Уравнения движения в криволинейных координатах

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [c.248]

Уравнения движения в криволинейных координатах [c.76]

Уравнения движения в криволинейных координатах. Мы хотим получить здесь уравнения неразрывности и движения в произвольной криволинейной системе координат. Для этой цели удобно воспользоваться методами элементарного тензорного анализа читатель, незнакомый с тензорным анализом, может обратиться к работ е [47], где дано ясное изложение этого предмета ), или может пропустить весь этот раздел без значительного ущерба для понимания остальной части статьи. Обозначим через (х, х , х ) координаты точки в произвольной криволинейной системе координат. Мы, как и раньше, положим х = (х, х , х ), однако х здесь нельзя рассматривать как вектор. Движение по-прежнему выражается уравнениями в форме (3.1). которые дают нам положение частицы в момент / в цилиндрической системе координат, например, движение задается при помощи уравнений [c.33]

Лагранжева формулировка уравнений движения полезна для описания континуальных консервативных систем в той же мере, что и для систем сосредоточенных масс, в особенности для уравнений движения в криволинейных координатах. Для системы частиц с п степенями свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. Функция Лагранжа в общем случае зависит от п обобщенных координат и от их производных по времени (обобщенных скоростей). Для континуальной консервативной системы, частным случаем которой является упругое тело, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных по времени и по трем пространственным координатам в большинстве случаев все три уравнения независимы. Функция Лагранжа в них зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и от производных от обобщенных координат по пространственным переменным. Конкретная форма уравнений зависит от системы координат, к которой отнесены пространственные производные. Простейшая форма имеет место в том случае, когда применяется декартова система координат [c.87]

Тогда замена переменных (х,, Хг, Х3) - (9,, дг, д ) взаимно однозначна по теореме о неявной функции. Уравнения движения в криволинейных координатах имеют вид (11.1), где реакция связей К = 1Ч/ + 2 г/2- Найдем компоненты обобщенных сил в (11.1), порождаемые реакцией связей К(0- Имеем [c.66]

На основании вышеизложенного определяют напоры, соответствующие давлениям по средней линии тока в меридиональном сечении проточной части гидропередачи. Известным и исходным при этом является давление питания на входе в насосное колесо по средней струйке. Определение напоров, соответствующих давлению поперек потока в точках пересечения кромок рабочих колес с линией тока тора и линией тока чаши, можно вести согласно теоретическим исследованиям А. А. Дородницына. При выводе закона распределения давлений поперек потока не ставится никаких ограничений, за исключением того, что движение считается установившимся. Воспользуемся уравнением движения жидкости в форме уравнения Лагранжа в криволинейных координатах, пренебрегая массовыми силами [c.33]

Запишем уравнения движения в криволинейной ортогональной системе координат [c.125]

УРАВНЕНИЯ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ. [c.125]

Из этого факта вытекает много важных следствий, например способ быстро писать уравнения движения в криволинейных ч истемах координат, а также ряд качественных выводов, например теорема о возвращении в окрестность начальной точки. [c.52]

Таким образом, для движения вблизи стенки уравнение неразрывности в криволинейных координатах будет по внешнему виду таким, как в декартовых координатах. [c.83]

Движение точки в криволинейных координатах задается уравнениями [c.128]

С целью получения уравнений движения в проекциях на оси локального репера криволинейной системы координат х, хз, хз рассмотрим скалярные произведения ускорения материальной точки и единичных векторов Т1, Т2, тз [c.180]

Таким образом, для составления уравнений движения достаточно выразить в криволинейных координатах элементарную работу силы и кинетическую энергию точки. После этого составление уравнений движения сводится к операциям дифференцирования. [c.182]

Отметим аналогию преобразований в доказательстве этой теоремы с преобразованиями, связанными с выводом уравнений движения одной материальной точки в криволинейных координатах (теорема 3.6.1). [c.525]

Проектируя обе части уравнения (2) на оси любой криволинейной системы координат, получаем уравнение движения точки в криволинейных координатах [c.19]

Для решения поставленной задачи рассмотрим абсолютное движение жидкости. Удобней всего воспользоваться уравнением движения в форме Лагранжа в любых криволинейных координатах [c.33]

Дифференциальные уравнения движения в ортогональных криволинейных координатах приводятся в курсах теории упругости. В результате интегрирования этих уравнений по толщине оболочки с учетом равенств (2) и (4) можно получить следующие уравнения движения, описывающие как слоистые, так и однородные оболочки [163] . [c.219]

Дифференциальные уравнения криволинейного движения. В декартовых координатах уравнения движения свободной материальной точки имеют вид [c.394]

При рассмотрении уравнения движения в пленках, покрывающих криволинейные поверхности, на координаты последних не накладывалось никаких ограничений, за исключением 1. Изотермическая условия их ортогональности. Однако специ- [c.157]

