Полубесконечная трещина. Плоская задача

На основании изложенного представляет интерес постановка и решение задачи плоской теории упругости [91] для безграничной плоскости с полубесконечной трещиной (рис. 1.22) [c.76]

Плоская задача. Рассмотрим задачу о полубесконечной прямолинейной трещине, выходящей на границу слоистой среды (рис. 58). Считаем, что на границах склейки слоев непрерывны векторы смещений и напряжений [c.227]

В данной главе изложен алгоритм [95, 102] расчета статической траектории распространения исходной внутренней трещины, базирующийся на решении плоской задачи теории упругости для тел с криволинейными разрезами. Приложенная к телу нагрузка и форма исходной трещины удовлетворяют некоторым условиям симметрии, так что оба ее конца развиваются одинаково. В этом случае траектория может быть построена без учета зависимости скорости роста трещины от коэффициента интенсивности напряжений в ее вершине. Аналогично может быть рассмотрено распространение краевой или полубесконечной трещины при действии любой несимметричной нагрузки. Изучены случаи развития исходной прямолинейной или двух сдвинутых параллельных трещин в бесконечной плоскости при действии растягивающих усилий на бесконечности или растягивающих сосредоточенных сил. Задачи на каждом этапе сводятся к сингулярному интегральному уравнению для гладких контуров, численное решение которого находится методом механических квадратур. [c.41]

Этот случай для плоской задачи при k=l соответствует задаче Гриффитса (см, рис. 14), при /г—1,12 — одноосному растяжению полубесконечной плоскости с краевой трещиной (см. рис. 16), при k=l(n) (п — число лучей) —всестороннему растяжению плоскости со звездообразной трещиной (см. рис. 18). При [c.97]

Проблеме определения напряжений в окрестности конца трещины, стационарно движущейся по границе склейки двух различных упругих материалов, посвящена работа Р. В. Гольдштейна (1966). В ней рассматривается в условиях плоской деформации движение с постоянной скоростью (меньшей скорости звука в обоих материалах) полубесконечной трещины, на фиксированном расстоянии от конца которой приложены равные по величине и противоположно направленные сосредоточенные силы. Решение с помощью преобразования Фурье и метода Винера — Хопфа сводится к задаче Римана — Гильберта для системы функций с кусочно-постоянными коэффициентами. Продолжая изучение закономерностей развития трещин в склеенных телах, Р. В. Гольдштейн (1967) исследовал поверхностные волны, распространяющиеся в соединенных материалах вдоль границы соединения при различных условиях контакта вдоль этой линии. [c.390]

С помощью приведенной методики и численного обращения преобразования Лапласа в [543] решена антиплоская задача о динамическом нагружении трещины конечной длины в плоскости, а в [550] — плоская задача. Показано, что если нестационарные нагрузки прикладываются к поверхности трещины, то в ее вершинах образуются центры уходящих цилиндрических волн. Пока эти волны не начинают взаимодействовать, решение задачи описывается формулами, полученными для полубесконечной трещины. В частности, коэффициенты интенсивности напряжений в случае мгновенного приложения, нагрузки определяются формулами (2.66) для плоской и (2.67) для антиплоской задач. После начала взаимодействия цилиндрических волн, излучаемых противоположными вершинами трещины, распределение напряжений в окрестности трещины становится более сложным. Через некоторое время 21/Сз волновой фронт сливается в одиу расходящуюся волну, окружающую всю трещину. [c.59]

В рамках теории малых деформаций отклонения от закона Гука нри достаточно больших деформациях приводят к перераспределению напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины. Пусть рассматриваемый нелинейно упругий материал несжимаем и связь между напряжениями п деформациями описывается степенной зависимостью. Будем искать решение для полубесконечной трещины в неограниченной плоскости в условиях плоского напряженного состояния (или плоской деформации). Данная задача впервые была решена в работах [ ], [ [c.304]

Если размер пластической области вблизи фронта трещины мал по сравнению с толщиной оболочки и, кроме того, условия локального разрушения в точках фронта трещины близки к условиям локальной плоской деформации, то критериальная комбинация в принципе может быть определена из решения сингулярной задачи для полубесконечного разреза в пластине и критерия локального разрушения в условиях плоской деформации. Поясним это на простейшем случае, когда фронт разреза прямолинеен и перпендикулярен к плоскости пластины. Сингулярная задача на основании принципа микроскопа ставится так требуется найти решение уравнений теории упругости в полосе z < /г/2 с разрезом вдоль у = О, л < О при всюду свободных от нагрузок границах (см. рис. П87). Поле на бесконечности задается суперпозицией формул (3.44), (3.45), (П.151). [c.590]

