Кинетическое уравнение для матрицы плотности

Теперь мы можем вывести кинетическое уравнение для матрицы плотности (4.2.63), применяя к уравнению (4.2.71) теорию возмущений по концентрации примесей rii = = Ni/V. Сначала усредним это уравнение по конфигурациям примесных атомов R . Так как функция ( R ) симметрична по координатам примесей, то [c.278]

Исходя из операторного уравнения (7.3.32), вывести основное кинетическое уравнение для матрицы плотности (7.3.33) в представлении чисел заполнения. Убедиться, что диагональные элементы Qnn t) = w t) удовлетворяют уравнению (7.3.36). [c.156]

Интересным приложением неравновесной статистической механики является теория открытых систем, которая активно развивается в последние десятилетия (см., например, [78, 136]). Наиболее впечатляющим свойством открытых систем является самоорганизация , т. е. возникновение упорядоченных макроскопических структур. В главе 7 было выведено основное кинетическое уравнение для матрицы плотности открытой системы, взаимодействующей с термостатом. Однако, как правило, реальные открытые системы взаимодействует с окружением, которое само находится в неравновесном состоянии. Поэтому актуальной задачей является разработка метода построения статистических ансамблей, представляющих состояние открытой системы, взаимодействующей с другими неравновесными системами. [c.281]

Резюме. В этом разделе мы вывели основное кинетическое уравнение для матрицы плотности рп резонаторного поля, управляемого пучком резонансных двухуровневых атомов, которые описываются матрицей плотности рат- Были использованы два метода [c.579]

Кинетическое уравнение для матрицы плотности. Пусть в замкнутой системе можно выделить две части, так что ее оператор Гамильтона имеет вид [c.75]

В заключении напомним, что кинетическое уравнение (4.2.99) было выведено в первом приближении по параметру где Гд — радиус взаимодействия между электроном и примесным атомом. Решая шаг за шагом цепочку уравнений для матриц плотности (Ri,R2,. .., R ), можно последовательно учесть процессы столкновения электрона с группой из двух, трех и т. д. примесных атомов. Как и в классической кинетической теории, некоторые последовательности коррелированных столкновений могут дать расходящийся вклад. Поэтому для правильного описания эффектов затухания на средней длине свободного пробега необходимо выполнить частичное суммирование групповых разложений. Мы не будем, однако, обсуждать эту специальную проблему. [c.282]

Обратная картина реализуется в случае лазеров на газах низкого давления, например Не—Ые-лазере. В этом случае обратная ширина полосы люминесценции отдельного атома близка к времени жизни фотонов в резонаторе. При этом следует использовать полную систему уравнений для матрицы плотности. Однако большинство таких лазеров работает в стационарных режимах генерации, когда автоматически выполняется условие слежения поляризации активной среды за полем. Переходные же режимы в таких лазерах кратковременны и не представляют интереса. Использование кинетических уравнений для стационарного режима в такого рода лазерах оправдано, если не интересоваться тонкими эффектами взаимодействия мод, вышедших в генерацию. Поэтому в дальнейшем остановимся на динамических процессах, протекающих лишь в твердотельных лазерах, поскольку, с одной стороны, эти процессы определяют основные характеристики такого рода лазеров, а с другой стороны, именно нестационарные режимы генерации этих лазеров позволяют получать рекордные по мощности и длительности оптические импульсы. [c.150]

Точное основное кинетическое уравнение. Прежде чем начать более детальное обсуждение свойств основного кинетического уравнения (18.23), просуммируем ряд теории возмущений в выражении (18.9) и получим точное уравнение для матрицы плотности поля. Есть два подхода можно вычислить все коммутаторы, входящие в (18.9), либо использовать оператор эволюции (15.11) модели Джейнса-Каммингса-Пауля. В данном разделе последуем второму методу. [c.575]

Подставляя формулу (6.16) в первое уравнение системы (6.15), приходим к кинетическому уравнению для диагональных элементов матрицы плотности туннельной системы + фононы [c.73]

