Определение параметров методом наименьших квадратов

Определение параметров методом наименьших квадратов [c.258]

Поскольку зависимости (3.16), (3.17) линейны относительно искомых параметров In Л, (г = 1,. . ., 4), In В, /3j ( = 1,. . ., 4), то наиболее простая процедура их определения — использование метода наименьших квадратов. [c.61]

Значения параметров В и М, определенные по методу наименьших квадратов, и величины стандартных отклонений, приведены в табл. 2. [c.53]

Расчетные формулы для определения параметров Ог и Ог методом наименьших квадратов имеют вид [c.103]

О статистических методах обработки результатов испытаний. Результаты испытания на надежность при достаточном числе данных обрабатываются методами математической статистики. Характеристики надежности изделия получают по полной выборке — если известна наработка (срок службы) до отказа для всех испытываемых изделий (все реализации являются полными), или п6 сокращенной выборке (когда имеются полные и условные реализации). При этом в зависимости от поставленной задачи (например, надо или нет оценивать надежность изделия при значениях ресурса, больших, чем установленное ТУ), от объема и качества статистических данных, полученных при испытании, могут применяться различные варианты статистической обработки результатов. Если нет необходимости (или возможности) в определении вида закона распределения сроков службы (наработки) до отказа, то оценивается вероятность безотказной работы изделия для фиксированного значения t = Т, т. е. точечная оценка (см. выше). Если из построения модели отказа известен вид функции распределения / (/), то по результатам испытания определяются параметры этой функции. При неизвестном законе распределения на основании опытных данных строят гистограмму или полигон распределения и высказывается гипотеза о применимости того или иного закона распределения. Для подбора теоретического распределения, достаточно близко подходящего к полученному эмпирическому, часто применяют метод наименьших квадратов и метод максимума правдоподобия [183]. В инженерной практике также широко применяются графические методы выявления закона распределения с применением вероятностной бумаги , на которой нанесена специальная сетка для наиболее распространенных законов распределения [186]. [c.500]

Для определения порога чувствительности по циклам Л/ разработано несколько способов графический, метод наименьших квадратов, метод квартилей, метод максимума правдоподобия. Использование последнего метода для оценки параметров нормального распределения случайной величины к = 1э (Л/ - Л/ ) имеет известные преимущества и позволило получить следующее уравнение [c.36]

Во всех известных методах определения эффективных кинетических параметров термодеструкции на основе термогравиметрических экспериментов постоянство скорости увеличения температуры образца является обязательным требованием. При линейном изменении температуры внутреннего пространства камеры нагрева температура исследуемого образца в целом также изменяется по линейному закону. Поэтому в расчетах удобно использовать значения температуры, полученные в результате аппроксимации экспериментальной температурной кривой (с помощью метода наименьших квадратов) прямой линией. Такая обработка позволяет с максимальной точностью определить скорость нагрева и значительно уменьшить разброс точек на вспомогательных графиках при определении кинетических параметров. [c.348]

Полиномиальный тренд можно удалять, используя для его определения метод наименьших квадратов. Простейший случай использования метода наименьших квадратов связан с определением параметров линейной зависимости [c.352]

Полиномиальный тренд, если степень полинома не превышает 4, можно удалять методом наименьших квадратов. Простейший случай использования метода наименьших квадратов связан с определением параметра эмпирической зависимости [c.371]

Первоначально была получена зависимость интенсивности износа от контурного давления р в условиях отсутствия колебания нагрузки v — 0) при диапазоне давлений 1,57 — 14,5 кг см . Определение параметров А и X уравнения износа и их доверительных пределов производилось по результатам испытаний, обработанных по методу наименьших квадратов. Затем эксперимент повторялся в условиях колебания нагрузок около заданной средней величины путем ступенчатого изменения нагрузки через каждую минуту. Износ определялся после 38 сту> пеней нагружения. Последовательность величин нагру- [c.44]