В главах 4—6 приведены решения задач дифракции установившихся воли в односвязных телах. Рассмотрены деформируемые тела (в рамках плоской деформации) и пластины с одним препятствием кругового, эллиптического, параболического и других форм поперечного сечения. Изложены решения задач дифракции волн на сферических, сфероидальных и более сложных телах вращения. Существенное внимание уделено задачам дифракции волн на отражающих поверхностях в виде полубесконечных и конечных трещин. Числовые результаты приведены как для случая полостей указанной формы, так и для случая включений из другого материала. [c.7]

Как известно (см. первую главу), основные граничные задачи плоской теории упругости для тел с разрезами сводятся к системе сингулярных интегральных уравнений по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. В некоторых частных случаях граничных контуров 70, 95] (круговая граница, бесконечная прямолинейная граница, система коллинеарных разрезов) возможно понижение порядка этой системы уравнений, что позволяет более эффективно находить ее численное решение. В данной главе (см. также работы 59, 60]) получены модифицированные таким образом сингулярные интегральные уравнения, когда в рассматриваемой области имеется прямолинейная конечная или полубесконечная треш,ина. (Случай конечной прямолинейной треш,ины рассмотрен в работах [58, 104].) Указанный подход, когда граничное условие на прямолинейной треш,ине выполняется тождественно, позволяет не только эффективнее находить численное решение задачи, но и сравнительно просто изучать действие сосредоточенных сил и разрывных нагрузок на берегах трещины, а также рассматривать краевые разрезы. Решение задач для областей с прямолинейной тре-Ш.ИНОЙ представляет особый интерес в механике разрушения (определение /С-тарировочных зависимостей для опытных образцов с трещинами, развитие трещин около концентраторов напряжений). [c.102]

Будем рассматривать стационарную задачу для полубесконечной плоской трещины xпостоянной скоростью о, полагая, что перемещение и повороты зависят лишь от двух переменных тt = x - ui и у. [c.281]

К решению динамических задач теории упругости метод Винера— Хопфа (см. I гл. I, и. 4) впервые был применен при исследовании стационарной задачи дифракции на полубесконеч-ном разрезе со свободными краями, а также при изучении напряженного состояния, возникающего при мгновенном образовании полубескоиечной трещины. В этих задачах имеют место смешанные граничные условия, заданные на двух полубесконечных интервалах, при одном граничном условии, сквозном по всему бесконечному интервалу. Ниже на примере решения плоской задачи о вдавливании гладкого штампа [59] проиллюстрируем применение этого метода в динамической теории упругости. Для простоты ограничимся случаем полубесконечного штампа. [c.483]

В малой но сравнению с размерами тела и тpeн ины окрестности произвольной точки контура трещины среда находится в условиях плоской задачи, и при изучении процесса деформирования можно рассматривать трещину как полубесконечную и прямолинейную. При этом для напряжений, смещений, электрического потенциала и электрического поля можно использовать соответствующие асимптотические распределения в малой окрестности точки контура трещины. [c.72]

Отсюда вытекает, что вблизи точки О в плоскости 0xix2 асимптотачески реализуются условия плоской задачи, если линейный размер рассматриваемой окрестности точки О мал по сравнению с радиусом кривизны фронта трещин в этой точке или по сравнению с каким-то другим характерным линейным размером тела и трещины. Рассмотрим именно такую окрестность точки О при этом все переменные поля будут зависеть лишь oixi их2 (соответственно от л 1 и лгг), а зависимостью их от л 3 (и от можно пренебречь . Процесс локального развития трещины в точке О можно рассмотреть в переменных х[ и Х2 на плоском чертеже рис. 1, б при этом трещина изобразится в виде полубесконечного математического разреза вдоль Х2 = О, x l < О (— < хз < + ) фронт трещины изобразится одной точкой О, которую далее будем назьшать концом трещины. [c.9]

Рассмотрим окрестность произвольно выбранной точки О контура трещины, малую сравнительно с характерным линейным размером тела и трещины. Сплошная среда в малой окрестности каждой точки гладкого контура трещины находится в условиях плоской задачи, т. е. щ, Oij, уо, I и т. д. не зависят от Z (см. рис. 13). Поэтому процессы деформирования и разрушения тела в рассматриваемой малой области вблизи точки О можно изучать на плоском чертеже (рис. 71), считая трещину полубесконечной, прямолинейной и имеющей всюду свободную от внешних нагрузок поверхность, а размер в направлении нормали к чертежу — равным единице длины. При этом во всей области, и в том числе в бесконечно удаленной точке, все функции, характеризующие напряжения, омещения, температуру [c.222]

