Система в поле консервативных сил

Система в поле консервативных сил [c.74]

Механическая система какова (находится под действием сил, находится в равновесии, находится в состоянии покоя...), расположена где (в поле консервативных сил...), состоит из чего (из материальных точек, из твёрдых тел...). [c.43]

Известно, что работа в поле консервативных сил численно равна разности потенциалов в начальной и конечной точках. Поэтому функции U V, S), / р, S), F (V, Т), Ф (р, Т), разность значений которых в двух состояниях представляет собой согласно выражениям (2.73)—(2.78) максимальную полезную внешнюю работу, производимую системой при обратимом переходе в соответствующих условиях из одного состояния в другое, получили название термодинамических потенциалов. Каждый из термодинамических потенциалов является однозначной функцией состояния системы. [c.131]

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия. [c.570]

Внешняя потенциальная энергия системы. Рассмотрим случай, когда система находится во внешнем стационарном поле консервативных сил. В этом случае каждая частица системы будет характеризоваться своим значением потенциальной энергии Vi в данном поле, а вся система — величиной [c.105]

Представим себе раствор под действием консервативной внешней силы, перемещающей в некотором направлении частицы растворенного вещества. И растворитель, и растворенное вещество оба будут обладать в поле этой силы некоторой потенциальной энергией эту энергию для одного моля растворителя обозначим через Р, а для одного моля растворенного вещества — через Рг. Допустим, для простоты, что Р и Рг зависят только от одной из координат, 2 , и рассмотрим столб раствора, ось которого совпадает с осью 2 , а поперечное сечение равно 1 см . Случай этот во многом походит на предыдущий. Выделим мысленно некоторый слой высоты ( 2. Сохранив за ж и г> их прежний смысл, найдем, что этот слой содержит (1 — молей первого и ж молей второго вещества. Пусть Ф — свободная энергия одного моля смеси (потенциальную энергию мы в Ф не включаем) тогда условием равновесия, в силу необходимости, чтобы свободная энергия всей системы была минимальной, служит уравнение [c.125]

Пусть частица массы т подвергается действию поля консервативных сил с потенциалом V. Будем считать, что потенциал V инвариантен относительно пространственных вращений, так что он зависит только от расстояния г между частицей и силовым центром. Можно также рассматривать две частицы в системе их центра масс, взаимодействие между которыми описывается потенциалом V. Тогда т и г будут означать приведенную массу двух частиц и расстояние между ними. Второй случай сводится к первому в пределе, когда масса одной из частиц стремится к бесконечности и она перестает испытывать отдачу. Гамильтониан системы имеет вид [c.123]

INI = 1, № = О и, следовательно, 1г N = 0. Ортонормированный базис, по отношению к которому тензор N представляется матрицей специального вида (V. 1-7), может изменяться во времени и от места к месту и не обязательно должен быть естественным базисом какой-либо системы координат. Скаляр р, равный в этом специальном базисе — (ЗЗ), не определяется предысторией деформации. В общем случае, если не приложены подходящим образом подобранные массовые силы Ь, напряжения (V. 1-15) не будут удовлетворять первому закону Коши (III. 5-1), выражающему баланс количества движения. Как мы убедились в IV. 8, чтобы определить, совместимо ли некоторое течение однородного несжимаемого тела с произвольным полем консервативных сил, достаточно рассмотреть случай Ь = О, соответствующий тем частным течениям, которые могут быть вызваны приложением одних лишь подходящих поверхностных усилий. [c.216]

Рассмотрим теперь консервативную систему, т. е. систему, в которой все силы потенциальны, а поле стационарно. Для такой системы (см. 4 гл. И) [c.75]

Возвратимся к равенству (II.33). Рассматривая это равенство, приходим к выводу, что оно является обобщенны.м выра-жение.м теоремы об изменении кинетической энергии несвободной системы, охватывающим случаи движения системы в консервативном поле при дополнительном действии сил сопротивления и наличии стационарных и нестационарных геометрических связей. [c.133]

В предыдущих параграфах были рассмотрены малые колебания системы материальных точек при предположении, что система находится под действием сил, образующих консервативное силовое поле и сил сопротивления. Система сил, образую- [c.262]

Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и находящуюся в постоянном консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п степенями свободы определяется п координатами которые фиксируют конфигурацию системы и п соответствующих импульсов Pi. [c.821]

Рис. 41. Объединение однотипных иллюстраций к различным разделам курса 1) колебательное движение одномерной консервативной системы в потенциальной яме 2) этапы построения траекторий и решения уравнений движения в центральном поле сил 3) зависимость одной из постоянных интегрирования от определяющей координаты при применении метода Гамильтона—Якоби. Аналогичные многозначные зависимости можно указать и в других случаях Объяснение. Решение многих задач механики упирается в интегрирование дифференциального уравнения вида

Рассмотрим многослойную оболочку общего вида, закреп- ленную в пространстве, ограниченную произвольным гладким контуром и нагруженную системой внешних консервативных сил. Стационарное температурное поле оболочки будем считать известным. Свяжем с оболочкой систему ортогональных криволинейных координат 1, 2, Z. Оболочку будем считать до- статочно тонкой, чтобы изменение по толщине коэффициентов первой квадратной формы не учитывать.. [c.267]

Рассмотрим общий случай равновесия сжимаемой жидкости в консервативном силовом поле, когда система уравнений равновесия имеет вид (1.7) — (1.9). Так как поле массовых сил консервативно, т. е. [c.99]

При этом отклонение оказывается меньшим, чем в 1-й четверти. Мгновенная, а следовательно, и средняя частоты оказываются большими, чем в соответствующей консервативной системе, причем увеличение частоты во 2-й четверти равно уменьшению частоты в 1-ой. В 3-й и 4-ой четвертях колебаний взаимодействие силы трения и восстанавливающей силы имеет тот же характер, как соответственно в 1 и 2-й четвертях, причем положение равновесия как бы перемещается из л = О в л = Хг. Вследствие этого применение метода Ван дер Поля, осредняющего за целое колебание, не может обнаружить влияния силы трения в диссипативных системах, симметричных относительно начала. [c.238]

Рассмотрим теперь случай, когда внешние силы, действующие на механическую систему, не являются потенциальными (такие системы в 6 отнесены нами к классу IV). В общем случае такие системы не являются консервативными (исключение среди систем указанного класса составляют системы с так называемыми гироскопическими силами типа силы Лоренца, действующей на заряженную частицу со стороны магнитного поля. Для таких систем сохраняется сумма кинетической энергии и энергии взаимодействия частиц, — см. пример 7.2 в 7). Для исследования энергетических превращений в подобных системах используют теорему об изменении кинетической энергии. [c.64]

Таким образом, полная энергия консервативной механической системы, движущейся относительно вышеуказанной неинерциальной системы отсчета, складывается из ее кинетической энергии, потенциальной энергии связанной с наличием внешних и внутренних сил взаимодействия, потенциальной энергии обусловленной равноускоренным поступательным движением системы отсчета К (т. е. потенциальной энергии системы в некотором однородном гравитационном поле) и так называемой центробежной потенциальной энергии (46.24). [c.263]

Большинство окружающих нас в природе и технике нелинейных динамических систем в общем случае неконсервативно. Практически в любой системе имеются потери (трение, излучение, нагрев и т. д.), и обычно система не является энергетически изолированной на нее действуют различные внешние силы и поля, как статические, так и переменные. Какие принципиально новые (по сравнению с консервативными системами) явления возникают в диссипативных системах, в которых колебательная энергия может не только диссипировать из-за потерь, но и пополняться из-за неустойчивостей, связанных с не-равновесностью системы Самое важное и замечательное среди таких явлений — генерация незатухающих колебаний, свойства которых не зависят от того, когда и из какого начального состояния была запущена система, т. е. незатухающих колебаний, устойчивых как по отношению к внешним возмущениям, так и к изменению начальных условий. Системы, обладающие свойством генерировать такие колебания, А. А. Андронов [2] полвека назад назвал автоколебательными, впервые придав им четкое математическое содержание, связав автоколебания с предельными циклами Пуанкаре (см. также [1]). [c.296]

Для консервативной системы, т. е. для системы в потенциальном силовом поле, обобщенная сила равна [c.13]

