Средняя энергия фонона

При низких температурах полная энергия фононов пропорциональна Т . Поэтому число фононов, равное частному от деления полной энергии всех фононов на среднюю энергию фонона, составляющую по порядку величины kT, пропорциональна Т . Следовательно, е-Ф,г. на основании приведенного выше соот- [c.458]

Мы предполагаем здесь, что формула (2.60) для средней энергии фононов, которая отнимается у кристалла в расчёте на один поглощённый фотон, даёт нам то же значение и в обратном направлении процесса. [c.156]

Для вычисления средних энергий фононов при термодинамическом равновесии напомним некоторые положения статистической физики. Состояние системы, находящейся в термодинамическом равновесии, описывается не волновой функцией, а статистическим оператором, или матрицей плотности [5]. Матрица плотности для системы, находящейся при постоянной температуре и давлении, определяется выражением [c.53]

РЕШЕТОЧНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ Средняя энергия фонона [c.51]

Интересуясь тепловым возбуждением фононов, мы должны вычислить среднюю энергию фонона при температуре Т. Вероятность заполнения квантового состояния с энергией Е дается формулой [c.52]

Из (4.57) следует, что порядок величины относительного изменения производной (1ЬЕ ко)/(1ко, а значит, и относительного изменения скорости Ферми определяется отношением квадрата формфактора к средней энергии фонона, умноженной на энергию Ферми. Это отношение может достигать весьма большой величины так, для свинца оно оказывается порядка 2. Мы видим, что сдвиг отрицателен и, следовательно, плотность возбужденных состояний возрастает. Как отмечалось в п. 6 5 гл. И, наблюдаемые большие отклонения масс, определяемых из измерений удельной теплоемкости, от электронной массы, по-видимому, объясняются именно этим эффектом. Причину уменьшения скорости электрона можно интерпретировать физически как следствие возбуждения виртуальных фононов, тянущихся за электроном. [c.472]

Мы уже говорили, что понятие фонона или кванта упругого возмущения, обычно используемое в физике твердого тела, можно распространить также на газы и жидкости. В результате действия возмущающих факторов (поля пульсаций скоростей) число фононов в заданном состоянии может изменяться с течением времени фононы могут приходить и уходить из данного элемента фазового пространства. Может оказаться, что в результате действия внешних случайных нестационарных возмущений функция распределения фононов, а следовательно, и средняя энергия фонона будут изменяться со временем монотонным образом. В частности, средняя энергия может возрастать. В этом случае мы можем говорить об ускорении фононов. [c.177]

При низких температурах Т 0д) полная энергия фононов пропорциональна Т поэтому число фононов (равное частному от деления полной энергии всех фононов на среднюю энергию фонона, равную по порядку величины кТ) пропорционально Следовательно, для процесса теплопроводности 1/Г , а для процесса электропроводности на основании приведенного выше соотношения Ае-ф а 1/Т . Наиболее простым является рассеяние электронов на примесных атомах. В этом случае эффективное сечение рассеяния равняется поперечному сечению атома, которое несуш,ественно меняется с температурой и может считаться постоянной величиной, поэтому 1/Пд, где — число примесных атомов в единице объема. [c.114]

Из сказанного следует, что каждую моду колебаний с классической частотой D (к, s) можно возбудить с помощью целого числа квантов Й(о (к, s) энергии. При этом величина л (к, s) в формуле (5.70) имеет простой смысл — это число фононов данного сорта с импульсом р и энергией Й(о(к, s). Во многих задачах, связанных с тепловыми свойствами твердых тел, необходимо знать среднее число фононов <п(к, s)> с энергией Йш(к, s), существующих в данной моде колебаний при температуре Т. Для нахождения <л(к, s)> воспользуемся выражением для средней энергии квантового осциллятора, полученного Планком [c.162]

Таким образом, среднее число фононов в одной ячейке фазового пространства объемом (2лй) с энергией Йсо(к, s) определяется выражением (5.73). [c.162]

Этим выражением для средней энергии квантового осциллятора, без вывода, мы уже пользовались в гл. 5 для подсчета среднего числа фононов < (к, s)> с энергией Й.(о(к, s), соответствующих в данной моде колебаний температуре Т. [c.167]