Теперь остановимся на определении коэффициентов регрессии (1-8). Решение этой задачи можно осуществить несколькими способами в зависимости от принимаемого критерия оптимальности. Наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов, при котором сумма квадратов отклонений экспериментальных значений выходного параметра изделия У (X, ) от значений исследуемой функции V (X, О обращается в минимум [30] [c.14]

Условие нормальности, вообще говоря, не является безусловным. Метод наименьших квадратов можно применять для определения коэффициентов регрессии и в том случае, когда не имеет места нормальное распределение для контролируемого параметра [41]. [c.93]

Измерение интенсивностей полос в парах, за исключением полосы циклопентана, проводилось в динамическом режиме [ ] с накоплением измерений в области малых поглощений. На рисунке приведен типичный экстраполяционный график. Параметры экстраполяционных графиков и среднеквадратичные ошибки в определении точек экстраполяции рассчитывались методом наименьших квадратов с учетом статистических весов отдельных измерений [ ]. [c.268]

Определение параметров. Наиболее точным методом определения параметров является метод наименьших квадратов. Однако в большинстве случаев могут быть успешно применены более простые методы, в частности метод средних. Если полученная по этому методу формула окажется недостаточно точной, для дальнейшего ее уточнения уже может быть использован метод наименьших квадратов, причем знание приближенных значений параметров [c.543]

Определение параметров т я Т может быть произведено по методу наименьших квадратов. По экспериментальным данным (см. табл. 14) определяем значения ли для каждого интервала времени и находим средние значения х я у (табл. 17) значения Ьх = = х хи у = у — у, квадраты Дл и Дг/ произведения Дх y и их суммы. Затем вычисляем параметр т (коэффициент регрессии) по формуле [c.258]

Результаты обработки опытных данных по обезжелезиванию воды в осветлителе по методу наименьших квадратов по формулам (41) и (42) показали достаточно хорошее совпадение закономерностей стесненного осаждения во взвешенном слое с закономерностями осветления воды в аналогичных условиях, описываемыми уравнениями (41) и (42). Следовательно, указанные формулы можно использовать для определения параметров состава взвешенного осадка при обезжелезивании воды. [c.91]

Зависимость напряжений о-1 от числа N циклов нагружений построена в полулогарифмических координатах (рис. 31) по результатам экспериментов, обработанных по методу наименьших квадратов. Расчет параметров кривых выполнен на ЭВМ. Кривые выносливости построены по результатам исследования 2и—30 образцов. Так как построение кривых выносливости классическим методом Велера требует длительных испытаний [17] особенно при напряжениях, близких к пределу выносливости, использован ускоренный метод определения предела выносливости с помощью критериев усталости В. С. Ивановой критического напряжения Ок, критического числа циклов нагружения Л к и коэффициента а . Величины Л к и постоянны и для черных металлов соответственно составляют 2-10 циклов и 6 кгс/М М . Предел выносливости [c.65]

Для определения значений параметров выбранного типа эмпирической формулы применяют обычно три основных метода метод выбранных точек (графический метод), метод средних и метод наименьших квадратов. [c.231]

Для определения значений параметров эмпирической формулы по методу наименьших квадратов составляют сперва условные уравнения относительно п искомых параметров Й1, Й2> йз,. . . , а , для чего в выбранную эмпирическую формулу подставляют экспериментально полученные значения аргумента x и функции y . Предполагая, что искомые параметры входят линейным образом, получим систему т условных уравнений (т > л), линейных относительно параметров. Количество уравнений в этой сиг стеме равно числу экспериментальных точек. [c.233]

Для определения эмпирических параметров аир был использован метод наименьших квадратов [11, 59], представляющий минимизацию функционала вида [c.169]