В ЭТОЙ главе мы применим метод неравновесного статистического оператора к кинетическим процессам в квантовых системах. Обычно процессы такого рода описываются кинетическим уравнением для одночастичной матрицы плотности = a],ai)K [c.248]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности. Рассмотрим теперь важный частный случай обобщенного кинетического уравнения, а именно, — кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности ферми- или бозе-системы. По возможности мы будем строить общий подход, одинаково пригодный для обоих типов квантовой статистики. [c.253]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности g lj t) = можно вывести по схеме, описанной в предыдущих разделах. Нужно лишь помнить, что в данном случае операторы Рц/ = играют роль базисных динамических переменных Рт и поэтому во всех общих формулах под индексами ш, п,... [c.254]

Как видно из (4.2.13), если мы хотим получить замкнутое кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности, мы должны выразить двухчастичную матрицу плотности через g t). Уравнение движения (4.2.14) для g t) содержит трехчастичную матрицу плотности, которую надо найти из следующего уравнения цепочки, и т. д. Как и в классической теории, цепочку уравнений для приведенных матриц плотности нужно где-то оборвать или решать с помощью частичного суммирования. В следующих разделах мы приведем примеры, в которых квантовая цепочка может быть оборвана на основе метода групповых разложений. [c.268]

Как мы видим, двухчастичная матрица плотности (4.2.25) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое после подстановки в (4.2.13) приводит к члену, связанному с самосогласованным полем. Очевидно, что для разреженного газа этим членом можно пренебречь. Второе слагаемое в (4.2.25) определяет интеграл столкновений. Таким образом, мы приходим к кинетическому уравнению для одночастичной матрицы плотности [c.270]

Перейдем теперь к выводу кинетического уравнения для электронно-примесной системы. Прежде всего нам нужно ввести одночастичную матрицу плотности. [c.276]

Теперь не составляет труда получить замкнутое кинетическое уравнение для усредненной матрицы плотности g t) в линейном приближении по концентрации примесей. Сначала, используя соотношение [c.279]

Линейные кинетические уравнения. Мы начнем с кинетического описания процессов переноса в квантовых системах ). Пас будет интересовать линейное кинетическое уравнение для неравновесной поправки к одночастичной матрице плотности [c.386]

Чтоб пояснить суть подхода, который будет развит дальше, допустим, что мы хотим вывести кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности [c.41]

Электронно-примесная система. В предыдущем разделе оператор V определялся как проектор, выделяющий диагональную часть неравновесной матрицы плотности. Однако во многих задачах встречаются другие интерпретации оператора V. В качестве примера рассмотрим вывод основного кинетического уравнения для электронов, взаимодействующих с атомами примеси ). [c.110]

Сравнивая это уравнение с уравнением (7.2.49) для статистического оператора, замечаем, что они имеют совершенно одинаковую структуру, хотя операторы Лиувилля в них имеют разный смысл. Поэтому можно сразу же записать основное кинетическое уравнение для усредненной одночастичной матрицы плотности, которое аналогично уравнению (7.2.53) для статистического оператора, усредненного по конфигурациям примесей [c.113]

Непосредственно решить основное кинетическое уравнение чрезвычайно трудно. Суш,ествует, тем не менее, много методов получения решения. Идея состоит в том, чтобы преобразовать уравнение (18.15) в с-числовое уравнение, используя специальные представления для матрицы плотности, такие как функции распределения в фазовом пространстве или представление чисел заполнения для фотонов. Это и будет темой следуюш,его раздела. [c.570]

Уравнение движения для матрицы плотности, которое учитывает как резонансное взаимодействие с потоком двухуровневых атомов, так и затухание резонаторного поля, получается, если дополнить основное кинетическое уравнение (18.27) правой частью уравнения затухания (18.23). [c.580]

В этой же главе предложены кинетические уравнения для амплитуд, а не для их квадратов — аналога матрицы плотности. Кинетическое уравнение для амплитуд сохраняет гораздо больше информации о волновых функциях, чем аналогичные уравнения для функции распределения или матрицы плотности. [c.137]

