Уравнения с периодическими коэффициентами

Наиболее мощные методы преобразования уравнений с периодическими коэффициентами в теории вращающихся электрических цепей объединены под названием преобразование координат. Смысл преобразования координат заключается в замене переменных и переходе от исходных уравнений к новым уравнениям, которые сравнительно просто решаются стандартными методами. При этом модель ЭМП в виде системы взаимодействия цепей преобразуется к модели в виде системы условно неподвижных цепей. Принципиальная возможность преобразования координат устанавливается известной в теории дифференциальных уравнений и устойчивости теоремой Ляпунова. По этой теореме система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений с постоянными [c.82]

Несмотря на принципиальную важность, теорема Ляпунова не дает формальных правил преобразования уравнений с периодическими коэффициентами. Поэтому для выбора новой координатной системы (новых переменных) используется дополнительная информация в виде условия неизменности (инвариантности) процессов электромеханического преобразования энергии и энергетических соотношений относительно координат. Совместный учет математических условий преобразования и дополнительной информации в некоторых случаях делает выбор новой координатной системы однозначным. Иногда же выбор осуществляется путем сравнительного анализа ряда возможных координатных систем. [c.83]

Лемма 3.10.2. Если x t) — произвольное решение рассматриваемого уравнения с периодическими коэффициентами, то функция у — x t + г), где т — период функций a t), b(t), есть решение того же уравнения. [c.238]

Пусть 2(<) — произвольное решение уравнения с периодическими коэффициентами [c.239]

Для удобства дальнейшего изложения будем считать решения уравнения с периодическими коэффициентами комплексными функциями времени, выделяя действительную часть этих решений в случае необходимости перехода к реальным приложениям. Заметим, что (1е1 А ф О, так как матрица А осуществляет переход от одних линейно независимых функций к другим. Поэтому р Ф 0. [c.239]

Теория движения систем материальных точек часто приводит к рассмотрению интегралов линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. [c.316]

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами были рассмотрены Л. Эйлером в теории движения Луны. Эти уравнения были вновь проанализированы в конце XIX в. [c.316]

Общая теория интегрирования дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами была разработана А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре. В настоящее время теория квазигармонических колебаний находит применение в различных областях механики, радиотехники и т. д. [c.316]

Исследование устойчивости движения многих систем, встречающихся в различных технических задачах, часто сводится к анализу линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В матричной форме эти уравнения могут быть записаны так (см. 5.2, формула (5,19а)) [c.231]

Из этого вытекают следующие условия устойчивости системы, возмущенное движение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. [c.237]

А. М. Ляпунов показал [35], что всякую систему ли- нейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно привести при помощи линейной подстановки к системе уравнений с постоянными коэффициентами. Подробное исследование систем, которые могут быть приведены к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами, содержится в работе Н. П. Еру-гина [19]. [c.239]

Метод Рэлея для систем уравнений с периодическими коэффициентами. Если приближенное решение уравнения (7.218) ищется в виде [c.227]

В результате получаем систему п уравнений с периодическими коэффициентами относительно п неизвестных функций времени вида [c.272]

В результате получили систему уравнений с периодическими коэффициентами. Основная особенность данной задачи заключается в том, что время процесса ограничено (время движения массы по стержню), поэтому колебания стержня являются неустановившимися и воспользоваться методами, которые были изложены в 7.7, нельзя. Время движения массы т по стержню равно tк = l/v. Безразмерное время Тк=1/Цо- Систему уравнений (4) можно представить в виде [c.299]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Дифференциальные уравнения типа (4) решены приближенно методом Б. Г. Галеркина и получены бесконечные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [c.134]

Далее введем в рассмотрение линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами вида [c.277]

Уравнения (П. 17) во вращающейся системе координат в общем случае будут представлять собой уравнения с периодическими коэффициентами, которые мы выписывать не будем. Только в частном случае, когда все свойства опор и подшипников осесимметричны, соответствующие уравнения опор во вращающихся осях координат будут уравнениями с постоянными коэффициентами. Условие осевой симметрии применительно к уравнениям (11.17) имеет вид [c.50]

Из сказанного выше следует, что в общем случае получится система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Методы численного решения и анализа таких уравнений в общих чертах известны [91 ], однако в настоящее время в связи с большими математическими трудностями эти уравнения почти не применяются для решения конкретных задач, хотя отдельные такие работы уже появились [163]. [c.52]