Первый член в (9.78) соответствует нулевой энергии осциллятора, а второй можно трактовать как произведение энергии фонона Йсо на равновесное (среднее) число фононов в рассматриваемом квантовом состоянии. В такой интерпретации [c.222]

Прежде чем приступить к математическим выкладкам, имеет смысл хотя бы кратко обсудить физическую сторону задачи. Важная особенность нелинейного процесса переноса заряда состоит в том, что он характеризуется несколькими временами релаксации. Электрон-электронное взаимодействие, описываемое оператором Я, приводит к термализации электронов за некоторое время релаксации Заметим, что это взаимодействие не меняет суммарный импульс электронов и их полную энергию. Поэтому, если не учитывать других взаимодействий, на достаточно грубой шкале времени состояние электронной подсистемы можно характеризовать средним значением полного импульса (Ре) и средней энергией HJK Релаксация импульса электронов обусловлена их взаимодействием с фононами и примесными атомами. Если температура не слишком велика, то в реальных полупроводниках характерное время релаксации импульса электронов г определяется, в основном, их упругим рассеянием на примесных атомах ). С повышением температуры возрастает роль электрон-фононного взаимодействия, которое приводит к релаксации как среднего импульса электронной подсистемы, так и средней энергии. Тогда вместо и г нужно использовать другие значения времен релаксации с учетом вклада электрон-фононного взаимодействия. В главе 5 первого тома (см. приложение 5Б) было показано, что следует различать изотермические (Tgg С г) и адиабатические (г > г) условия. В первом случае для описания состояния электронной подсистемы достаточно задать средние значения полного импульса и энергии, а во втором требуется более детальное описание, скажем, с помощью функции распределения электронов. [c.100]

Степень возбуждения колебаний решетки характеризуется, таким образом, квантовыми числами Пк, т. е. числом фононов. Среднее число фононов данной энергии кУк выражается соотношением [c.47]

Итак, полагая д, = 0, получим, используя (10.9) и (10.13), следующие выражения для среднего числа фононов в состоянии v a) и свободной энергии кристалла [c.55]

После первого удара частица оказывается зафиксированной внутри термостата, будучи "измеренной" вместе с приближенной траекторией от точки "распада", а затем начинается процесс установления равновесия с термостатом. Частица обменивается фононами со стенкой, ее средняя энергия понижается, а распределение по уровням приближается к максвелловскому. В конце концов энергия частицы достигнет среднего теплового значения = Г/2, а остаток энергии - 7/2 будет передан стенке в виде порции тепла А2 = - (7 /2). Внутренняя энтропия частицы достигнет при этом величины (73), т.е. 5 1п Ь/Ьо), а энтропия термостата возрастет на величину А5 = AQ/T = ( т1п/ (1/2) Вся эта вторая стадия процесса носит существенно необратимый характер с возрастанием энтропии. [c.64]

Сравнение формулы (23.9) для средней плотности тепловой энергии кристалла при температуре Т с формулой (23.4) для энергии в отдельном стационарном состоянии позволяет заключить, что тг8(к) есть среднее значение числа, описывающего степень возбуждения нормальной моды кх при температуре Т. При использовании представления о фононах величина тг5(к) дает среднее число фононов типа кх в состоянии теплового равновесия ) при температуре Т. [c.81]

Предположим, что вдоль оси х в кристалле диэлектрика приложен небольшой градиент температуры (фиг. 25.3). Как и в модели Друде (см. т. 1, стр. 21), мы считаем, что локальное термодинамическое равновесие поддерживается просто благодаря столкновениям. Фононы, испытавшие столкновение в точке х, вносят в неравновесную плотность энергии вклад, пропорциональный равновесной плотности энергии при температуре Т х), т. е. и х) = I (д )]. Каждый фонон в данной точке дает вклад в плотность теплового потока в направлении X, равный произведению д -компоненты его скорости на его вклад в плотность энергии ). Однако средний вклад фонона в плотность энергии зависит от положения точки его последнего столкновения. Поэтому существует корреляция между тем, откуда пришел фонон (т. е. направлением его скорости), и его вкладом в среднюю плотность энергии в результате суммарный поток тепла оказывается отличным от нуля. [c.127]