Итак, для описания поведения тяжелой частицы оказывается удобным несколько видоизменить метод матрицы плотности. А именно, здесь вводится матрица плотности для огибающих волновых пакетов. Чтобы не смешивать ее с обычной матрицей плотности, она называется матрицей распределения. Уравнение для матрицы распределения (185) в случае плавного распределения ее диагональных элементов естественно распадается на два независимых уравнения. Диагональная ее часть соответствует функции распределения, удовлетворяющей кинетическому уравнению, а недиагональная часть соответствует форм-фактору /(R — R ) волновых пакетов. Гипотеза о квантовом молекулярном хаосе приводит к уравнению (200), описывающему эволюцию волнового пакета. Согласно этому уравнению последующие коллапсы приводят к большей локализации пакета, а сам пакет имеет гауссово распределение в пространстве. [c.211]

Связь между кинетич. коэфф. и хар-ками столкновений ч-ц и квазичастиц устанавливается на основе ур-ний кинетического уравнения Больцмана, в сложных случаях — квантового кинетич. ур-ния, ур-ния для матрицы плотности, с привлечением метода функций Грина и т. п.). [c.633]

Диагональное квазиравновесное распределение для квантовых систем. В теории неравновесных квантовых систем обобщенные кинетические уравнения часто строятся для диагональных элементов Д/ -частичной матрицы плотности. Эти диагональные элементы можно интерпретировать как неравновесные вероятности для квантовых состояний системы. Ясно, что в таких случаях мы имеем дело с сокращенным описанием неравновесного состояния и вероятности играют роль наблюдаемых. [c.100]

В случае слабого возмущения ХН можно ожидать, что диагональные элементы матрицы плотности (2.5.29) будут медленно меняться со временем по сравнению с недиагональными элементами, поэтому вклад последних в средние значения динамических переменных будет мал на достаточно грубой шкале времени. Па основании этих соображений естественно выбрать диагональные элементы матрицы плотности в качестве наблюдаемых и вывести для них обобщенное кинетическое уравнение, которое и будет описывать неравновесный процесс в системе. [c.139]

При вычислении интеграла столкновений в кинетическом уравнении (4.1.19) мы должны, вообще говоря, учесть, что эволюция операторов определяется гамильтонианом который включает взаимодействие частиц с внешним полем. Если внешнее поле не является настолько сильным, чтобы существенно влиять на процессы столкновений, то можно считать, что эволюция операторов определяется гамильтонианом свободных частиц Я в отсутствие поля. В этом приближении влияние поля учитывается только в левой части уравнения (4.1.19) через матрицу П. Итак, кинетическое уравнение (4.1.19) для одночастичной матрицы плотности в марковской форме (4.1.23) можно записать в виде [c.255]

Как уже отмечалось, квантовые кинетические уравнения можно вывести из цепочки уравнений для 5-частичных матриц плотности, которые аналогичны 5-частичным функциям распределения в классических системах. Здесь мы займемся построением этой цепочки уравнений, исходя из квантового уравнения Лиувилля для неравновесного статистического оператора. Мы также приведем примеры, иллюстрирующие возможности метода группового разложения в квантовой кинетической теории. [c.266]

Покажем теперь, как записать интеграл столкновений в кинетическом уравнении (4.2.83), используя решение задачи о рассеянии электрона на примесном атоме. Для простоты мы предположим, что в макроскопическом смысле система пространственно однородна. Тогда усредненная матрица плотности t) является диагональной и, кроме того, exp iTL поскольку оператор коммутирует с диагональными матрицами. Запишем уравнение (4.2.83) для диагональных элементов одночастичной матрицы плотности, которые имеют смысл средних чисел заполнения электронных состояний [c.280]

