Комплексные координаты и компоненты

В предыдущих главах использовались прямоугольные декартовы координаты. В этой главе будут введены комплексные координаты и компоненты векторов, тензоров. Комплексные величины упрощают промежуточные выкладки и дают более компактные и обозримые окончательные зависимости. Для некоторых классов задач удобно вводить функции комплексной переменной. Комплексную запись можно рассматривать как аналог векторной. Материалы гл. 4 следует рассматривать как дальнейшее развитие комплексного метода Г. В. Колосова [27]. [c.46]

Получить решения следующих задач в полярных координатах с помощью заданных комплексных потенциалов. Найти компоненты напряжения и перемещения. А, В, С, D обозначают постоянные, не обязательно действительные. [c.197]

В связи с этим посмотрим, как преобразуются компоненты тензора напряжений и вектора перемещений в плоскости z при переходе от декартовой системы координат х и у к указанной криволинейной системе координат установим вид зависимости компонент тензора напряжений и вектора перемещений в этой криволинейной системе координат от вспомогательной комплексной переменной и сформулируем граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции комплексного переменного ф (г) и (г) в плоскости на единичном круге, соответствующем границе С в плоскости 2. [c.500]

Применяя для их аналитического выражения метод комплексных чисел и отнеся компоненты каждого цилиндра к его собственной оси, как к оси координат, получим, что гармонические составляющие сил первого порядка с амплитудой Ах будут выражены следующим образом [c.148]

Матрицу М называют матрицей (оператором) Джонса. Она характеризует данное оптическое устройство и не зависит от состояния поляризации проходящего излучения. Вид матрицы Джонса, вообще говоря, зависит от ориентации поперечных осей выбранной системы координат и от направления прохождения волны через оптический элемент. Матрицу Джонса можно рационально нормировать, умножая все ее элементы на комплексный множитель. Практически удобной и потому распространенной нормировкой оказывается такая, при которой компоненты собственных векторов матрицы [c.145]

Для построения операторов, которые должны представлять динамические переменные и наблюдаемые, как правило, применяются один или несколько из следующих подходов. Во-первых, образование квантовомеханических величин может выполняться по аналогии с классическими величинами примерами могут служить координаты и импульсы, а также комплексные нормальные координаты гармонического осциллятора. Во-вторых, можно строить операторы из других операторов например, операторы компонент орбитального момента количества движения выражаются через операторы координат и импульсов, причем формально сохраняется существующая в классической теории связь между этими величинами. Поскольку применяемые операторы не во всех случаях коммутируют, то при формировании произведений этот метод не всегда однозначно приво- [c.74]

Ромбоэдрическая система. Рассмотрим класс и выберем систему координат с осью z вдоль оси 3-го порядка и осью V, перпендикулярной к одной из вертикальных плоскостей симметрии. Для выяснения ограничений, налагаемых на компоненты тензора наличием оси Сд, удобно произвести формальное преобразование, введя комплексные координаты y согласно [c.680]

Получим выражения для комбинаций (1.48) и (1.49) физических компонент тензора напряжений и вектора перемещений в системе координат р (х, у) и в (х, у) через комплексное переменное Для этого во всех функциях комплексного переменного 2 проведем замену переменной 2 = х ( и сохраним для краткости прежние обозначения для новых функций [c.503]

Если винт и задан комплексными прямоугольными координатами Uj , и у, и г, а винт R — соответственно координатами X, Y, Z, то выражения для комплексных прямоугольных координат скорости изменения винта R (в частности, прямой твердого тела, если R — единичный винт) получаются из формулы (7.17) как компоненты винтового произведения [c.160]

При необходимости получить ТКС или другую информационную совокупность для конкретного типового элемента, входящего в комплекс, выполняются следующие действия из комплексной ТКС выбираются кортежи О только для тех элементов низшего порядка, которые имеются у типового элемента определяются все основные размеры, качественные признаки и координаты, определяющие положения элементов низшего порядка, которые присваиваются соответствующим компонентам ТКС типовой детали. [c.144]