Характеристики взаимодействия электромагнитного излучения с молекулами суш,ественно определяются электрооптическими параметрами последних. Так при расчете поглощения излучения важную роль играет дипольный момент молекулы, зависимость которого от внутренних координат наиболее точно восстанавливается из экспериментальных данных об интенсивностях КВ полос и отдельных линий путем решения обратной задачи. В выражение для интенсивности входит квадрат модуля матричного элемента оператора дипольного момента в базисе колебательно-вращатель-ных волновых функций состояний, между которыми происходит переход. Зная экспериментальные значения интенсивностей 5 различных КВ-линий, принадлежащих к разным полосам, и формулы, связывающие 5 с дипольным моментом, можно найти последний путем подгонки с помощью метода наименьших квадратов [7]. Учитывая громоздкость общего математического аппарата, проиллюстрируем решение задачи определения дипольного момента на примере Н2О — основного поглощающего вещества воздуха. [c.63]

И I (позволяющих найти также и д) по значениям и (г) и Т(г). Несмотря на то, что этот метод опирался на использование логарифмической + линейной формулы для профилей, которая позже была подвергнута критике, и на предположение, что а = 1, точность его, как показало сопоставление получаемых таким образом значений ы и 9 с данными непосредственных измерений, оказалась более высокой, чем можно было бы ожидать. Однако в настоящее время рекомендовать этот метод в его первоначальном виде для непосредственного практического применения, разумеется, нельзя, так как он все же довольно груб и очень громоздок (в частности, включает определение некоторых параметров по материалам ряда измерений с помощью метода наименьших квадратов). [c.446]

Вторая модификация метода наименьших квадратов заключается в том, что результат решения системы нормальных уравнений рассматривается как направление движения, а величина шага в зтом направлении определяется путем поиска минимума функции F. Эта модификация имеет много обш.его со второй модификацией метода Ньютона, и для определения величины шага ур здесь используются те же приемы, т. е. движение с малым шагом и экстраполяция значений приращений функций с помощью двучленов (VII.67). Следует отметить, что если число коррекционных параметров принять равным числу функций, то метод наименьших квадратов переходит автоматически в метод Ньютона, а вторая модификация метода наименьших квадратов переходит во вторую модификацию метода Ньютона. Действительно, результаты решения системы линейных уравнений Ньютона удовлетворяют равенству [c.436]

Значения определяются, таким образом, путем прямого (хотя и громоздкого) расчета, использующего известную электронную структуру. После того как эти вычисления проделаны для всех направлений поля, представляющих интерес, определение параметров с, сводится к решению системы независимых линейных уравнений вида (8.14), содержащих измеренные значения х. Очевидно, число имеющихся различных значений х должно быть не меньше числа подлежащих определению коэффициентов, и результаты окажутся более осмысленными, если с, определяются методом наименьших квадратов из значений л , число которых значительно превышает число коэффициентов с,. [c.452]

Для заданного азимута запуска траектория выведения на орбиту ИСЗ оптимизируется независимо от расположения Земли и Луны. Однако участок разгона с орбиты зависит от расположения Земли и Луны, которое определяет требования к изменению плоскости движения при втором запуске ступени S-IVB. Поэтому участок выведения на траекторию полета к Луне должен оптимизироваться совместно с определением независимых переменных. Схема, выбранная для вычислительной программы прицеливания ракеты-носителя на участке выведения к Луне, основана на аппроксимации по методу наименьших квадратов оптимальных параметров активного участка полета ступени S-IVB, выражаемых через параметры гиперповерхности. Это позволяет независимо оптимизировать выведение на траекторию полета к Луне в процессе итерационного вычисления зависимых переменных. Гиперповерхность, показанная на рис. 31.1, образована путем состыковки конических сечений для двух притягивающих центров. [c.93]

В тех случаях, когда контролируемая функция изменяется по сложному закону и информация о контролируемом параметре ограничена, наименьшую ошибку в определении прогнозирующего полинома обеспечивает метод наименьших квадратов. [c.243]

Таким образом, применяя двойную логарифмическунэ сетку, можно определить основные параметры распределения. В приведенном примере показано, что значения параметров /и и 7 , определенные по методу наименьших квадратов, почти совпадают со значениями, полученным графическим методом. Для т погрешность равна О, а для Т—1,2%. [c.258]

