Решение уравнений с периодическими коэффициентами

Пусть 2(<) — произвольное решение уравнения с периодическими коэффициентами [c.239]

Для удобства дальнейшего изложения будем считать решения уравнения с периодическими коэффициентами комплексными функциями времени, выделяя действительную часть этих решений в случае необходимости перехода к реальным приложениям. Заметим, что (1е1 А ф О, так как матрица А осуществляет переход от одних линейно независимых функций к другим. Поэтому р Ф 0. [c.239]

Далее излагаются элементы теории дифференциальных уравнений и уравнений в конечных разностях в объеме, необходимом для того, чтобы в дальнейшем не отсылать читателя к многочисленным источникам, сообщающим эти сведения в различном духе и с использованием различных обозначений. Здесь основное внимание уделяется вопросам решения уравнений с периодическими коэффициентами и уравнений в конечных разностях (глава 2). [c.8]

Решение уравнений с периодическими коэффициентами [c.188]

Лемма 3.10.2. Если x t) — произвольное решение рассматриваемого уравнения с периодическими коэффициентами, то функция у — x t + г), где т — период функций a t), b(t), есть решение того же уравнения. [c.238]

Для решения уравнений с периодически изменяющимися коэффициентами воспользуемся принципом возможных перемещений. Рассмотрим вначале более простой случай колебаний стержня, нагруженного только осевой силой [уравнение (7.218)], без учета [c.219]

Метод Рэлея для систем уравнений с периодическими коэффициентами. Если приближенное решение уравнения (7.218) ищется в виде [c.227]

Из сказанного выше следует, что в общем случае получится система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Методы численного решения и анализа таких уравнений в общих чертах известны [91 ], однако в настоящее время в связи с большими математическими трудностями эти уравнения почти не применяются для решения конкретных задач, хотя отдельные такие работы уже появились [163]. [c.52]

Движение механизма с упругими связями описывается уравнениями с периодическими коэффициентами. Приближенное решение позволяет построить частотные характеристики и найти положение динамического равновесия механизма. Разность положений статического и динамического равновесия характеризует динамическую ошибку. [c.8]

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. В введении было показано, что ряд задач динамики механизмов с упругими связями приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Теория этих уравнений значительно более сложна, чем в случае постоянных коэффициентов. Естественно, что, излагая элементы этой теории, мы по-прежнему ограничимся рассмотрением уравнений второго порядка. Начнем с отыскания обш,его решения однородного уравнения вида [c.48]

Из этих равенств следует, что частные решения однородного уравнения с периодическими коэффициентами имеют вид [c.50]

Найдем, пользуясь приведенной выше теорией уравнений с периодическими коэффициентами, общий функциональный характер решения уравнения Матье. Пусть известны два частных, линейно независимых решения У и г/2 уравнения (2.24), причем они образуют фундаментальную систему, удовлетворяющую начальным условиям [c.52]

Используя то обстоятельство, что для линейных уравнений с периодическими коэффициентами действует принцип наложения, можно найти общее решение уравнения [c.65]

Анализ этого решения указывает на то, что в системах, движение которых удовлетворяет линейным уравнениям с периодическими коэффициентами, возможно неограниченное возрастание амплитуды даже при наличии диссипативных сил. [c.199]

С т е н а н о в В. В., О решениях линейного уравнения с периодическими коэффициентами при наличии периодической возмущающей силы. Прикладная математика и механика, т. XIV, N9 3, 1950. [c.386]

Значительно сложнее случай параметрического возбуждения. При этом (1) является системой линейных ди(])ференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Достаточно подробная теория существует в настоящее время лишь для случая, когда коэффициенты изменяются гармонически. Даже в этом случае решения таких уравнений как правило являются непериодическими. Влияние параметрического возбуждения на спектр вибраций описать теоретически пока невозможно. Скорее всего, следует ожидать появления в спектре дополнительных гармоник, лежащих в областях параметрического резонанса колебательной системы [9]. [c.48]

Следовательно, пассивные линейные параметры РЦН гзз, М23 также являются периодическими функциями угла поворота лопасти рабочего колеса, а уравнение (5.35) — это дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, решение которых связано со значительной трудностью. [c.78]