Было покаэано, что при падении антиплоской волны трещина не отклонится от прямолинейной траектории, если только эффективная поверхностная энергия не зависит от угла отклонения. В случае же падения плоской волны удается определить время tp, угол отклонения и скорость распространения трещины эти величины зависят, естественно, от предварительных напряжений и угла падения волны. Для определения напряжений вблизи вершины отклонившейся трещины использована схема возмущения, позволяющая свести задачу с отклонившейся треииной к задаче с прямолинейной трещиной, но при модафици-рованных граничных условиях на берегах трещины. Учитывая актуальность построения упругодинамических решений для отклонившейся и разветвленной трещины, рассмотрим подробнее достигнутые в этом направлении результаты. Большинство из них в случае ветвления получено в предположении автомодельности задачи. Внезапное ветвление начально стационарной трещины приводит к автомодельному решению, если каждая ответвленная трещина распространяется с постоянной скоростью, начиная с того момента, когда или падающая волна напряжений достигает вершины полубесконечной трещины, или [c.176]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Наиболее просто решается задача о взаимодействии упругих волн с полубесконечной трещиной в плоскости. Решение этвй задачи для гармонических волн в случае антиплоской деформации рассмотрено в 146], а в случае плоской деформации — в [516]. Однако в этих работах исследованы характеристики поля вдали от вершины трещины. Причем, как показано в [397], решение, полученное в [516], некорректно, так как имеет особенность в перемещениях при г О. Корректное сингулярное решение и коэффициенты интенсивности напряжений, соответствущие этим задачам, получены в [398] для гармонического и произвольного динамического нагружения. Особенность этих решений в том, что в этом случае невозможно провести сравнение со статическим решением, так как решение при нулевой частоте отсутствует, а в случае ударных нагрузок в первоначальный момент времени (до прихода в вершину волн, отраженных от противоположной вершины) совпадает с результатами, полученными для трещин конечной длины. [c.36]

Для плоской задачи функции 5 , определим применительно к факторизации, проводимой для решения задачи о полубесконечной трещине, движущейся с дорэлеевской скоростью, т. е. в соответствии со вторым вариантом факторизации из указанных соотношениями (3.18). Основываясь на формулах (1.24), (1.29), (1.30), (3.8), (3.10), (3.12), [c.213]

При решении поставленных выше задач применяются как численные, так и аналитические методы в сочетании (в некоторых случаях) с результатами соответствующих экспериментов. Аналитические методы применяются, как правило, для плоских конструкций (бесконечная плоскость с полубесконечной или конечной трещиной, полоса с полубесконечной или конечной трещиной, а также пространство с круговой в плане (дисковидной) трещиной). Аналитические решения задач динамической механики разрушения в случае трещин нормального разрыва, поперечного сдвига и продольного сдвига позволяют сделать важнейшие качественные выводы о процессах, предшествующих хрупкому разрушению при динамическом нагружении, и о распространении фронта разрушения. [c.404]

Поле напряжений и деформаций в телах с трещиноподобными полостями можно представить себе [98 ] склеенными из двух решений, одно из которых описывает детально все особенности структуры вблизи края трещины (внутреннее разложение), а другое описывает поле напряжений и деформаций в теле с математическим разрезом нулевой толщины, проведенным вдоль срединной поверхности полости (внешнее разложение). Предельные асимптотики того и другого решения с точностью до множителей представляют собой решение канонической сингулярной задачи теории упругости для полубесконечного плоского разреза с прямолинейным краем. Это решение имеет следующую структуру [c.103]

Амплитуды отраженных волн легко находятся из граничных условий на трещине. Для определения коэффициентов tii, tih и Tiiii в асимптотических формулах (3.193) необходимо найти рещения сингулярных задач о падении монохроматических плоских волн на полубесконечный прямолинейный разрез, свободный от внещних нагрузок (см. рис. 21). [c.125]

Аналс ичные задачи были поставлены и решены для случая продольного сдвига. Для полубесконечной стационарной трещины решение является частным случаем решения [15] о распространении трещины с произвольной скоростью. Коэффициенты интенсивности напряжений в случае трещины конечной длины, нагруженной ударным импульсом продольного сдвига, определены в [102]. Там же исследовано развитие плоской круговой в плане трещины в пространстве под действием ударных растягивающих и крутящих нагрузок, а также ряд задач для трещины в полосе. [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...