В заключение следует обратить внимание на особенности принятой терминологии. В первом томе различались силовая функция и потенциальная энергия. Здесь ньютоновским потенциалом называется силовая функция консервативного поля сил тяготения, вызываемых системой материальных точек М с массами Ш , действующих на точку М с массой т, равной единице. [c.484]

Механические системы, для которых выполняется закон- сохранения механической энергии, называются консервативными (консервативными называются в этом случае и потенциальное силовое поле, в котором происходит движение системы, и силы). [c.239]

Характеристическое свойство (11) консервативного силового поля совершенно не зависит от системы отсчета оно остается в силе, как бы мы ни выбрали триэдр, к которому относим силовое поле. Наконец, если напишем уравнение (п) в раскрытой форме [c.322]

Если выполнены вышеуказанные ограничения и система не диссипативна, то обычно предполагается, что функция Гамильтона и полная энергия тождественны. Случаи, отличные от тех, которые касаются чисто консервативных систем, должны, строго говоря, исследоваться отдельно, как и случай движения материальной точки в электромагнитном поле. Такое отождествление весьма важно, так как значение функции Гамильтона заключается в измерении полной энергии, которая при этом может быть вычислена без определения компонент силы, как в ньютоновской схеме. [c.124]

Систему (26.8.6) иногда называют нормальной формой системы с двумя степенями свободы. Эти уравнения описывают плоское движение частицы под действием силы консервативного поля с потенциалом у и гироскопической силы величиной направленной под прямым углом к скорости V. Здесь гироскопическая сила более общего типа, чем в 8.8 и 9.8, поскольку множитель не является постоянным и зависит от gj и 2- Если исходная система является натуральной, то = О и общая задача сводится к задаче [c.540]

Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и наход щуюся в постоянном и консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п степенями свободы определяется п координатами qi, которые фиксируют конфигурацию системы и п соответствующих импульсов Pi. Координаты q могут быть выбраны различными способами, в частном случае это могут быть декартовы координаты х, у, г, цилиндрические или сферические координаты. Во всех случаях всякое изменение qi вызывает изменение Pi. [c.895]

Во многих случаях действия тепловых напряжений (если рассматриваемая система является консервативной) для расчета критических напряжений или критических температур могут быть использованы методы классической теории устойчивости. Расчет критических температур в этом случае сводится к вычислению температурных напряжений и последующему исследованию устойчивости возможных форм равновесия системы под действием сил, вызванных температурным полем. Критические температуры оказываются тем выше, чем меньше соответствующие перепады температур и чем меньше деформированы конструкции. Таким образом, повышение степени термической устойчивости конструкции может быть достигнуто путем применения способов, подобных тем, которые используются для уменьшения опасного воздействия термических напряжений при других видах нарушения прочности. [c.214]

Рассмотрим движение системы материальных точек с голономными, нестационарными связями в консервативном поле сил. Уравнение движения такой системы можно записать в форме Гамильтона [c.60]

При Я > О поведение сепаратрис седла S, попадающих внутрь областей ASM, MSN, NSB, ограниченных сепаратрисами консервативной системы и дугами экватора (эти области не содержат особых точек, лежащих в конечной части плоскости), в силу поворота поля определяется однозначно (см. рис. 87 гл. 6). Поведение уса седла, попадающего в область G, ограниченную сепаратрисами Л и SB консервативной системы и дугой экватора и содержащую внутри себя особую точку, не определяется однозначно и зависит от параметра Я. [c.244]

В отличие, от механики дискретных систем, находящихся в консервативном силовом поле, функция Гамильтона в случае сплошной среды при действии непотенциальных сил не может отождествляться с полной энергией рассмотренной системы. [c.153]

Эта теорема высказана Р. Курантом. Ее доказательство, данное в работе [70], существенно использует консервативность системы (1.3). Однако, по-видимому, теорема 1 справедлива и в случае непотенциального поля сил Р. [c.35]

Критерий Лагранжа— Дирихле является достаточным (но не необходимым) условием устойчивостн состояния покоя системы в поле консервативных сил. [c.336]

Величину, стоящую слева в скобках, называют полной механи-ческойэнергией Е системы во внешнем стационарном поле консервативных сил [c.111]

