Напряжения и деформации в произвольных координатах

Напряжения и деформации в произвольных координатах 107 [c.107]

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [c.105]

Если же слои расположены под некоторым углом к оси х, как показано на фиг. 4.2, то для получения матрицы [0 в произвольной системе координат необходимо выполнить преобразование. Обозначая через [О ] матрицу, связывающую напряжения и деформации в системе координат х, у, легко показать, что [c.68]

Наиболее общее тензорное изложение теории напряжений и деформаций для произвольной системы координат представляет особую ценность для конечных деформаций. Выведенные общие уравнения и формулы позволяют нам в дальнейшем составлять их в необходимых координатных системах. [c.59]

Соотношения между напряжениями и деформациями. В прямолинейной прямоугольной системе координат соотношения между напряжениями и деформациями были записаны в форме (3.45) и (3.46). В произвольной системе криволинейных координат соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид [c.118]

Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие деформации и, следовательно, появление пластических деформаций однозначно определяется действующими напряжениями. В связи с этим условие пластичности можно записать в виде некоторой функции компонент тензора напряжений. Для изотропного материала условие появления пластических деформаций не может зависеть от выбора системы координат. Поэтому соответствующая функция должна определяться тремя инвариантами тензора напряжений, в качестве которых можно взять, папример, три главных напряжения [c.156]

Если контур Г замкнут и в ограниченной им замкнутой области особые точки отсутствуют (во всех точках области выполняются однородные уравнения равновесия), а свойства материала не зависят от координаты то при указанном смещении энергия внутри контура сохраняется и, следовательно, интеграл (4.1) равен нулю. Подчеркнем, что этот вывод остается справедливым при произвольной связи между напряжениями и деформациями в идеально упругом теле. В этом легко убедиться и непосредственной проверкой. [c.90]

Устанавливается, что произвольную поверхность прочности можно описать полиномами от напряжений или деформаций, удовлетворяя при этом определенным основным требованиям математического характера. Построенные ранее критерии разрушения анизотропных сред переписываются как тензорно-полиномиальные. При этом обнаруживается сходство различных критериев и неизвестные ранее полезные для приложений свойства преобразований, включая замену одной системы координат другой и непосредственный переход от формулировок в напряжениях к формулировкам в деформациях и обратно. Показывается также (и это идет вразрез с установившимся мнением), что различные интуитивно простые критерии (такие, как критерий максимальной деформации или критерий максимального напряжения) сложны в математическом плане. Кусочно линейный характер этих критериев приводит к дополнительным ограничениям, обеспечивающим взаимно однозначное соответствие между формулировками в напряжениях и деформациях, но иногда препятствующим применению этих критериев на практике. Устанавливается, что формулировки, использующие инвариантные в изотропном случае характеристики, ограничены частным случаем ортотропии и поэтому представляют собой вырожденные случаи тензорно-полиномиального критерия общего вида. [c.484]

Так как каждый элемент вектора Ur есть функция от координат X, у, Z для точек области г, конечного элемента, то и элементы вектора г и lOr, т. е. виды деформаций и напряжений Ех, еу,Хху,Ох и т. д., также будут функциями координат х, у, z. Подставив конкретное значение х, у, z для рассматриваемой точки, получим величины всех компонентов напряженно-деформированного состояния в этой точке. Это не должно создавать иллюзии, что решение задачи по МКЭ получается в аналитическом виде основным результатом решения задачи являются дискретные значения узловых перемещений q. Значения же перемещений, деформаций и напряжений в произвольной точке Qr в данном случае нужно рассматривать как своеобразные интерполяционные выражения. Причем закон интерполяции обусловлен системой аппроксимирующих функций фг, т. е. принят на самых ранних этапах расчета. Следует отметить, что метод перемещений обусловливает разрывы напряжений и деформаций на границах конечных элементов.. [c.105]

В произвольной системе координат связь между напряжениями и деформациями должна быть выражена в форме, инвариантной к преобразованиям координат. Поэтому, если компоненты Тд берутся в основном базисе (сг /), то компоненты Г должны быть во взаимном базисе (е ). Тогда обобщенный закон Гука для идеальной линейно-упругой среды примет вид [c.180]

В данном примере напряжение и деформация изменяются от одного конца балки к другому, поэтому необходимо начать с определения удельной дополнительной энергии и. Затем выражение для и интегрируется по всему объему балки, в результате чего получается полная дополнительная энергия и. Величина и является функцией от х (расстояния от незакрепленного конца балки) и от у (расстояния от нейтральной оси). Для того чтобы определить удельную дополнительную энергию и, необходимо знать напряжение 01, возникающее в произвольной точке балки с координатами х ч у. Это напряжение можно найти, если известна деформация в той же точке, а деформацию в свою очередь можно определить, зная кривизну. Таким образом, расчет необходимо начать с определения кривизны балки. [c.490]

