменить, соответственно, на операторы iVR и —а затем перейти от К, К представления (импульсного представления) к обычному, то получим [c.207]

Мы ограничимся представлением о плоских волновых полях (монохроматических или немонохроматических). Предположим, что плоская волна распространяется в положительном направлении оси 2 выбранной нами пространственной системы координат (фиг. 9.1). Несколько оптических (поляризующих) приборов, соединенных последовательно (показанных на фиг. 9.1 в виде черного квадрата), воздействуют па приходящую плоскую волну, создавая затем выходящую плоскую волну. Прежде всего нам нужно найти такое представление плоской волны, которое было бы однозначно связано с ней. Тогда действие черного квадрата может быть охарактеризовано неким математическим оператором . Мы потребуем, чтобы оператор был линейным. Это согласуется с линейностью уравнений Максвелла, описывающих поле (и функцию взаимной когерентности Г1 ), распространяющееся в соответствии с принципом Гюйгенса. В современных методах исследования частичной поляризации, о которых мы собираемся говорить, рассматриваются в основном линейные задачи, а векторная природа света учитывается с помощью матриц. [c.197]

Освободимся, наконец, от использовавшихся нами сокращенных векторных обозначений. Единичный вектор 8 (я) определяет направление поляризации для моды с волновым вектором я. Выражение 8 (я) 8 (я) есть оператор проектирования любого вектора (в данном случае вектора 6г ) на направление, параллельное вектору 8 (я). Поэтому в декартовых координатах матрица 8 (я) 8 (я) имеет матричные элементы (я) (ч)> где, например, есть проекция вектора 8 на -ю ось. Аналогично единица в уравнении (4.20) сокращенно обозначает Расписывая уравнение (4.20) по компонентам, получаем [c.431]

Нестационарное определение волновых операторов (ВО) на формальном уровне было дано К.Меллером [126]. Еще раньше, минуя ВО, оператор рассеяния вводился в работах Лж.Уилера 139] и В.Гейзенберга [101]. Стационарное представление для матрицы рассеяния появилось в физической литературе в работах Б.Липпмана и Дж.Швингера [125] и М.Геллмана и М.Гольдбергера [98. [c.400]

При квантовомеханическом рассмотрении величины а являются матрицами (3.14), а матрица Е состоит из суммы членов, связывающих два состояния системы, в которых числа фононов с волновыми векторал1И к, к, к" отличаются на единицу. Хотя в равенстве (5.4) все операторы формально. чаписаны как операторы уничтожения фононов, некоторые из них могут быть операторами рождения благодаря обозначениям (3.5), (3.6) и (3.16). [c.233]

Системы с распределенными связями между периодами. Когда структура системы отлична от стержневой, например упругие диски с лопатками, вместо сравнительно легко определяемых матриц динамических жесткостей или податливостей для периода системы необходимо построить интегральные операторы, которые могут быть весьма сложными. Поскольку образование их связано с определенными трудностями, при решении задач тарного типа систему рационально расчленять не на периоды, а на кольцевые участки, динамические характеристгию которых можно описать более простыми средствами. Этот путь можно использовать и для систем стержневого типа. При таком подходе свойства спектров можно реалшо вать путем введения понятия волновых динамических жесткостей и податливостей [25]. Фундаментальные матрицы волновых динамических жесткостей (податливостей) полностью определяют необходимые для расчета динамические характеристики кольцевых участков, если они найдены для всех чисел волн т перемещений (усилий), допускаемых порядком симметрии системы. [c.43]

Задаинс этих матриц полностью определяет действие операторов проекции спина на волновую ф-цию системы, к-рую с учётом возможных значений внутр. переменной удобно представлять в виде столбца с (25+1) комнопонтами [c.290]

ОПЕРАТОРЫ в квантовой теории — сим-волич. изображение составленных по определённым правилам матем. операций (алгебраич., дифференциальных, интегральных, перестановочных и т. д.), используемых в квантовой теории для преобразования встречающихся в ней величин. Если состояние квантовой системы описывается с помощью волновой ф-ции ф(ё,ж) (для конкретности, папр., в Шрёдингера представлении), то О. или их последовательность в конечном счёте действуют на эту ф-цию, сопоставляя с ней волновую ф-цию, соответствующую уже др. состоянию системы. В др. формализмах квантовой теории (папр,, когда состояние системы фиксируется с помощью О. матрицы плотности или в представлениях, когда ф является фиксир. вектором в гильбертовом пространстве) О. действуют па др. О., характеризующие состояние системы или к.-л. ее характеристики. Ниже будут рассмотрены наиб, часто встречающиеся типы U. [c.410]