Второй способ определения свободных параметров основан на выполнении требования, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от соответствуюших значений аппроксимирующей функции была минимальной. Этот способ носит название метода наименьших квадратов. Заметим, что можно оперировать и суммой других четных степеней этих отклонений (невязок), но тогда вычисления будут сложнее, однако руководствоваться суммой самих невязок нельзя, так как она может оказаться малой и при больших отклонениях противоположного знака. [c.97]

Традиционным, известным путем минимизации систематических и случайных погрешностей оиределепия 5 и о)о по дифференциальному уравнению является исиользование метода наименьших квадратов для множества отсчетов фазовых переменных в моменты времени /, в общем случае неэквидистантные. В случае известного вида и параметров входного воздействия Хй можно после применения к уравнению (Г) Z-преобразования получить разностную схему для определения динамических характеристик, не требующую измерения X,i для ряда типовых воздействий. Так, например, при [c.8]

При описании программных средств АСНИ изложены сведения об операционных системах общего назначения и реального времени, а также о средствах и языках программирования. В разделе приводится классификация инструментальных программных сред и перспективнь[х языков прикладного программирования. Достаточно подробно рассмотрены вопросы статистического анализа экспериментальных данных как математической основы современного автоматизированного эксперимента. Изложены методы обработки опытных данных, способы оценивания статистических характеристик случайных величин и процессов. Описан метод наименьших квадратов, который может служить примером применения методов регрессионного анализа для определения функциональной зависимости между параметрами по результатам их измерений. Раздел завершается описанием элементов теории планирования эксперимента, а также сведениями о ряде современных программных продуктов для статистического анализа данных. [c.9]

Экспериментально определенные Р — Т зависимости аппроксимировались по методу наименьших квадратов полиномами 6-й степени. Точки пересечения кривых находились путем решения соответствующих систем уравнений на ЭВМ БЭСМ-4. При этом наибольшее отклонение экспериментальных точек от кривых не превышало 0,2%. Как показывают оценки, суммарная ошибка в определении плотности газа во всем диапазоне параметров не превышает 2%. [c.89]

По методу наименьших квадратов для определения параметра Vq минимизируют сумму квадратов от-клонеиий [c.164]

Кривые восстановления давления обрабатывали по обычному методу касательной — см. формулы (30.10) — нри известном значении коэффициента а (а = 0,0177 ат ) из индикаторных линий. Следует отметить, что асимптотическую прямую (по углу наклона которых — см. формулу (30.9) — вычисляются параметры пласта) кривой восстановления давления проводили по четырем последним точкам, обработанным по методу наименьших квадратов. Основные результаты расчетов приведены в табл. 32, откуда видно, что значения комплекса параметров fep/p. по методу касательной для обеих кривых восстановления давления получились соответственно равными 61,0 и 76,0 д-г/см -спз. Такая разница объясняется тем, что до снятия кривых восстановления давления в скважинах были разные забойные давления (347,0 и 362,7 ат), что повлияло на изменение этих параметров. Как указывалось выше, значения комплекса параметров khp/ц, определенные согласно формуле (30.9), получаются приведенными, наприм , к начальному р пластовому давлению, поэтому они получаются весьма близкими (482 и 455 д г/см -спз). Здесь расхождение составляет 5,6%. В то же время, если обрабатывать указанные две кривые восстановления давления по обычному методу касательных согласно линейной теории упругого режима (т. е. в координатах Др — Ig i), то разница в определенных коэффициентах гидропроводности [142] составит 29%. [c.283]

Более подробная проверка методики определения функций для натрия и калия сводится к определению двух параметров экспонент i7o3 аз для этих функций путем обработки первичных экспериментальных значений коэффициента вязкости [17] методом наименьших квадратов. Полученные таким образом потенциалы рассматриваемые как наиболее вероятные, приводят к усредненным интегралам столкновений атомов которые отличаются от указанных в табл. 6 максимум на 6%. Эту величину (6%) мы и приняли за возможную погрешность интегралов столкновений щелочных металлов, определенных в настоящей работе. [c.346]