Компоненты комплексного вектора z могут быть представлены в декартовых координатах ху + 2 . Здесь и г/ - действительная и мнимая часть числа 2 , i [c.350]

Поскольку в формулы для напряжений не входят функции, зависящие от температуры, остаются справедливыми выражения для главного вектора (1.7) и главного момента (1.9), формулы преобразования комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) при переходе к новой системе координат (1.11) и все соотношения, связывающие компоненты напряжений с функциями Ф (z) и Ч (z), полученные в условиях силовой задачи. [c.227]

Дадим еще одно определение. Пусть а — вектор в плоскости Х Х2 ai И tt2 — его компоненты в декартовой системе координат. Тогда выражение а = ai -ia2 будем называть комплексным представлением вектора а. [c.249]

Следует подчеркнуть, что эти выражения являются компонентами абсолютной скорости жидкости в движущихся осях для фиксированной точки пространства, координаты которой в рассматриваемый момент времени равны г и в. Единственное свойство, которое требуется от комплексного потенциала, это то, чтобы его производная давала бы выражение для скорости. Учитывая также, что [c.226]

Эта формула очень удобна тем, что не содержит интегралов. Пусть а, + в выражении для комплексного потенциала (1). Тогда, вспоминая. что W=U + iV, где и, V—компоненты скорости начала координат, мы придем к следующим формулам [c.238]

Напомним формулы, выражающие компоненты напряжения и смещения в соответствующих криволинейных координатах, через функции Ф ( и Т (Р комплексной Переменной ( 50) [c.464]

Вектор 8 и скаляр N определены соотношениями 8 = = ер стер 2, N = (р (р/2, где ер — двумерный спинор с компонентами а1, (12, а — матрицы Паули. В комплексном пространстве с координатами [c.373]

Способ основан на том, что каждая бигармоническая функция может быть представлена двумя аналитическими функциями комплексной переменной. При применении декартовых координат х = X, Х2 = у компоненты напряжений и перемещений в плоском случае Охх, Оуу, Хху и Ых = и, Ну = и могут рассмат- [c.119]

Поворот системы координат. При повороте системы координат, согласно рис. 8.5, перемещения и = их и V = Ну переходят в и соответственно в Ит), и для компонент вектора справедлив закон преобразования в комплексной форме [c.211]

Произвол в выборе этих функций ограничивается формулами Колосова. При этом можно установить общую структуру комплексных функций напряжений. Потребуем, чтобы компоненты напряжений и перемещений в упругом теле были непрерывными и однозначными функциями координат. При этом должна быть учтена топология рассматриваемой области. [c.212]

Аналогичным образом можно учесть влияние поворота системы координат на угол а (рис. 8.9 (Ь)). В отличие от п. 8.4.1.4, в котором уже обсуждались соответствующие преобразования компонент напряжений и деформаций, теперь повернутые оси координат будут обозначаться через Х и у. Покажем, как производится пересчет комплексных функций напряжений при таком повороте. Справедливы равенства [c.219]

Отметим, что мы использовали (78.2), чтобы исключить множитель 1/2 отметим также, что координата (х ) и импульс i a(x A) являются сопряженными переменными. Из-за комплексной экспоненты в (78.1) возникает сложность в вычислениях, связанная с комплексным полем смещений хи>( к). Удобно рассматривать переменные хЮа Х к) как ах-компоненты векторного поля XV( к). Очевидно, имеется всего Зг таких компонент [c.205]

Из соотношений (80.9) и (80.10) можно видеть, что комплексные нормальные координаты у являются декартовыми компонентами смещений, умноженными на /и спроектирован- [c.210]

Так же как и в плоской задаче, к существенному упрощению приводит симметрия. Пусть компоненты перемещения и =и, Ы2=и симметричны относительно плоскости х =г = 0 (здесь г - координата, а не комплексная переменная), а антисимметрична. Положим [c.30]