Т. т. в. основана на формальной аналогии между Шрёдин-гера уравнение. для волновой ф-ции системы и Б.ю.ха уравнением для статистич. оператора р квантового кано-нич. (или большого канонич.) распределения Гиббса для той же системы. Ур-ние Блоха (9р/йр= —Яр с нач. условием p 5=o= 1 получается из ур-ния Шрёдингера формальной заменой времени t на мнимое время А 3/Л В рамках Т. т. в. решение для р, согласно Т. Ma]jy6ape [I], ищется в виде P=PqS(P) с нач. условием 5(0) = 1, где S(p)—т.н. температурная S-матрица, имеющая вид, аналогичный матрице рассеяния в квантовой механике [c.91]

Зигнер [120]. Рассмотрены операторы проектирования и доказательство того, что взаимно-ортогональные волновые функцин образуют базис унитарного представления. Техника образования матричных представлений, примененная в [120] н многих других книгах, отличается от использованной в этой книге. Матрица D f/ ] в [120] связана с матриней D[R] настоящей книги соотношением D [/ ]/i= 0[Л],/. [c.95]

При квантовомеханич. описании макроскопич, систем всякая физич, величипа является оператором или соответствующей ему матрицей. Понятие статп-стич, усреднения заложено уже в самом аппарате квантовой мехапики. Роль ф-ции распределения играет здесь статистический оператор w (наз, также статистической матрицей, или матрицей плотности). Ф-ла для среднего значения к.-н. физич, величины/ принимает вид /= Sp/u , где Sp — сумма диагональных элементов матрицы. Принципиальное отличие квантовой системы, состоящей из большого числа частиц, по аналогии с классич, случаем, состоит в том, что для вычисления / нельзя пользоваться обычной квантовомеханич, ф-лой 7 = ( 1 з (q)f ( ) dg, поскольку определение волновой ф-ции системы г]) иред- [c.72]

ЧИСТОЕ СОСТОЯНИЕ — состояние кваитовоме-ханич. системы, к-рое можно описать волновой ф-цией или суперпозицией волновых ф-ций. Ч. с. часто паз. просто квантовомеханнч. состоянием это одно из основных понятий квантовой механики. Ч. с. соответствует полной, максимально возможной информации о квантовомеханич. системе. Состояния, к-рые нельзя описать волновой ф-цией и к-рые не соответствуют максимально возможной информации о системе, паз. смесью состояний] для их описания служит матрица плотности, или статистич. оператор. [c.417]

В случае М-проводпой электрической взаимной линии (рпс. 2, j) l5j матрица разделяется на 4 квадратных блока с iiu, Bi2, В21, 22. причем ЯЗп = 4 22 = 0. Квадраты волновых чисел зеркально-симметричных пар П. в. в такой линии будут собственными значениями оператора = 2iSi2, где [c.437]

Быть может, полезно подчеркнуть, что оператор Р г / можно использовать для проверки того, что ф является бло-ховским вектором и для определения его волнового вектора к по матрице ( I ) = ехрИ наоборот, функция, умножаюш аяся на ( I 1, ) при действии оператора Р к , является блоховским вектором с волновым вектором к. [c.78]

Следовательно, для волновых векторов класса 1П операция обращения времени приводит к удвоению кратности существенного вырождения от значения 1т-з) до значения 21т-з). Матрицы копредставлений (97.7) и (97.8) отражают полную пространственно-временную симметрию и их структура важна в последующем рассмотрении при получении правил отбора для многофононных процессов. Резюмируя, видим, что процедура получения индуцированных представлений из группы % к) не зависит от оператора обращения времени К. Группа к) — это группа чисто унитарных операторов, и сначала мы переходим от представлений группы (А) к представлениям [c.270]