Энергия упругой волны в твердом теле квантуется точно так же, как энергия электромагнитной волны в полости. Квант энергии упругой волны называется фононом. Тепловое среднее число фононов в упругой волне с частотой со определяется, как и для фотонов, функцией распределения Планка, введенной в гл. 15 [c.222]

Средняя энергия и удельная теплоемкость, обусловленная фононами (Е = Рс), определяются следующим образом. Среднее значение числа фононов с энергией Е равно [c.361]

Подобное же выражение было получено для сверхпроводников. Это соотношение можно получить следующим образом. Предположим, что крошечный демон, попавший в жидкость, ударил по ней и вызвал возбуждение с импульсом Р. При этом скорость всей жидкости уменьшается на величину Р/УИ, где М — масса жидкости, составляющей фон. Если теперь жидкость движется со скоростью Vj и в ней имеется возбуждение, то ранее она должна была иметь скорость V -f-P/УИ и обладать той энергией, которая ушла на создание возбуждения. Полная энергия, следовательно, должна быть равна (М/2) (V -i-Р/М) -f (Р) (Ai/2) + Р-+ (Р). Энергия жидкости, движущейся без возбуждений со скоростью равна MV /2. Следовательно, энергия, необходимая для создания возбуждения в жидкости без изменения ее скорости, равна (P) + P-V . Применяя теперь обычные методы статистической механики, находим, что среднее число фононов с импульсом Р равно [c.362]

Вероятности <х и являются функциями температуры Т, энергии ионизации , средней длины свободного пробега электронов и дырок энергии фонона и напряженности электрического поля в направлении потока носителей заряда ( / ). Вероятность ионизации [16.7] задается уравнением (16.9) [c.461]

В отличие от диэлектриков, где длина свободного пробега фононов при низких температурах, в основном, определяется размерами образца, Б металлах длина свободного пробега электронов при этих температурах определяется дефектами и примесями. Это связано с тем, что энергия электронов (вблизи энергии Ферми), переносящих теплоту, слабо зависит от температуры [формула (6.57)]. Длина волны де Бройля Х=И/(mv ) таких электронов — порядка средних межатомных расстояний, поэтому электроны сильно рассеиваются на дефектах атомных размеров и средняя длина свободного пробега <Хэл> ограничена этими размерами. [c.196]

Оператор кинетической энергии p l2m заменяется членом, линейным относительно имиульса V-p, где V — постоянная средняя скорость электрона. Непосредственным результатом преобразования является замена электронно-фононного взаимодействия взаимодействием между электронами. Наиболее важный член равен [c.775]

Остаточное сопротивление металлов. При не очень низких температурах электрическое сопротивление металлов обусловливается главным образом рассеянием электронов на атомах кристаллической решетки металла. В результате актов рассеяния электронов происходит в среднем передача энергии от электронов к атомам кристаллической решетки. Передача энергии обусловливает возникновение электрического сопротивления. Атомы колеблются в узлах кристаллической решетки, и полученная ими энергия преобразуется в энергию колебаний. Колебания решетки описываются как возбуждения твердого тела, называемые фононами, а вся совокупность колебаний успешно описывается понятием фононного газа. Электрическое сопротивление в этой картине является результатом элект-рон-фононного взаимодействия. [c.370]

В области низких температур, в которой энергия решетки Бреш средняя энергия фонона Йо Т и концентрация фононного газа должна быть пропорциональна Г Т . [c.133]

В области высоких температур, в которой Еррщ Т, средняя энергия фонона достигает предельного значения порядка Йшд fvke, не зависящего от температуры и концентрация фононного газа должна быть пропорциональна Т Т. Основные характеристики фононного газа приведены в табл. 4.1. [c.133]

Можно исходить из того, что средняя энергия фонона равна Ш. При высоких температурах (Т в) число фононов в единице объема, согласно (13.9.6), равно 9NT/2Q. В соответствин с классической статистической теорией теплоемкости [27] полная внутренняя энергия решетки при этих условиях равна приблизительно ЗМкТ (на единицу объема). Обозначая внутреннюю энергию решетки U, приравняем ее энергии фононного газа [c.330]