В качестве контура С выберем контур, состоящий из мнимой оси и полукруга с центром в начале координат, лежащего в первом и четвертом квадранте. В силу аналитических свойств функции F(a), отмеченных выше, она не имеет особенностей в правой полуплоскости. Если F(o) имеет нули в правой полуплоскости, то выбором достаточно большого радиуса можно добиться того, чтобы все нули и полюса лежали внутри данного контура С. Контур С, представляющий собой объединение отрезка мнимой оси, симметричного вокруг нуля и полуокружности радиуса R с центром в нуле Сц = а = > , >> / и с = а = R ехр ф, - я / 2 < ф < тс / 2), где у - вещественная переменная, при отображении о F o) переходит в контур С, = F( q)(j F ), где составляющие компоненты i задаются уравнениями в комплексной плоскости F( t) F( q) = А- (з )ехр[ф ( )], F( ) = Г2(ф)ехр[ф2(ф)] с конкретными функциями/ ,, ф / = 1,2. [c.10]

Многие задачи теории когерентности упрощаются, если комплексная степень когерентности рассматриваемого излучения может быть представлена в виде произведения компоненты, зависящей только от пространственных координат, и компоненты, зависящей только от временной задержки. Такая функция когерентности называется приводимой. Это условие, как мы увидим, эквивалентно некоторому условию в спектральном представлении, называемому условием взаимной спектральной чистоты. Данное понятие было введено Манделем [5.25]. Для большей ясности мы сначала (п. А) рассмотрим общую задачу какова форма полной спектральной плотности мощности при наложении двух разных световых пучков с одинаковой нормированной [c.181]

Если обходить любую окружность onst против часовой стрелки, начиная двигаться влево от оси у (рис. 120), координата ц будет изменяться от —л до л. Следовательно, функции, которые должны описывать компоненты напряжения и перемещения, должны при г -= иметь те же значения, что и при — — я. Это будет обеспечиваться, если они будут периодическими функциями от г с периодом 2я. Это означает, что комплексные потенциалы и х( ) можно взять в форме [c.209]

Анализ, выполненный в 87—100, дает возможность завершить рассмотрение 86. По определению физическим неприводимым представлением является неприводимое копредставление. В (86.28) и (86.30) были получены правила преобразования комплексных нормальных координат (фурье-компонент) [c.284]

Уравнения (86), (87) и (89) определяют декартовы компоненты перемещения и напряжения через комплексные потенциалы ф (г) и х( )- Когда используются криволинейные координаты, ком-нлексные потенциалы можно считать функциями а г выражается через уравнением тина (ж) 60, определяющим криволинейные координаты. Таким образом, представление о , гг, и через и т не встречает затруднений. Однако обычно удобнее опре,це-лить напряжения следующим образом [c.195]

При сравнении аффиноров (10) и (2) нетрудно заметить, что в отличие от векторного аффинора (2) компонентами винтового аффинора (10) в общем случае являются девять попарных скалярных произведений единичных винтов рассматриваемых систем координат или девять косинусов комплексных углов, взаимно составленных осями координат. Среди различных разновидностей винтовых аффиноров выделим, в первую очередь, два нулевой (или нуль-аффинор) аффинор Oj обращаюишй каждую тройку винтов в нуль-винты, и единичный аффинор Е, имеющий единичную матрицу (см. гл. 4) последний оставляет без изменения тройку винтов после образования. [c.77]

Характерной чертой каждого из прямых геометрических методов является, как уже отмечено выше, применение уравнения замкнутости контура, образованного осями симметрии звеньев. В методах В. А. Зиновьева, Веккерта—Верле и Ф. Рейвена компонентами уравнения замкнутости (12. 1), (12. 9), (13. 15) являются обыкновенные скользящие векторы, причем в первых двух методах они представляются в конечном итоге в виде проекций на декартовы оси координат, а в методе Ф. Рейвена — в комплексной форме, дающей также возможность получения уравнения в проекциях на оси координат. [c.189]