Поведение системы частиц, взаимодействующих с диссипативной подсистемой, необходимо описывать квантовостатистическими методами. Будем пользоваться методом матрицы плотности (статистического оператора, см. гл. Х1П в [5]). С помощью метода матрицы плотности исследуем вначале временное затухание пространственно-однородного электромагнитного поля в кристалле, а затем выясним особенности прохождения через кристалл света фиксированной частоты. Исследование второго вопроса будет проведено в представлении волновых пакетов, которое позволит проследить за пространственным перемещением фотонов и экситонов. При изложении будем следовать работе Серикова и автора [379]. [c.485]

Существует определенное сходство в формальных выражениях для матрицы плотности в квантовой механике и для корреляционной функции случайного классического волнового поля. Однако, по существу, эти физические объекты разительно отличаются друг от друга. Дело в том, что волновая функция квантовой механики в простейщем случае относится только к одной частице. Грубо говоря, она реальна только там, где эта частица существует, и имеет мало смысла для тех областей, где частицы нет. Можно сказать и по-другому. В квантовой механике все физические величины получаются в результате действия некоторых операторов на волновую функцию. Соответственно, средние значения этих величин можно получить путем их усреднения с весом ф . Отсюда видно, что абсолютная фаза и абсолютная амплитуда волновой функции не имеют физического смысла и могут быть выбраны для удобства расчетов по своему усмотрению. Поэтому сильные относительные изменения амплитуды в далеких по расстоянию точках не приводят к заметному изменению локальных физических величин, если градиент ф при этом изменяется ничтожно мало. По этой причине 1 / -функция приобретает смысл распределения вероятностей, а не распределения реальной плотности или волнового движения, как в случае классических полей. [c.57]

О такой системе говорят как о находящейся в чистом состоянии , в противоположность случаю смешанного состояния , когда волновая функция не известна. Ясно, что для чистого состояния все системы внутри ансамбля описываются одной и той же волновой функцией, например Р , и при определении значения физической величины фактически используется только один процесс усредие-иия — квантовомеханический. Для каждого чистого состояния можно провести полный эксперимент [3] в том смысле, что его результат является предсказуемым с полной определенностью, если он выполнен для системы, находящейся в подобном состоянии. Это можно понять, если вспомнить, что с наблюдаемым значением параметра системы связан эрмитов оператор, так что постановка полного эксперимента эквивалентна нахождению оператора, которому в качестве собственной функции соответствует волновая функция чистого состояния. Необходимое и достаточное условие того, что матрица плотности р описывает чистое состояние, выражается равенством [c.98]

Аналитичность. Из спектральной теории операторов известно, что = Е — Я) 1 является аналитической операторной функцией Е, регулярной всюду в плоскости с правым разрезом, за исключением точек, соответствующих связанным состояниям. Спрашивается, почему же тогда S не регулярна с необходимостью там, где регулярна I/ Это различное поведение и 5 на физическом листе обусловливается тем, что матричные элементы 5 вычисляются для зависящих от энергии волновых функций, которые при комплексных значениях энергии не дгогут быть нормируемыми. Именно это обстоятельство ответственно за возможное отсутствие регулярности функции S там, где функция. V i регулярна, а равно и за возможное появление кратных полюсов у S в точках, в которых функция должна иметь только простые полюсы. Более того, поскольку соответствующий матричный элемент от вычета функции У может обращаться в нуль, то функция S к) необязательно должна иметь полюсы в точках полюсов для Поэтому исследование д как операторной функции Е намного проще исследования S-матрицы. В случае можно привлечь общий и хорошо разработанный операторный формализм S-матрицу же удобнее исследовать методами, которые используются в настоящей главе. [c.328]

Чтобы получить операторную матрицу Ь системы N приборов, расположенных последовательно, необходимо просто перемножить N операторов (ЬдгЬдг 1. . . ЬгЬ1). Поле на выходе легко получается по формуле (9.3). Таким образом, поставленная задача решается очень просто и изящпо. Правда, монохроматические (полностью поляризованные) волновые поля являются лишь математической идеализацией. При анализе более соответствующего действительности квазимонохроматического приближения для поля излучения мы сразу же видим, что двух компонент поля, входящих в выражение (9.1), недостаточно для исследования частично поляризованных (или в крайнем случае неполяризованных) волновых полей. Поэтому приходится переходить к более высокому порядку представления поля. Одип из вариантов такого представления мы укажем в следующем параграфе. [c.202]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...