Некоторые применения тензорного анализа в механике 84 Уравнения движения материальной точки (84). Уравнение Лагранжа 2-го рода (84). Формула Громеки (86). Уравнения равновесия в криволинейной системе координат (87). Тензор скоростей деформаций (87). Связь между тензорами напряжений и деформаций (88). [c.6]

Для плоских и осесимметричных течений дадим краткий вывод уравнений движения газа в криволинейных координатах. Если х(1), y(t) — траектория частицы вдоль линии тока, то полная производная какой-либо величины вдоль нее записывается следующим образом [c.125]

Представляют собой уравнения движения в произвольных криволинейных координатах (см. пример 5.7 на с. 227—228 и [15]). [c.215]

Подставляя индексы =1, 2, 3 в уравнение (2.45), приходим к релятивистским уравнениям движения в произвольной ортогональной системе криволинейных координат [c.32]

Мы рассмотрели основные законы движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Сначала мы определили лагранжиан частиц (уравнение (2.15)). Закон сохранения энергии позволил представить скорость частицы в виде функции потенциала (уравнение (2.31)). Затем были получены релятивистские уравнения движения (2.50) — (2.52) в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат. Были рассмотрены частные случаи уравнений движения в декартовой (уравнения (2.53) — (2.55) и цилиндрической (2.60)—(2.62) системах координат. Уравнения движения были затем преобразованы в траекторные уравнения (2.76) —(2.77), (2.80), (2.81) и (2.84) — (2.85) соответственно. Мы ввели релятивистский потенциал (уравнение (2.89)) и показали, что он позволяет использовать нерелятивистские уравнения в магнитных полях даже в случае высоких энергий частиц. Затем был введен электронно-оптический показатель преломления (соотношение (2.92)) и установлены аналогии между геометрической оптикой, с одной стороны, и электронной и ионной оптикой, — с другой. Были определены траектории частиц в однородных электростатическом и магнитном полях посредством точного решения траекторных уравнений. В качестве практических примеров рассмотрены плоские конденсаторы, длинные магнитные линзы, электростатические и магнитные отклоняющие системы, простые анализаторы масс и скоростей. Наконец, были приведены законы подобия электронной и ионной оптики (соотношения (2.183) — (2.188) и (2.190)). [c.63]

В случае обтекания сильно искривленного контура необходимо учитывать влияние центробежных сил, возникающих вследствие искривленности линий тока. Сохраним, как и прежде, обозначение X для координаты вдоль обтекаемого криволинейного контура и обозначение у для координаты, нормальной к контуру. Так как центробежная сила направлена по нормали к контуру, то она войдет только в уравнение движения в проекции на ось у. Следовательно, для случая искривленного контура система уравнений пограничного слоя (2.12), (2.14), (2.15), (2.16) сохраняется, и только уравнение (2.13) надо заменить уравнением [c.500]

Основы учения о движении вязкой жидкости были заложены в 1821 г. французским ученым Навье и получили свое завершение в 1845 г. в работах Стокса (1819—1903), который сформулировал закон линейной зависимости напряжений от скоростей деформаций, представляющий обобщение простейшего закона Ньютона, и дал в окончательной форме уравнения пространственного движения вязкой жидкости, получившие наименование уравнений Навье — Стокса. Используя специальные молекулярные гипотезы относительно свойств реальных газов, уравнения движения вязкого газа выводили в 1821 г. Навье, в 1831 г. Пуассон (1781—1846) и в 1843 г. Сен-Венаи (1797—1866). Урав " нения Навье —Стокса в криволинейных координатах в 1873 г. вывел Д. К- Бобылев. [c.26]

При исследовании движения связанных механических систем, как об этом указывалось в 25, наиболее широко используются дифференциальные уравнения движения в обобщённых (или независимых) координатах, получившие название уравнений Лагранжа второго рода (в дальнейшем мы будем называть их просто уравнениями Лагранжа). Эти уравнения замечательны тем, что не содержат явно неизвестные силы реакций связей, что существенно упрощает решение основной динамической задачи, связанной с движением несвободной системы, — отыскание и исследование законов ее движения. Большое значение уравнения Лагранжа имеют также и для динамики свободных систем, по отношению к которым они являются уравнениями движения в произвольных криволинейных координатах. [c.159]

Введение (86).— 42. Усилие на плоском элементе (86). — 43. Усилия на поверхности и массовые силы (87). — 44. Уравнения движения (87). — 45. Равновесие (88). — 46. Равновесие усилий, приложенных к поверхности элемента объема (89).—47. Характеристика напряженного состояния в данной точке (89).— 48. Единицы напряжения (91).— 49. Преобразование компонентов напряжения (91).— 50. Поверхность напряжения (92).— 51. Различные типы напряжения (92).— 52. Разложение любого напряжения на всестороннее равномерное растягивающее и срезывающее напряжения (94).— 53. Дополнения (95).— 54. Уравнения движения и равновесия, выраженные в компонентах напряжения (96). — 55. Постоянное и равномерно изменяющееся напряжение (97).—56. Замечания, относящиеся к уравнениям в компонентах напряжения (98). — 57. Графическое представление напряжений (99).—58. Уравнения в компонентах напряжения в ортогональных криволинейных координатах (100). — 59. Частные случаи уравнений в компонентах напряжения в криволинейных координатах (102). [c.8]