Смысл последних теорем легко установить из рассмотрения соотношений (41). Построение характеристического уравнения (42) представляет трудную задачу. Если для уравнений типа (36) с постоянными коэффициентами для составления характеристического уравнения Д (X) = О не нужно знать частные решения, то для уравнений с периодическими коэффициентами это необходимо. Поэтому при построении характеристического уравнения Д (р) = О используют те или иные методы приближенного нахождения решений соответствующих дифференциальных уравнений. [c.40]

Прежде всего для составления этих функций необходимо найти функции г (О, образующие k независимых периодических решений системы (49), сопряженной с системой в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, необходимо знать общее решение системы в вариациях, т. е. системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами . Но общих методов решения таких систем не существует. Поэтому для доведения решения задачи до конца желательно вводить малый параметр так, чтобы было известно не только периодическое, но и общее решение порождающей системы. В этом случае систему из п независимых частных решений уравнений в вариациях легко найти согласно теореме Пуанкаре путем дифференцирования по параметрам. Достаточным является и знание решения порождающей системы, зависящего ог п—1 параметров, так как при наличии (я—1)-го независимого частного решения системы с периодическими коэффициентами еще одно решение можно определить с помощью квадратур. [c.56]

Функция Грина задачи о периодических решениях. Рассмотрим линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и периодическим возмущением [c.114]

Относительно обобщенных координат (/) получаем совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, области неустойчивости для которых строятся известными методами [3]. Область неустойчивости решения урав- [c.483]

Для случая полета вперед (ц > 0) в уравнениях движения появляются периодические коэффициенты вследствие вращения лопасти относительно вектора скорости вертолета эта периодичность радикально влияет на корневой годограф и требует совершенно иных методов анализа. Корневой годограф стационарной системы может начинаться в комплексных сопряженных точках, пересекаться с действительной осью и далее иметь две ветви на действительной оси, расходящиеся в противоположных направлениях. При наличии периодических коэффициентов такое поведение обобщается в том смысле, что расхождение корней может произойти не обязательно на действительной оси, а при любой частоте, кратной (1/2)Q. Такое свойство решений объясняется тем, что собственные векторы системы не постоянные, как для стационарного случая, а периодические. В гл. 8 рассматривались собственные значения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и был приведен способ их вычисления. [c.558]

Таким образом, краевая задача (8)-(10) сведена к решению счетной системы задач Коши (12), (13) для линейных уравнений с периодическими коэффициентами, частота изменения которых равна 2П. Отметим, что влияние внешнего электрического поля определяется квадратом напряжения [/ = 1/ соз Ш. Если 1/о = = О, то = О и уравнения интегрируются в явном виде. Получающееся решение описывает свободные осесимметричные колебания круглой мембраны. При По ф О, О искомое решение Уn t) п = 1, 2,..., выписывается при помощи функций Матье [6]. Случай 1) = О (постоянное напряжение) также представляет интерес (см. ниже). [c.49]

Отметим, наконец, что уравнения в вариациях для периодических решений широкого класса нелинейных систем также представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, которые часто могут быть истолкованы как уравнения параметрических колебаний. Такая связь между проблемой устойчивости и проблемой параметрических колебаний, естественно, не является случайной наличие неустойчивости движения нелинейной (не обязательно параметрической ) [c.97]

Естественно, что существенное значение имеет вопрос о реальном нахождении функций Эти функции, как оказывается, могут быть построены, если известно необходимое число независимых решений некоторой системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (см. 4). Указанные решения в свою очередь могут быть найдены для ряда классов нелинейных систем (2Л), в частности, для систем квазилинейных. [c.160]

В соответствии с теорией А. М. Ляпунова решение вопроса об устойчивости зависит от характера решений системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами [c.160]

Области устойчивости. Уравнение Матье (17.3) является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Поэтому можно использовать теорему Флоке и записать обш,ее решение уравнения (17.3) в виде [c.528]

Колебания, описываемые уравнением (9.13) с периодическим коэффициентом, не только не синусоидальны, но, вообще говоря, и не периодичны, а для их описания необходимы численные методы. Тем не менее оказалось возможным построить теорию уравнений с периодическими коэффициентами, которая указывает общий вид описываемых колебаний, условия их устойчивости (ограниченности) и способ их аналитического расчета при любом значении продольной координаты S, если тем или иным способом найдены два частных решения в пределах одного периода. Эта теория, созданная локе, излагается ниже применительно к интересующим нас уравнениям второго порядка (9.13), (9.14). [c.192]