Ориентационное усреднение применяем как средство перехода к описанию свойств таких объемов К Ко, в которых возможна формулировка задачи уже в терминах инженерной механики материалов, т. е. в физически наблюдаемых величинах, характеризующих свойства кристалла как сплошной и относительно однородной среды. Обращение к ориентационным методам усреднения делает предмет анализа математически определенным, поскольку законы преобразования всех переменных в угловых пространствах известны и сводятся к использованию определений такого понятия, как тензор произвольной валентности. В то же время усреднение по пространственным координатам трудноосуществимо, так как конкретное распределение деформаций, напряжений и других переменных по координатам обычно совершенно неизвестно. В некоторых случаях будем прибегать к статистическим методам усреднения, если искомые характеристики действительно определяются какой-либо пространственной статистикой. [c.13]

Рассмотрим задачи о нагружении тел с учетом произвольного предварительного деформирования. Пусть тело нагружено системой деформирующих его сил. Назовем эти деформации предварительными и примем, что это состояние нам известно, т. е. заданы все напряжения и перемещения. В общем случае предварительные деформации могут быть и большими. Это состояние тела считаем исходным и увеличиваем нагрузку. Дополнительное нагружение выбираем таким, чтобы вызванные им деформации и перемещения были малы. Для этих малых деформаций справедливы уравнения равновесия (20) и геометрические соотношения (21), связывающие е,у и м,-. Для того чтобы система уравнений (20) и (21) была разрешима, как мы уже убедились, следует к ней добавить шесть физических соотношений. Истинная деформация тела, состоящая из произвольной предварительной и небольшой дополнительной деформации, не является малой, и для нее вместо закона Гука должны быть использованы зависимости, справедливые при больших деформациях (255) или, что более предпочтительно, в произвольной прямоугольной системе координат (258). Дальнейшие выкладки выполним для конкретного вида упругого потенциала [c.141]

Легко выяснить также характер зависимости от расстояния упругих напряжений вокруг прямолинейной дислокации. В цилиндрических координатах г, г, ц> (с осью г вдоль линии дислокации) деформация будет зависеть только от / и ф. Интеграл (27,3) не должен меняться, в частности, при произвольном подобном изменении размеров любого контура в плоскости х, у. Очевидно, что это возможно, лишь если все со 1/г. Той же степени 1/л будет пропорционален и тензор а с ним и напряжения со 1/г ). [c.154]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Сделанный вывод можно распространить и на тот случай, когда сила Р, приложенная к концу стержня, меняется во времени по произвольному закону. Заменяя плавную кривую ступенчатой, мы сведем задачу к рассмотрению последовательности волн, посылаемых вдоль стержня кратковременными нагрузками постоянной интенсивности, т. е. к уже рассмотренному случаю. Переходя к пределу, получим перемещающееся вдоль стержня распределение напряжений по длине, в точности повторяющее закон изменения силы P t) со временем. Если в некотором сечении с координатой х поставить тензометр, т. е. прибор, измеряющий деформацию, по закону Гука можно определить пропорциональные деформации напряжения а. Зависимость напряжения от времени в любом сечении будет повторять зависимость от времени напряжения, приложенного на конце, со сдвигом на время xJ . [c.73]

Если считать произвольную систему прямоугольных декартовых координат (г/, у, у ) с началом в точке до деформации частным случаем криволинейных координат и обозначить вектор напряжений, отнесенный к локальным декартовым координатам, через а -, то вместо (4.64) получим [c.113]

Пусть в произвольной декартовой системе координат определяющие соотношения, связывающие приращения тензора напряжений dтензора деформаций d во время непрерывного нагружения элемента материала, задаются в тензорно линейном виде (9.19). [c.210]

Математическая формулировка критерия разрушения, отражающего баланс скорости изменения энергии, состоит в равенстве G = G - При движении трещины с переменной скоростью в дорэлеевском диапазоне скоростей каждое слагаемое в подынтегральном выражении (3.5), равном потоку энергии, пропорционально коэффициенту интенсивности напряжений в квадрате. Поскольку зависимость напряжений и деформаций от пространственных координат в окрестности вершины трещины является универсальной, то интеграл (3.5) может быть вычислен с тем, чтобы определить скоростной коэффициент пропорциональности (см. формулу (3.8), справедливую для типа 1). Для типа 1 деформации трещины в виде полуплоскости выражение для коэффициента интенсивности напряжений при произвольном движении трещины дается формулой (4.3), из которой сразу следует уравнение движения. Ограничившись рассмотрением промежутка времени, когда нагрузка от времени не зависит, устанавливаем, что уравнение баланса скорости изменения энергии приводит к равенству [c.118]

Из (8.1), (8.2), (8.5), (8.6) следуют соотношения, связыванэщие напряжения и деформации в монослое в произвольной системе координат (ж, у) [c.235]