Выведем теперь из уравнений движения ё декартовых координатах уравнения движения в произвольной системе криволинейных координат. [c.39]

Выведем уравнения движения среды в биполярных координатах (а, р, г). Из уравнений движения в случае ортогональных криволинейных координат (5Л9), опуская вектор массовых сил (Х = 0), учитывая (27.52), а также (27.41) и (27.43), получим систему двух уравнений [c.255]

Заслуживает внимания применение общего уравнения динамики к проблеме приведения [3.43]. В основе метода лежит аппроксимация искомых функций конечными рядами (не обязательно степенными), а затем реализация вариационного принципа, приводящего к приближенным дифференциальным уравнениям и соответствующим краевым условиям. Этим методом Д. В. Бабич в 1966 г. построил динамическую теорию оболочек в криволинейных координатах с учетом несимметричности тензора напряжений [3.14]. Он исходил из аппроксимации компонент вектора перемещений и вектора вращений конечными степенными суммами и из вариационного принципа Гамильтона—Остроградского и вывел дифференциальные уравнения движения и естественные краевые условия. [c.186]

Для того чтобы написать дифференциальные уравнения движения, как это видно из приведенных примеров, необходимо знать выражения для проекций ускорения на оси выбранной системы координат. Существует общий метод, позволяющий единообразно находить дифференциальные уравнения движения в произвольной криволинейной системе координат. Он рассматривается ниже, в главе VI. [c.83]

В работе [8, 9] приводится способ записи уравнений движения в строго консервативной форме в произвольной криволинейной системе координат. Эти уравнения содержат компоненты, определенные в произвольной криволинейной системе координат, в проекциях на оси этой же системы координат. Для каждой точки поля течения в исходной системе координат Хо 1=1, 2, 3) будем рассматривать окрестность точки Ро. Для любой точки Р х х ), при-надлежаш.ей окрестности точки ро, введем величины [c.80]

Специфика лагранжевой криволинейной системы координаг (х ) состоит в том, что при 1 = (о она является декартовой, т. е. при t = ( ), gi =r J = . = 1 II закон сохранения. массы имеет вид ру ё =Ро ( 6, 7). В этой системе координат уравнение движения в векторной форме принимает вид [c.119]

Криволинейное движение точки, как известно из 64, может быть онределено или уравнениями движения в декартовых координатах, или траекторией и законом движения s = f t) по этой траектории. В том случае, когда движение точки определено первым способом, ускорение w находится по его проекциям на декартовы координатные оси, как это рассмотрено в предыдущем параграфе. Когда же движение точки определено вторым способом, ускорение W находится по его проекциям на оси, нанравления которых связаны с данной траекторией, а именно на касательную к траектории, главную нормаль и бинормаль. Но, прежде чем переходить к выводу формул для проекций ускорения на эти оси, необходимо рассмотреть некоторые геометрические понятия. [c.261]

Основная переработка курса была осуществлена при подготовке четвертого издания. Для пятого издания заново написаны главы о цен Iре тяжести в статике сложении движений гвердою чела в кинематике параграфы о скорости и ускорении в криволинейных координатах, а чакже скорости и ускорения в сферических координагах, уравнениях Гамильгона и задаче Ньютона. Часть примеров в статике, кинематике и динамике заменена новыми. [c.4]

Приведем основные зав1гсимости нелинейной теории упругости в криволинейных координатах общего вида [73, 53]. Пусть уравнения движения материальной точки в пространстве, отнесенном к прямоугольным декартовым координатам Хг, Хз, имеют вид [c.59]

Л. Я. Айнола построил геометрически нелинейную теорию упругих оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона—Остроградского 13.2] (1965). Получены также уравнения в возмущениях применительно к исследованию динамической устойчивости начального состояния движения. Исходя из вариационного принципа для геометрически нелинейной теории упругости и вводя основные гипотезы модели Тимощенко, он вывел уточненные уравнения динамики гибких оболочек в криволинейных координатах [3.6] (1968). [c.212]

Рассмотрим движение точки по многообразию М= г ге.Е , Дг, /) = 0). Введем в некоторой области трехмерного пространства криволинейную систему координат (9,, %), положив 9з=Л 1, Х2, X , О- Координаты 9,, д можно, например, выбрать согласно условиям 1 =Х , 92 = Х2, если д//дхзФ в рассматриваемой области пространства. Тогда г = г(д. О и уравнения движения свободной материальной точки (связь отброшена и заменена реакцией) в криволинейных координатах примут вид (см. 3.2) [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...