Одновременное нарушение осевой симметрии в роторе и его опорах может быть учтено только с помощью аппарата. линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. [c.68]

Далее излагаются элементы теории дифференциальных уравнений и уравнений в конечных разностях в объеме, необходимом для того, чтобы в дальнейшем не отсылать читателя к многочисленным источникам, сообщающим эти сведения в различном духе и с использованием различных обозначений. Здесь основное внимание уделяется вопросам решения уравнений с периодическими коэффициентами и уравнений в конечных разностях (глава 2). [c.8]

Движение механизма с упругими связями описывается уравнениями с периодическими коэффициентами. Приближенное решение позволяет построить частотные характеристики и найти положение динамического равновесия механизма. Разность положений статического и динамического равновесия характеризует динамическую ошибку. [c.8]

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. В введении было показано, что ряд задач динамики механизмов с упругими связями приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Теория этих уравнений значительно более сложна, чем в случае постоянных коэффициентов. Естественно, что, излагая элементы этой теории, мы по-прежнему ограничимся рассмотрением уравнений второго порядка. Начнем с отыскания обш,его решения однородного уравнения вида [c.48]

Из этих равенств следует, что частные решения однородного уравнения с периодическими коэффициентами имеют вид [c.50]

УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 51 [c.51]

Найдем, пользуясь приведенной выше теорией уравнений с периодическими коэффициентами, общий функциональный характер решения уравнения Матье. Пусть известны два частных, линейно независимых решения У и г/2 уравнения (2.24), причем они образуют фундаментальную систему, удовлетворяющую начальным условиям [c.52]

Используя то обстоятельство, что для линейных уравнений с периодическими коэффициентами действует принцип наложения, можно найти общее решение уравнения [c.65]

Таким образом, в случае поступательной вибрации движение механизма определяется линейным дифференциальным уравнением с периодическим коэффициентом. [c.137]

Анализ этого решения указывает на то, что в системах, движение которых удовлетворяет линейным уравнениям с периодическими коэффициентами, возможно неограниченное возрастание амплитуды даже при наличии диссипативных сил. [c.199]

Исследуя малые колебания механизма при его движении без нарушения контакта элементов пары, мы придем к системе двух дифференциальных уравнений, аналогичных тем, которые фигурировали в главе 4, т. е. к системе линейных уравнений с периодическими коэффициентами. [c.223]

С т е н а н о в В. В., О решениях линейного уравнения с периодическими коэффициентами при наличии периодической возмущающей силы. Прикладная математика и механика, т. XIV, N9 3, 1950. [c.386]

Значительно сложнее случай параметрического возбуждения. При этом (1) является системой линейных ди(])ференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Достаточно подробная теория существует в настоящее время лишь для случая, когда коэффициенты изменяются гармонически. Даже в этом случае решения таких уравнений как правило являются непериодическими. Влияние параметрического возбуждения на спектр вибраций описать теоретически пока невозможно. Скорее всего, следует ожидать появления в спектре дополнительных гармоник, лежащих в областях параметрического резонанса колебательной системы [9]. [c.48]

Вопросы теории систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами фундаментально изложены в работе [951. [c.198]

Следовательно, пассивные линейные параметры РЦН гзз, М23 также являются периодическими функциями угла поворота лопасти рабочего колеса, а уравнение (5.35) — это дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, решение которых связано со значительной трудностью. [c.78]

Пусть Xi(t), X2 t) — два линейно независимых решения изучак -мого уравнения с периодическими коэффициентами. Любое решение того же уравнения выражается как их линейная комбинация. В частности, [c.238]

Тем самым матрица монодромии задает линейный оператор моно-дромии в пространстве решений уравнения с периодическими коэффициентами. Для конкретной матрицы А роль базисных векторов играют функции Х2 1). [c.239]

Колебания, возникающие при резонансе п-го рода, иногда также называют автопараметрическими. Этот термин возник в связи с математическим аппаратом, при.меняемым при исследовании условий устойчивости двпншния при резонансе -го рода. При исследовании вопроса об устойчивости движения приходится рассматривать линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Эти уравнения будут рассмотрены ниже, при изучении квазигармонических колебаний и параметрического резонанса. [c.306]

Для получения критериев устойчивости таких систем кратко остановимся на некоторых общих вопросах теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, принадлежащей Флoкe(Floquet). [c.232]

Полученное линейное уравнение с периодическим коэффициентом приводится к неоднородному уравнению Хилла. Если сила F изменяется по гармоническому закону [c.254]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...