Для сверхтекучей компоненты He" (см. Гелий жидкий. Квантовая жидкость) областью вырождения D состояний, описываемых волновой ф-цией il = I 1 I ехр (/ф), будет область возможных значений волновой ф-ции при фиксированном её. модуле i ]. Физически -jto связано с т. и. Eoje — Эйнштейна конденсацией бесспиновых атомов изотопа Не в состоянии с найм, энергией жидкости при темп-ре Т< Тс, т. с. с накоплением в одном и том же состоянии большого числа частиц квантовой жидкости. Если пренебречь сла-бы. взаимодействием между атомами жидкости, то при T=Q К в состоянии с мин. энергией будут находиться все без исключения частицы, что и позволяет описывать их одной и той же (не зависящей от координат частиц) волновой ф-цией / = ф схр((ф). Нормированная волновая ф-ция Ф(дг) = (1 / / )ехр [/ф(х)] в этом случае играет роль параметра порядка, т. е. на комплексной плоскости, область вырождения представляет собой окружность > = 5 вдоль к-рой меняется фаза (р (вырождение состояний по фазе). На основании того, что 7С2(5 )=0, rrj(5 )=Z, заключаем, что точечных дефектов в Не нет в то же время линейные дефекты — вихри в Не — будут устойчивыми [c.138]

При решении плоских задач У. т. (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят только от двух координат) широкое применение находят методы теории ф-ций комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых в технике, найдены приближённые решения многих практически важных задач на основе нек-рых упрощающих предположений. Применительно к этим объектам интерес представляют задачи об устойчивости равновесия (см. Устойчивость движения). [c.235]

Примечания. 1. Термин колебания является родовым по отношению к термину вибрация . Первый из них охватывает колебания величин и колебания объектов (в том числе геометрических фигур и физических тел). Если говорят о колебаниях нескалярных величин, то подразумевают, что колеблются их скалярные компоненты (например действительная и мнимая части комплексной величины, декартовы координаты вектора и т. д.). Термин вибрация обозначает только определенный класс движений объектов (геометрических фигур и физических тел). В указанных пределах термины колебания и вибрация могут быть взаимозаменяемыми. [c.509]

Использование внутреннего поперечного электрооптического эффекта определяет некоторые существенные отличия ПРИЗа от модуляторов с продольным эффектом по функциональным возможностям и параметрам. Одно из них связано с необычной для светочувствительных регистрирующих сред передаточной характеристикой. Для ПРИЗа она представляется двумерной комплексной нечетной функцией, имеющей нулевое значение в начале координат, как это обсуждалось в разделе 7.5.2 для ПВМС с поперечным электрооптическим эффектом. В результате после записи изображения воспроизводятся в преобразованном, закодированном виде с подавленной нулевой компонентой в фурье-спектре считываемого изображения. Такое преобразование оказывается весьма полезным в некоторых системах оптической обработки информации. Свойство автоматически выполнять преобразование изображений отражено в названии модулятора (ПРИЗ — аббревиатура от преобразователь изображений ). Кроме того, в определенном режиме работы ПРИЗ имеет необычные динамические свойства — так называемый эффект динамической селекции изображений, который будет обсуждаться ниже. [c.171]

Если в условиях ооевой симметрии обозначить через г, 0, цилиндрическую систему координат, то, как показал Г. Н. Положий [4], комбинацию 2fx (ги + iw), где и, W — компоненты вектора смещений в направлении осей г и можно выразить через две произвольные jo-ana л итические функции от г + с характеристикой р i /г по формуле, вполне аналогичной представлению Колосова — Мусхелишвили для случая плоской деформации. Эта формула после использования соответствующим образом определенных аналогов интегралов типа Коши для р-аналити-ческих функций позволяет свести решение основных граничных задач в рассматриваемом случае к решению некоторых одномерных интегральных уравнений относительно граничных значений р-аналитических функций комплексного переменного. [c.632]