Буквенные формулы, по которым вычислялись таблицы, помещаемые в ежегоднике, имели еще и другое практическое применецие и использовались также для решения обратных задач небесной механики, т. е. для определения постоянных параметров системы, а отчасти и для начальных условий. Для этого брались полученные из наблюдений ряды числовых значений координат, соответствующие ряду отдельных моментов времени (моментов наблюдений ), и эти числовые значения подставлялись в буквенные формулы той или иной аналитической теории. Таким образом оставлялись уравнения, в которых неизвестными величинами оказывались нужные параметры (например, массы планет или элементы их орбит). Приближенное решение таких конечных уравнений, обычно по методу наименьших квадратов, доставляло искомые числовые значения определяемых параметров, что позволяло пополнять, или исправлять, наши ведения об устройстве Солнечной системы и о ее числовых характеристиках. [c.324]

При изготовлении оптической детали неизбежно происход отклонение ее параметров от расчетных значений. Выбор допуст мых отклонений зависит от вида функции распределения откло ний и их числа. Поскольку никаких сведений по этому вопро в литературе нет, естественно положить, что это распределен имеет такой же характер, какой принят в теории погрешност Гаусса. Если принять это предположение, то для определен допусков можно применить теорию вероятностей, в том числе метод наименьших квадратов. [c.154]

Здесь 9м есть половина расстояния до ближайшего узла обратной решетки в направлении волнового вектора фонона Я- Величина Ф есть силовая постоянная для атом< ных плоскостей, перпендикулярных вектору q и отстоящих друг от друга на п атомных расстояний. Пользуясь формулой (2.127) и экспериментальными данными, можно попытаться определить с помощью метода наименьших квадратов, сколь много силовых параметров Ф необходимо, чтобы совместить теоретическую и экспериментальную кривые. Таким путем Брокгауз и др. [26] установили, что межатомные силы в свинце носят даль-нодействующий характер и иногда меняют знак. Таким образом, удовлетворить экспериментальным данным на основе простой модели (2.127) не удается. С другой стороны, Вудсом и др. [27] было показано, что для натрия легко подогнать кривую под экспериментальные данные, учитывая взаимодействие с четырьмя или пятью ближайшими соседями. Аналогичные опыты по определению спектра фононов в германии показали, что межатомные силы там также являются дальнодействующими, и, для того чтобы удовлетворить экспериментальным данным, необходимо учитывать взаимодействие с пятью или шестью ближайшими соседями [28, 29]. Для теоретиков, интересующихся расчетом спектра колебаний, так сказать, из первых принципов , эта область теории откры-вает широкое поле деятельности ). [c.71]

Определение параметров линейной регрессии. Известно, что сумма квадратов отклонений вариант Х1 от их средней х есть величина наименьшая, т. е. 2( 4—хУ=хахп (см. гл. П1). Эта теорема составляет основу метода наименьших квадратов (см. ниже). В отношении линейной регрессии [см. формулу (176)] требованию этой теоремы удовлетворяет некоторая система уравнений, называемых нормальными-. [c.258]

Для линейных методов, перечисленных в табл. 14.1, бьши определены суммарные количества линейных итераций, необходимых для решения уравнения Пуассона, при разном числе узлов. Наиболее важная информация, которую можно извлечь из этих данных - это зависимости изменения полного числа итераций от N. Для каждого метода строится функция I = = aN + 7 подгоняемая под данные методом наименьших квадратов. Здесь I — число итераций, аа,Р,у неизвестные параметры, определяемые в ходе подгонки. Во всех случаях значение (3 очень близко к 0,5 либо к 1,0, как и предсказывалось теоретическими оценками, полученными при решении задач моделирования. Для сравнения результатов применения различных методов выполняется вторая подгонка с i3 = 0,5 либо 1,0 для определения нового значения /. Получив это новое выражение для числа итераций и определив число вычислений, необходимых для выполнения каждой итерации, найдем значения доминирующего слагаемого aN< в выражении для /, при-веденйые в табл. 14.1. На основании этих данных можно определить, насколько возрастает объем вычислений при увеличении числа узлов и, следовательно, при повышении точности решения. [c.365]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...