Наконец, если тело изотропное, то упругий потенциал должен быть постоянным при произвольном повороте осей координат. С другой стороны, тензор напряжений или тензор деформаций имеет три независимых инварианта первой, второй и третьей степени относительно компонентов тензоров напряжений и деформаций. Поэтому упругий потенциал должен быть выражен через инвариан- ты тензора напряжений, если упругий потенциал представлен компонентами тензора напряжений, или через инварианты тензора де-. формаций, если упругий потенциал представлен компонентами тензора деформаций (4.28). В силу того, что упругий потенциал является однородной функцией второй степени, он может содержать только первый инвариант во второй степени и второй инвариант в первой степени, т. е. [c.68]

Вместо алгебраического решения характеристического у равнения (1) можно использовать графический способ, известным под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензора второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформации в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривизны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графическую интерпретацию линейного преобразования любой симметричной матртЦ) или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени. [c.54]

Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7]

Комплексное представление инвариантных Г-интегралов первого рода в плоской теории упругости. Рассмотрим (плоское) упругое поле напряжений и деформащ1Й в случае сложного сдвига, плоской деформации или плоского напряженного состояния в плоскости декартовых координат Хх Х2. Инвариантные Г-интегралы первого рода для произвольной дуги L на плоскости Xi Х2 в данном случае будут следующими [1] [c.135]

Рассматриваем средние по толщине напряжения, деформации и перемещения. Коэффициенты деформации aij из уравнений обобщенного закона Гука полагаем произвольными функциями переменной г и четными функциями координаты 2 и от 0 не зависящими. Уравнения обобщенного закона Гука, связывающие средние по толщине выражения для напряжений и перемещений, в случае неортотропного тела запишем так (горизонтальные черты, выражающие осредненные величины напряжений, деформаций и коэффициентов отбрасываем) [c.252]

X рость движения произвольного сечения V х, () при >0 отлична от Од-При деформации > 0) в стержне образуются две области а) вязког пластическая, которая характеризуется напряжениями, превосходящими по модулю предельное напряжение То (имеем вязкопластнческое течение) б) жесткая, в которой Тт То (эта область движется как твердое тело). Границей областей является координата Хц (0. положение которой определяется из решения задачи на границе напряжения и скорости непрерывны. [c.240]

В случае изотропного тела формулы (а) не должны изменяться при любых преобразованиях координат. Преобразуя координаты путем поворота осей на 180°, можно установить, что нормальные напряжения не связаны с угловыми деформациями, а касательные напряжения не связаны с линейными деформациями. Кроме того, касательные напряжения не связаны с угловыми деформациями в других плоскостях. После поворотов осей на 90° и на произвольный угол число упругих постоянных сокращается до [c.32]

В 160 и 162 мы использовали по-разному дифференциалыые уравнения теплопроводности. Если мы хотим рассмотреть совершенно произвольное распределение температуры, скажем, некоторое заданное начальное распределение температуры во всем теле, то потребуются другие методы. Рассмотрим сейчас один из таких методов для случаев плоской деформации или плоского напряженного состояния в полярных координатах. [c.484]

Опираясь на принцип независимости действия сил, рассматриваем две деформации балки в первой из них в поперечных еечениях дейетвуют только Q , и М , а во второй — только и Му Обе деформации являютея прямыми поперечными изгибами, при которых мы умеем определять нормальные напряжения в произвольной точке еечения е координатами г и у по формулам (У.22) и (У.23). Нормальное напряжение в этой точке при еовмеетном действии в сечении и Му найдется как их алгебраическая сумма [c.191]

Общие линейные соотношения между напряжениями sij (/,/=1,2,3) и деформациями ец в ортогональной декартовой системе координат (хиХ2,Хз) для нестареющего вязкоупругого материала с произвольной анизотропией сразу получаются из формулы (9). Используя функции (модули) релаксации iju(t) (г, 1, 2,3), можно записать [c.107]

Рассмотрим механическую систему, состоящую из произвольного деформируемого тела и приложенных к нему распределенных объемных и поверхностных сил = gi, g , gs) и р) = р , p.j., р . Тело закреплено в пространстве с помощью некоторых связей, исключающих его перемещения как жесткого целого (рис. 3.1). Будем считать, что рассматриваемая система находится в состоянии равновесия. Действительные перемещения, соответствующие переходу точек тела из начального ненагруженного состояния в равновесное обозначим и = щ, щ), действительные напряжения — матри-цей-столбцом сг = ст , сгз, х з, tig, Т12 , компонентами которого являются нормальные и касательные напряжения в декартовой системе координат. Деформированное состояние тела, вызванное действительными перемещениями, опишем матрицей-столбцом е = = б1, 63, бд, Y23. Vi3. Т12 . компонентами которого являются относительные удлинения и углы сдвига в декартовой системе координат. Деформации в теле будем считать достаточно малыми, а объем и поверхность тела в деформированном состоянии будем отождествлять с его объемом и поверхностью в начальном недеформированном состоянии. [c.72]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...