В этом эксперименте исследователи ожидали получить для величины скорости объёмного охлаждения значение П2 охл/ г, где П2 — плотность населённости возбуждённого состояния, т — время флуоресцентного распада и средняя энергия фононов. Предполагая термическое равновесие между излучающими состояниями и пренебрегая скоростями внутренних безызлучательных переходов, можно оценить величину Еохл/h . Для этого нужно найти соответствующую сумму всевозможных разностей энергий между подуровнями верхнего и нижнего состояний. Полученное значение составило 90 см . При накачке мощностью 100 Вт ожидаемое уменьшение температуры образца для вакуума равнялось 8,4 градуса, считая от комнатной, а для образца в окружении воздушной среды составило 2,1 градуса. Описанный выше эксперимент показал ожидаемую временную зависимость температуры образца, но охлаждение так и не было достигнуто. Вместо этого, наблюдалось лишь уменьшение нагрева результирующая стационарная температура оказалась на 0,6 К меньше, чем температура чистого кристалла в полости с мощностью излучения 100 Вт. [c.58]

Теория, учитывающая одновременное взаимодействие электрона с оптическими и акустическими ветвями колебаний без использования континуальной модели и адиабатического приближения, развивалась в работе Суми и Тоязавы [132] на основе метода фейнмановских интегралов. Было показано, что резкое изменение состояния полярона (наблюдаемое при увеличении связи) от почти свободного типа (Р) к самозахваченному типу (5) вызывается взаимодействием малого радиуса (деформационный потенциал акустических колебаний), а не дальнодействующим взаимодействием (поле электрической поляризации оптических колеба иий). Такое резкое изменение должно наблюдаться только при малом отношении средней энергии фононов к энергетической ширине электронной зоны в жесткой решетке, т. е. при 7< 1. При 7 5з1 почти свободное состояние Р практически не отличается от самозахваченного состояния 5. [c.256]

Фононы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, поэтому среднее число фононов в одной яче ше фазового пространства объемом 2nUf с энергией Е определяется выражением (5.73). Тогда полная энергия фононов в кристалле [c.176]

Вин рассмотрел также зависимость рассеяния электронов от амплитуды колебаний атомов и показал, что если п, квантов энергии Ь> распределены среди некоторого числа атомных осцилляторов, то рассеяние не должно зависеть от конкретного вида распределения это справедливо, если рассеяние пропорционально квадрату амплитуды (т. е. энергии колебаний). Можно, пожалуй, утверждать, что представление о фоионе в его современном понимании появилось вместе с этим выводом. Исходя из кваитово-механических представлений, предполагается, что электрон рассеивается в колеблющейся решетке благодаря поглощению или излучению кванта колебательной энергии. Поскольку вероятность такого перехода пропорциональна концентрации квантов с дайной частотой колебаний ), это явление можно наглядно представить как соударение электрона с фононом. Так как средняя энергия осцилляторов решетки при тепловом равновесии равна — 1), то концентрация квантов или фононов с энергией [c.157]

Ф. э. может быть представлена как результат трёх после-доват. процессов поглощение фотона и появление электрона с высокой по сравнению со средней) энергией движение этого электрона к поверхности, при к-ром часть его энергии может рассеяться за счёт взаимодействия с др. электронами или дефектами и колебаниями кристаллич. решётки (фононами) выход электрона в вакуум или др. среду через потенц. барьер на границе раздела. В металлах Ф. э. в видимой и УФ-областях спектра связана с поглощением фотонов электронами проводимости. В полупроводниках и диэлектриках Ф. э. в этой области спектра определяется в осн. возбуждением электронов из валентной зоны. Важной количеств, характеристикой Ф. э. является квантовый выход Y—число эмитированных электронов в расчёте на один фотон, падающий на поверхность тела. Вели-тана Y определяется свойствами вещества, состоянием его поверхности и энергией фотонов. [c.365]