Аналитическое решение этой задачи классическим Путем требует исследования уравнений в отклонениях от периодического режима, но этот путь очень сложен, потому что приходится иметь дело с уравнениями с периодическими коэффициентами. Метод гармонического баланса, как мы увидим далее, позволяет рассмотреть эту задачу (по крайней мере, в принципе) более простым по идее и наглядным путем. [c.236]

Найденные решения обладают, как показал Новиков, замечательными свойствами например, в периодической задаче они задают функции и (ж), для которых линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами —X" - - м (х) X = = кХ имеет конечное число зон параметрического резонанса (см. 25) на оси Я. [c.468]

Таким образом, в рассмотренных двух случаях задача об устойчивости периодического невозмущенного движения решается полностью рассмотрением только уравнений первого приближения, т. е. системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. А задача об устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами, как было указано выше, приводится к определению характеристических показателей, которые всегда могут быть вычислены, по крайней мере приближенно, с помощью рядов Ляпунова. [c.112]

Как мы видели в предыдущих разделах, задача об устойчивости периодического движения, приводящаяся к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, может быть разрешена при помощи построения соответствующей функции Ляпунова или вычислением характеристических показателей, являющихся корнями характеристичного уравнения. [c.116]

Эта конструкция тесно связана с решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Сначала напомним, что зависящая от времени система обыкновенных дифференциальных уравнений задается семейством векторных полей и, таким образом, определяет семейство законов движения /р за время от момента Ь до [c.26]

Мы здесь будем заниматься механизмами неустойчивостей и исследованием устойчивости движения в малом , т.е. в рамках уравнений, полученных из исходных с помощью разложения в ряд вблизи интересующего нас решения всех нелинейных зависимостей и оставления лишь линейных членов (уже обсуждавшаяся процедура линеаризации). Наиболее важным является исследование устойчивости, во-первых, статического положения системы, т. е. состояния равновесия линеаризованной системы с постоянными коэффициентами, во-вторых, периодических движений системы, малые отклонения от которых описываются линеаризованными уравнениями с периодическими коэффициентами. Относительно же устойчивости линейных систем (а не их решений) дадим пока лишь не вполне строгое определение динамическая система, описываемая коэффициентом передачи Ж р) р = ш) и находящаяся под внешним воздействием V, называется устойчивой, если малое изменение внешнего воздействия приводит к малому изме- [c.129]

Тем самым матрица монодромии задает линейный оператор моно-дромии в пространстве решений уравнения с периодическими коэффициентами. Для конкретной матрицы А роль базисных векторов играют функции Х2 1). [c.239]

НОЙ. Если используются средние значения коэффициентов во вращающейся системе координат, то скорость полета вперед сказывается только в увеличении Mq и те на величину порядка Таким образом, для правильного описания динамических характеристик махового движения необходимо усреднение коэффициентов в невращающейся системе координат. Аппроксимация с постоянными коэффициентами лучше всего описывает низкочастотные колебания несущих винтов с большим числом лопастей (разд. 12.1.1.2). Поскольку собственная частота установочных колебаний относительно высока, можно ожидать, что для изгибно-крутильного флаттера точное решение уравнений с периодическими коэффициентами будет требоваться чаще, чем для рассмотрения только махового движения. [c.594]

Пусть Xi(t), X2 t) — два линейно независимых решения изучак -мого уравнения с периодическими коэффициентами. Любое решение того же уравнения выражается как их линейная комбинация. В частности, [c.238]

Таким образом, для фактического построения рядов (42) необходимо найти пери-одическге решения систем неоднородных линейных уравнений с периодическими коэффициентами, однородная часть ) оторых совпадает с уравнениями в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, требуется знание общего решения указанных уравнений в вариациях. Однако, поскольку в данном случае нас интересует не вычисление основных частей искомого решения, которые определяются порождающим приближением, а поправочных членов, то можно воспользоваться каким-нибудь известным приближенным методом нахождения периодических решений, не требующим интегрирования однородной системы (46). [c.57]