Осесимметричный электростатический или магнитный скалярный потенциал можно вычислить по его осевому распределению, используя расходящийся ряд (3.20) или комплексный интеграл (3.112). Компоненты электрического поля и вектора магнитной индукции определяются рядами (3.38) —(3.40) и (3.45) — (3.47) соответственно. Комплексный интеграл может -быть вычислен только для аналитических функций. Разложение степенного ряда требует, чтобы осевое распределение задавалось как 2(п—1) раз дифференцируемая функция координаты Z, где п — число членов степенного ряда. К сожалению, для лриемлемой сходимости необходимо весьма большое п. Если осевое распределение задано набором численных данных (что является обычным при процедурах оптимизации, обсуждаемых дальше) или даже если оно известно в виде громоздкой аналитической функции, то производные высших порядков необходимо получать численными методами, которые дают большие погрешности (см. разд. 3.3.5.1). [c.532]

Введем в пространстве четырехкомпонентных векторов фзшкций IV понятие скалярного произведения. Введем скалярное произведение таким образом, чтобы оно не завртсело от координаты г, ш п тоже время произведение вектора самого на себя было пропорционально потоку вектора Умова-Пойнтинга. Для этого запишем (3.256), (3.257) в обычной форме для Е1, Н2 и для комплексно сопряженных компонентов [c.206]

Так как рассматриваемые нами прямолинейные бесконечно тонкие вихревые нити параллельны, то можно (пересекая их перпендикулярной плоскостью) рассматривать вызванное этими вихрями движение как плоское. Обозначив декартову систему прямоугольных координат в этой плоскости через х и у, можно свести задачу движения к следующей задаче установить зависимости между комплексными переменными г = х 1у и гг = ф -)- 11 , гдеф — потенциал скорости и ф — функция тока. Обозначив дальше компоненты скорости по осям координат в точке х, у) через и ш V, получим уравнение [c.168]

Хотя названные предельные случаи могут служить некоторыми отправными пунктами, для достаточно точного описания эффектов необходимо анализировать излучение реального лазера. Полуклассическое описание реального лазера содержится в разд. 3.12, в котором для учета квантовой природы процессов были введены флуктуационные силы. Эта нелинейная теория, позволяющая описать выходную мощность и ширину линии, оказывается весьма плодотворной также и для описания статистических свойств. Результатом этой теории было получение уравнения (3.12-32) для определения зависящей от времени компоненты напряженности поля в резонаторе. В принципе из этого уравнения можно вывести статистические свойства напряженности поля и различные корреляционные функции. Однако при заданной форме уравнения (3.12-32) или (3.12-27) и при заданных характеристиках появляющихся флуктуационных сил оказывается более целесообразным для расчета перейти к уравнению Фоккера — Планка. В данном случае речь идет о дифференциальном уравнении в частных производных для вероятности найти в момент времени I комплексную нормированную амплитуду на пряженности поля а в определенном интервале значе ний [3.3-4,1.-6]. Путем подходящего выбора единиц для координат можно добиться того, чтобы в дифференци альное уравнение входил только безразмерный пара метр накачки р, заданный уравнением (3.12-40) В стационарном случае как важный результат полу чается распределение интенсивности / лазерного из лучения. Функция WlQ однозначно зависит от нормиро ванной интенсивности = ///о и от параметра накач ки р, где /о — средняя интенсивность у порога (р = 0) если Я < О, то 1 = 0. Следует различать три области Достаточно далеко ппжс порога р < 2) имеем в хо [c.455]

В(к). В нескольких следующих параграфах мы построим базисные блоховские векторы, которые осуществляют приведение З . Мы установим их связь с фурье-компонентами смещений, динамической матрицей и собственными векторами динамической матрицы. Будут определены возникающие в таком рассмотрении комплексные нормальные координаты, для которых будут устд- [c.202]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...