Предположим, что суммирование по 5 в (4.3.30) ведется в пределах 1 < 5 < ш. Тогда в квазиравновесном состоянии приведенные матрицы плотности при s <т рассматриваются как независимые неравновесные величины, а матрицы плотности более высокого порядка выражаются через них. Частный случай ш = 1 соответствует граничному условию Боголюбова, согласно которому все приведенные матрицы плотности в отдаленном прошлом выражаются через одночастичную. Если в формуле (4.3.30) мы положим 5 = О при 5 > 3, то получим статистический оператор для квазиравновесного ансамбля, в котором заданными величинами являются одночастичная и двухчастичная матрицы плотности. Этот ансамбль описывает важные долгоживущие корреляции, например, связанные двухчастичные состояния ). Эволюция системы описывается системой уравнений для одночастичной и двухчастичной матриц плотности. Здесь мы не будем излагать эту довольно сложную теорию, а рассмотрим один частный, но важный пример обобщенного квазиравновесного статистического оператора, который соответствует объединению кинетического и гидродинамического описаний квантовых процессов [128]. [c.289]

Кинетическое уравнение (4.3.53) не является замкнутым уравнением для одночастичной функции распределения. Дело в том, что квазиравновесная матрица плотности зависит от параметра /5(г, ), который, в свою очередь, зависит от средней плотности энергии. Таким образом, в самосогласованном подходе кинетическое уравнение следует рассматривать совместно с уравнением баланса для Н г)У. [c.295]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Переходя к кинетической теории плотных квантовых систем с сильным взаимодействием между частицами, мы должны иметь в виду, что динамику многочастичных корреляций и эволюцию одночастичной матрицы плотности теперь приходится описывать, по существу, на одной и той же шкале времени ). Если в начальном состоянии отсутствуют корреляции между частицами, то для восстановления всех долгоживущих корреляций требуется значительное время. Иначе говоря, квантовая кинетическая теория, основанная на граничном условии, которое вводится с помощью квазиравно-весного статистического оператора (4.1.32), будет существенно немарковскощ т. е. в кинетическом уравнении для одночастичной матрицы плотности важную роль будут играть эффекты памяти. Решать немарковские кинетические уравнения очень сложно. В большинстве задач эффекты памяти удается учесть только в первом приближении, т. е., фактически, для слабо неидеальных систем ). Поэтому кажется разумным попытаться сохранить марковский вид уравнений эволюции, расширив набор базисных динамических переменных. В контексте классической кинетической теории эта идея уже обсуждалась в разделе 3.3.4. Теперь мы хотим распространить ее на квантовые системы. [c.288]

Уравнения (6.3.40) и (6.3.42) для временных корреляционных функций известны как уравнения Каданова-Бейма. Чуть нозже мы увидим, что они играют важную роль нри выводе кинетического уравнения для одночастичной матрицы плотности. [c.49]

Посмотрим, что получится, если проинтегрировать обе части уравнения (6.3.63) для <(г,р , ) по Е. Согласно соотношению (6.3.65), в результате интегрирования первых двух членов д заменится на функцию Вигнера / . К сожалению, в правой части останутся функции д и, так как элементы массового оператора Е зависят от Е. Таким образом, чтобы получить из (6.3.63) замкнутое кинетическое уравнение для функции Вигнера, нужно выразить временные корреляционные функции д через или, что то же самое, через одночастичную матрицу плотности. Эта проблема весьма сложна и может быть решена только приближенно. В данном разделе мы покажем, как она решается в так называемом квазичастичном приближении. [c.52]

Для получения замкнутого кинетического уравнения для одночастичной матрицы ПЛОТНОСТИ достаточно определить корреля-циоппую матрицу g как функционал одночастичных матриц. Правая часть уравнения (52.9) представляет, как мы увидим, квантовый интеграл столкновений. Однако прежде чем переходить к решению задачи об отыскании интеграла столкновений, заметим, что, имея в виду малость корреляционной матрицы, линейной по параметру малости потенциала взаимодействия двух частиц, в первом приближении можно препебречь правой частью уравнения [c.214]