При 00 = О равенство (2.5) представляет собой асимптотику автомодельного решения при (р со и соответствует асимптотике, найденной в [5]. При действительных и отличных от нуля значениях оо выражение (2.5) можно рассматривать как суперпозицию двух периодических по переменной волн с волновыми векторами (2.3) и (2.4). Применим для определения направления распространения волны то же правило, что и для решений уравнений с постоянными коэффициентами (см., например, [7]), а именно будем считать, что направление распространения волны зависит от знака 1ш к при значениях оо с достаточно большими 1то . Тогда можно заключить, что первый член правой части (2.5) соответствует волне, распространяющейся при увеличении в отрицательном направлении (р а второй — волне, распространяющейся в положительном направлении (р. [c.623]

Предлагаемая вниманию читателей монография известного американского специалиста по вертолетам представляет собой наиболее полное на сегодняшний день изложение теории вертолета, включающее целую иерархию математических моделей аэродинамики, динамики, аэроупругости, управляемости и устойчивости движения вертолета. При изложении аэродинамики несущего винта много места отведено классическим схемам импульсной теории винта. Рассмотрены модели вихревой теории, которые допускают аналитическое решение, хотя бы приближенное. Впервые так полно излагаются теория обтекания лопасти нестационарным потоком с учетом повторного влияния вихревого следа и методы расчета шума, создаваемого вертолетом. Вопросы динамики лопастей несущего винта рассмотрены в книге весьма подробно вгОють до использования наиболее сложного представления движения дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. При исследовании динамики несущего винта и вертолета в целом автор, отступая от традиционной формы изложения, широко пользуется весьма уместным здесь математическим аппаратом теории автоматического управления. [c.5]

Математической основой теории резонанса в сосредоточенных системах с периодически изменяющимися параметрами служит, по существу, известная теорема А.М. Ляпунова [3.49] о том, что любая система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами может быть преобразована в систему линейных же уравнений с постоянными коэффициентами при помощи невырожденного линейного преобразования. Она позволяет в принципе перенести все известные результаты теории резонанса для систем с постоянными параметрами на системы с периодически изменяющимися параметрами. Для уравнений же в частных производных подобная теорема в общем случае не доказана. Однако, применительно к рассматриваемому классу систем, ее доказательство заключается в существов ании невырожденных инвариантных преобразований (3.6), сводящих решение волнового уравнения с условиями на движущихся границах к решению такого же уравнения с условиями на неподвижных границах [3.4Г. [c.114]

Укоренилось мнение, что в параметрических системах возможна неустойчивость только с указанными признаками. Это безусловно справедливо в сосредоточенных системах, для которых в сущности и развита теория Флоке. Применительно же к распределенным системам оно вызывает серьезные возражения во-первых, краевые задачи в частных производных сводятся к решению независимых уравнений с периодическим коэффициентом типа Хилла, как правило, лишь приближенно и, во-вторых, в последние годы появились теоретические и экспериментальные исследования по параметрической неустойчивости распределенных систем, обладающей свойствами принципиально отличными от указанных выше [4.5-4.15, 4.18-4.20]. [c.139]

Модуляция равновесного градиента температуры или ускорения силы тяжести не исчерпывает всех возможностей параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Однако эти два способа наиболее естественны с точки зрения реализации в экспери]У1енте. Основное их различие состоит в том, что при вертикальных колебаниях полости с жидкостью модулируемый параметр — ускорение поля тяжести — остается однородным по объему. При колебаниях же температуры на границах равновесный градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат модуляции градиента в основном сосредоточены, в приграничном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эф-фект). При низких частотах модуляции градиента это отличие пропадает, и в этом случае оба способа параметрического воз" действия оказываются, в сущности, эквивалентными. Определение границ устойчивости при этом сводится к нахождению периодических решений некоторой стандартной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с периодическими коэффициентами ( 33). Для прямоугольного закона модуляции решение этих уравнений может быть получено точно для синусоидального закона области устойчивости и неустойчивости определяются численно ( 34). В предельном случае вертикальных вибраций высокой частоты простые результаты получаются с помощью метода усреднения ( 35). В 36 рассмотрена [c.237]

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и д корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к укороченной , содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с т-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с2тг чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (иг + г)-кратным нулевым корнем, которому соответствует т п групп решений. Для систем с г-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного двин ения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...