Вторая модификация метода Ньютона

Вторая модификация метода Ньютона [c.414]

Вторая модификация метода Ньютона [141 отличается от первой способом выбора величины шага. В первой модификации метода Ньютона величина шага выбиралась таким образом, чтобы разности — Ф/ непрерывно убывали по абсолютной величине. Это требование гарантирует, что ни одиа нз аберраций в процессе расчета не может ухудшиться по сравнению с исходной системой, если даже задача ие решена до конца. Однако выполнение этого требования, как показала практика многочисленных расчетов, в ряде случаев резко замедляет сходимость итерационного процесса. [c.414]

Характерной особенностью второй модификации метода Ньютона в отличие от первой является возможность ухудшения некоторых аберраций на промежуточных стадиях расчета, когда решение удается найти, или возможность ухудшения некоторых аберраций D окончательной системе по сравнению с исходной, еслн требуемое решение ие найдено. Такое положение иногда вызывает нарекания оптиков-конструкторов и жалобы на ухудшение машиной качества исходной системы. Однако этот незначительный недостаток метода полностью окупается большим выигрышем в скорости сходимости. Этот метод с успехом используется не только при расчете систем в области аберраций третьего порядка, но и при расчете в области точных значений аберраций. В последнем случае погрешность двучленных формул (VU.67) вызывает иногда нежелательные последствия, например разрыв функций при значениях коррекционных параметров, соответствующих = Разрыв функций проявляется физически как непро- [c.417]

На рнс. УП.7 представлена блок-схема программы для автоматического расчета оптических систем в области точных значений аберраций с помощью второй модификации метода Ньютона. [c.422]

Вторая модификация метода наименьших квадратов заключается в том, что результат решения системы нормальных уравнений рассматривается как направление движения, а величина шага в зтом направлении определяется путем поиска минимума функции F. Эта модификация имеет много обш.его со второй модификацией метода Ньютона, и для определения величины шага ур здесь используются те же приемы, т. е. движение с малым шагом и экстраполяция значений приращений функций с помощью двучленов (VII.67). Следует отметить, что если число коррекционных параметров принять равным числу функций, то метод наименьших квадратов переходит автоматически в метод Ньютона, а вторая модификация метода наименьших квадратов переходит во вторую модификацию метода Ньютона. Действительно, результаты решения системы линейных уравнений Ньютона удовлетворяют равенству [c.436]

Сравним результаты расчета в табл. VII.12 с результатами расчета того же объектива, полученными с помощью второй модификации метода Ньютона и приведенными в табл. VII.8 и VII.9. Система в табл. VII.8 н VII.9 была рассчитана скорее, чем система в табл. VII.II, и не уступает последней по качеству. Этот пример показывает, что использование теории аберраций для выбора необходимого и достаточного количества лучей в сочетании с автоматическим расчетом с помощью второй модификации метода Ньютона позволяет получать нужные результаты с относительно малыми затратами машинного времени. Метод наименьших [c.436]

В рассмотренных ранее методах автоматического расчета оптических систем оценочная функция F имеет вспомогательное значение. Так, во второй модификации метода Ньютона с помощью этой функции определяется величина итерационного шага. При использовании метода наименьших квадратов оценочная функция играет большую роль, однако все операции производятся с функциями Ф/, а функция Р участвует в расчетах неявно. [c.438]

Рассмотрим метод вариации направления движения в сочетании со второй модификацией метода Ньютона. В таком случае, еслн скорость сходимости итерационного процесса, оцениваемая величиной (УП.73), достаточно велика, то расчет выполняется по методике, описанной на стр. 414—430. Вариация направления производится только в тех случаях, когда скорость сходимости недостаточна. [c.451]

Таким образом, в нашем случае количество коррекционных параметров превышает количество функций. Для автоматического расчета воспользуемся программой, основанной на второй модификации метода Ньютона. Результаты расчета сведены в табл. УИ.15. [c.459]

Во второй модификации метода Ньютона размер шага определяется с помощью минимизации оценочной функции, что ускоряет сходимость итерационного процесса, однако в этом случае на промежуточных стадиях расчета некоторые аберрации могут усугубиться. [c.389]

В качестве первого примера рассмотрим расчет фотографического объектива типа триплет в области аберраций третьего порядка. Исходной будем считать систему из табл. VII.6. Напомним, что с помощью первой модификации метода Ньютона решение было получено за 82 итерации. Результаты расчета с помощью второй модификации приведены в табл. VII.7. Пример наглядно показывает высокую эффективность метода. [c.418]

Изложенные выше трудности использования метода Ньютона для решения одного нелинейного уравнения (5.12) усугубляются при применении его к решению систем нелинейных уравнений (5.16). Во-первых, возникает проблема вычисления на каждой итерации матрицы из частных производных. Во-вторых, обостряется проблема нахождения хорошего начального приближения. Для преодоления этих трудностей используют специальные модификации метода [2, 72]. [c.131]

При расчете оптических систем с помощью второй модификации метода Ньютона нередки случаи, когда итерационный процесс сходится недостаточно быстро. На примере расчета двусклеен-ного объектива рассмотрим причины медленной сходимости процесса. [c.446]

Популярный и широко используемый класс модификаций метода Ньютона образуют квазинью-тоновские методы, в которых не используется вычисление вторых производных. Направление спус- [c.142]

Основная цель модификаций метода Ньютона заключается в предотвращении расходимости итерационного процесса. Сущность этих методов состоит в том, что каждый шаг итерационного процесса разбивается па два этапа, первый нз которых представляет собой выбор направления движения (определение соотношения между нзмеиеинямн параметров), а второй этап — выбор величины шага в этом направлении. Направление движения определяется путем решения системы линейных уравнений (VII.26). Выбор величины шага осуществляется путем анализа изменений функций при движении в найденном направлении. [c.399]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...