Для статистического описания такого квантового объекта естественно ввести матрицу плотности для ансамбля одинаковых систем, т.е. фактически атомов со сходным поведением. При этом диагональные члены одночастичной матрицы плотности, т.е. j/j r ) , играют роль функции распределения, а эффект "стирания" недиагональных членов соответствует процессу "пакетизации". При таком подходе все атомы ведут себя однотипным образом, а любая "мгновенная" волновая функция I) многих атомов может рассматриваться как случайный набор волновых пакетов, вероятностные характеристики которых описываются кинетическим уравнением для функции распределения и дополнительным уравнением для формы и размеров волновых пакетов. [c.183]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэф. производятся с помощью кинетического уравнения Больцмана. Это ур-ние представляет собой интегродифференц. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения (в квантовом случае — для одночастичной матрицы плотности, или статистич. оператора). Оно содержит члены двух типов. Одни описывают изменение ф-ции распределения при движении частиц во внеш. полях, другие — при столкновениях частиц. Именно столкновения приводят к возрастанию энтропии неравновесной системы, т, е. к релаксации. Замкнутое, т. е. не содержащее др. величин кинетич. ур-ние, невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетич. ур-ние, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от эфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, ур-ние можно решать, разлагая искомую ф-цию по ортогональным полиномам. Таким способом можно вычислить кинетич. коэф. газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Кинетич. ур-ние учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.672]

Остается подставить выражения (4.2.43), (4.2.45) в формулу (4.2.39) и найти матричные элементы A E t). В пространственно однородном случае требуется найти только диагональные элементы A p p2,PiP2]E,t) = piP2 A E,t) piP2). В самом деле, если вернуться к кинетическому уравнению (4.2.27), записанному для одночастичной матрицы плотности (4.2.41), то легко заметить, что это уравнение содержит только диагональные элементы матричного интеграла столкновений J Pi,t) = J Pi,Pi -,t). Таким образом, из (4.2.38) следует, что [c.273]

Неравновесные корреляции, связанные с сохранением энергии. Мы уже говорили в разделах 3.3.4 и 4.3.3, что закон сохранения энергии в кинетической теории требует особого внимания, поскольку, с одной стороны, энергия является интегралом движения и поэтому должна быть включена в набор базисных динамических переменных, но, с другой стороны, среднее значение энергии зависит как от одночастичной, так и от двухчастичной функции распределения. Иначе говоря, баланс энергии определяется не только эволюцией одночастичной функции распределения, но и динамикой корреляций. Напомним, что учет корреляций, связанных с сохранением энергии, является, по существу, основной идеей кинетической теории Энскога для плотных и сильно взаимодействующих систем. На первый взгляд кажется, что для слабо неидеальных газов учет неравновесных корреляций не столь важен, во всяком случае, — в борновском приближении для интеграла столкновений. В марковском режиме эта точка зрения подтверждается нашим анализом, проведенным в разделе 4.3.4. Действительно, мы видели, что интеграл столкновений (4.3.58) совпадает с интегралом столкновений Улинга-Уленбека, если пренебречь вкладом корреляций в двухчастичную матрицу плотности. Как выяснится позже, в немарковском режиме ситуация меняется и корреляции, связанные с законом сохранения энергии, дают вклад в интеграл столкновений уже в борновском приближении. Более того, мы покажем, что именно учет корреляций обеспечивает существование равновесного решения немарковского кинетического уравнения ). [c.314]

Связь между функциями Грина и одночастичной матрицей плотности. Уже отмечалось, что при выводе кинетического уравнения методом функций Грина требуется найти выражения для временных корреляционных функций через функцию Вигнера / . В предыдущем разделе эта проблема была решена в простейшем квазичастичном приближении. Результатом являются соотношения (6.3.79) и (6.3.80). Исключая функцию Вигнера с помощью формулы (6.3.64), легко также записать корреляционные функции через одночастичную матрицу плотности. [c.56]

В предыдущем разделе мы встретились с новыми величинами — квазиравновес-ными временными гриновскими функциями G . Эти функции входят, например, в граничное условие (6.3.108) и в выражение (6.3.110) для одночастичной матрицы плотности. Мы рассмотрим теперь задачу, в которой функции используются для вывода квантовых кинетических уравнений. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...