Другим подтверждением отличия типов симметрии структуры для малоатомных устойчивых кластеров и фуллеренов являются данные анализа вида функции потенциальной энергии и результаты расчета упругих и фононных констант и энергетических структурных характеристик [3]. Данные [3] расчета энергии связи атомов для малоатомных кластеров С и фуллеренов представлены на рис. 3.4 и 3.5 соответственно. Можно видеть, что в случае малоатомных кластеров средняя энергия связи линейных кластеров С (где п=3, 5, 7, 9) повышается по мере удлинения цепочки (от 4 эВ для до 6 эВ для Су), как показано на рис. 3.5. Критическое значение энергии связи для этого типа кластеров достигается при -7 эВ/атом и п к=21. [c.93]

Тогда свободная энергия акустических фононов вычисляется с помощью выражения (10.18), в котором средняя скорость фононов У выражается через йтах с помощью (10.20), и верхний предел интегрирования приравнивается Йтах [c.57]

Все выше приведенные выкладки были проведены без учета фононов. При не очень низких температурах следует учитывать взаимодействие электронов с фононами. Это взаимодействие соответствует испусканию и поглошению фононов (электронами). Если температура заметно ниже дебаевской (температуры, равной энергии фонона Йшо с максимальной частотой шо), то наибольшую роль играют процессы с испусканием и поглошением фононов с энергией Йш Г (см. [87]). При каждом таком элементарном акте электрон рассеивается на малый угол в, равный по порядку величины отношению импульса фонона к импульсу электрона, т.е. в Нк/рр Т/Ьшо 4 1 (средний импульс фонона равен h(o/ s Т/с,,Т/ Пи>х)) Рр). Испускание или поглошение фонона производится всем волновым пакетом электрона, и никакого дополнительного коллапсирования электронной волновой функции при этом не происходит (каждый акт взаимодействия просто изменяет импульс электрона). Сами фононы при этом выглядят как волновые пакеты с широкой областью локализации. Для их описания вполне оправданно приближение плоских волн. [c.259]

Излучение в видимой и ближней ультрафиолетовой областях спектра проникает в металл на глубину всего м. Средняя глубина выхода фотоэлектронов для металлов оказывается еще меньше (l-f-5) 10 м. Потери энергии фотоэлектрона в металле обусловлены прежде всего его столкновениями с электронами проводимости. Чем больше энергия фотоэлектрона (а значит, и энергия фотона), тем больше вероятность электрон-электронного столкновения и больше средняя потеря энергии фотоэлектрона при каждом столкновении. Поэтому наблюдается уменьшение Я с ростом энергии фотона. Например, в барии при повышении энергии фотона от 3 до 5 эВ происходит уменьшение Я с 5 -10 до 2-10 м. Заметную роль в металлах играют также элек-грон-фононные столкновения. [c.170]

В динамике магнитоупорядочепных сред М. в. проявляется как взаимодействие упругих волн (фононов) и с 1иновых волн, приводящее к возникновению магни-тоупрузих волн. Для характеристики влияния М, в. на динамич. процессы вводят коэф. магнитоупругой связи, к-рый представляет собой отношение энергии М. в. в магнитоупругой волне к среднему геометрическому от энергий упругой а спиновой подсистем. Для ферромагн. кристалла [c.18]

Другой механизм поглощения, также имеющий место в большинстве веществ, связан с нелинейным взаимодействием звуковой волны и тепловых колебаний крн-сталлич. решётки, т. е. с взаимодействием звуковых и тепловых фононов. Такое П. з. поэтому часто наз. решёточным или фононным . Оно проявляется на ВЧ в достаточно чистых и бездефектных кристаллах. В зависимости от частоты и соотношения длины волны УЗ и длины свободного пробега тепловых фононов в кристалле (определяемой темп-рой) рассматриваются разл, модели фононного поглощения. На сравнительно низких частотах действует т. н. механизм Ахиезера. Он заключается в том, что звуковая волна, представляющая собой когерентный пучок фононов, нарушает равновесное распределение тепловых фононов, и вызванное ею перераспределение знергпи между фононами приводит к необратимому процессу диссипации энергии. Этот механизм имеет релаксац. характер, причём роль времени релаксации играет время жизни фюпо-на, равное т 1/с 3-к1сус , где I — длина свободного пробега фонона, с — средняя скорость звука. В этом случае коэф. П. з. [c.658]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...