Потенциальные силы, для которых справедлив закон сохранения энергии, называются иначе консервативными ) сплами, все остальные — неконсервативными. Входящие в число неконсервативных сил силы вредных сопротивлений, при наличии которых энергия системы рассеивается или диссипируется, называют диссипативными силами. С точки зрения механики диссипация механической энергии есть потеря энергии, уход ее из поля механического использования. В действительности энергия, конечно, не исчезает, а превращается в другие виды (тепловую, электрическую и др.). [c.236]

Таким образом потенциал в точке Р можно определить как работу, выполненную силой поля, когда ее точка приложения перемещается из постоянного начального положения Рд в положение Р, по какому бы пути это перемещение ни происходило. Благодаря этому становится физически ясным, что потенциал не зависит от системы отсчета, хотя формальное его определение и было поставлено в связь с компонентами силы по осям координат мы это узке указывали при определении консервативных сил (VII, рубр. 26). [c.335]

Из работ по применению метода функций Ляпунова, быть может, наиболее близки к классической проблематике механики исследования по динамике твердого тела с неподвижной точкой. В этой проблеме в качестве функции Ляпунова можно использовать соответствующим образом преобразованное выражение для полной энергии тела (или системы тел), если поле действующих сил консервативно. Именно таким образом Б. В. Булгаков прйменил второй метод Ляпунова при исследовании устойчивости движения оси фигуры гироскопа вокруг оси его момента движения, пренебрегая массой карда- 135 нова подвеса. [c.135]

ЦИХ консервативное силовое поле в этих случаях, называется системой восстанавливающих сил. Частным случаем восстанавливающих сил являются силы упругости, в 191 первого тома были рассмотрены примеры колебательного движения материальной точки, находящейся под действием упругой или ква-зиупругой силы. Содержание 89—91 является дальнейшим развитием теории, рассмотренной в динамике точки. [c.263]

В качестве такой системы естественно принять материальную точку, движение которой происходит в плоскости ху под действием сил консервативного поля, причем хну — обычные декартовы координаты. Можно, разумеется, принять и более сложную систему, для которой х и. у будут лагран-жевыми координатами. [c.542]

Завершающий 6.5 главы посвящен управляемому движению гиперона и аналитическому интегрированию гиперреактивных уравнений в центральном гравитационном поле. Показывается, что управляемое ускорение силы тяги может быть выбрано оптимальным по энергетическим затратам, причем гамильтонов функционал качества на оптимальной траектории принимает постоянное значение, обеспечивая тем самым консервативность системы и выполнение закона сохранения энергии. Решение задачи в этом случае доводится до общего интегрирования в квадратурах по методу Гамильтона-Якоби. [c.175]

Рассматриваемая нами система называется консервативной, если силы взаимодействия между частицами и силы внешнего поля имеют потенциал, не зависящий явно от времени U = U(q). В этом случае U представляет потенциальную энергию системы и согласно (1.10) Н р, д) — полную энергию, причем dHldt=0. Следовательно, [c.12]

Практически всякие колебания и волны модулированы. Модуляция по определению есть медленное изменение параметров несущей — амплитуды, фазы, частоты и даже формы колебаний или волн. Она может быть связана с воздействием внешних сил или полей (вынужденная модуляция), а может возникать самопроизвольно в результате развития разного рода неустойчивостей (самомодуляция или автомодуляция). Мы уже знаем примеры и вынужденной модуляции, и са-момодуляции. Изменение длины волны и амплитуды квазигармоничес-кой волны в плавно неоднородной среде — вынужденная модуляция, определяемая законом модуляции параметров среды в пространстве. Возникновение вне полосы синхронизации биений и автогенераторе, на который подается периодический сигнал, — пример модуляции, обязанной своим происхождением взаимодействию немодулированных колебаний. Иа плоскости медленных амплитуд такой модуляции соответствует, как мы видели, устойчивый предельный цикл. Модуляция, очевидно, возникает н результате взаимодействия осцилляторов и в консервативных системах и средах (см. гл. 17). Например, при выполнении условий резонанса 2шо = и>1+Ш2 этот процесс естественно назвать взаимной модуляцией если же 0,1,2 и Л о(О) -/VI,2(0), то такой процесс распада пар квазичастиц на сателлиты и 2 — это самомодуляция. [c.410]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...