Собственные векторы динамической матрицы

Следует специально отметить, что (75.5) и (75.6) показывают, что совокупность всех вырожденных физических собственных состояний, являющихся вырожденными собственными векторами динамической матрицы, образует базис для вещественного неприводимого представления группы . Обратное утверждение, очевидно, не верно. Иначе говоря, не каждое неприводимое представление группы соответствует физическому собственному состоянию. Одна из причин ошибочности обратного [c.198]

Собственные векторы динамической матрицы [/)(/г)] [c.206]

Зг собственных векторов динамической матрицы (78.18) обозначим через [c.206]

В этом параграфе мы суммируем полученные в предыдущих параграфах результаты и установим соотношения между собственными векторами динамической матрицы [/)(й)] и существенным вырождением, обусловленным группой симметрии [c.224]

Собственные векторы динамической матрицы (33.4) получаются, как и в (т. 1, 79.4), диагонализацией матрицы [c.233]

Потенциальную энергию можно записать аналогичным образом, учитывая тот факт, что векторы поляризации являются собственными векторами динамической матрицы О (к) [см. (22.57)] [c.373]

Таким образом, задача определения собственного спектра /Сг), Ът), г=1,. .и, цепной модели (14.2) сводится к решению алгебраической задачи о собственных значениях и векторах симметричной динамической матрицы А с вещественными элементами. [c.228]

Сначала с целью создания основы для анализа периодической системы будет выполнен анализ линейной стационарной системы. Хотя основным объектом исследования в настоящ,ей главе являются периодическая система и особенности ее поведения, решение стационарных систем проще, и они более широко используются. Рассмотрим систему, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями вида х = Лх + Вх, где А я В — постоянные матрицы. Вектор состояния х имеет размерность п. Динамические характеристики этой системы определяются собственными значениями и собственными векторами матрицы А. Система порядка п имеет п собственных значений Я/ (/= ,..., ) и соответствующих им собственных векторов U/, являющихся решениями системы алгебраических уравнений А — kjl)Uj = 0. Эти однородные уравнения имеют ненулевые решения только в том случае, когда det(y4 — kl) = [c.341]

В гл. 10 на основе теории представлений изучаются и систематизируются различные вопросы классической динамики решетки. Рассмотрение включает теорию инвариантов, вычисление тензоров, влияние ангармонизма и обсуждение того, как, используя свойства симметрии, определить собственные векторы нормальных колебаний и, таким образом, факторизовать динамическую матрицу. Изложение квантовой динамики решетки в гл. 11 следует традиционному рассмотрению в рамках адиабатического приближения Борна — Оппенгеймера. Однако, развивая традиционное рассмотрение, мы строим здесь параллельно теорию симметрии собственных функций. Преобразование собственных функций решетки при преобразованиях симметрии дает удобный способ характеристики основного и возбужденных состояний системы связанных гармонических осцилляторов решетки. Такое рассмотрение позволяет также исследовать интересную внутреннюю связь между теорией симметрии системы, имеющей пространственную группу или пространственно-временную группу д, и теорией симметрии системы тождественных [c.20]

Предположение о существенном вырождении позволяет установить связь между чисто математическим анализом в главах 2—7 неприводимых представлений пространственной группы и физическим смыслом свойств симметрии собственных векторов и динамической матрицы [/)]. Тогда индексы /р, характеризующие собственные векторы в (75.1), можно сопоставить с индексами к) т) представлений [c.199]

Кристаллическая симметрия, динамическая матрица [Х)(й)] и ее собственные векторы [c.210]

После общей теории в 101 — 104 даются конкретные приложения к задаче определения симметрии собственных векторов и факторизации динамической матрицы для любого заданного кристалла. [c.234]

Хотя итерационный метод позволяет находить только несколько собственных значений и собственных векторов системы, это не мешает использовать метод нормальных форм колебаний при определении динамических перемещений в системе. Если найдены форм колебаний, где < п, матрица форм (или Х ) содержит вместо п только 1 столбцов. Такая прямоугольная матрица не имеет обратной матрицы, поэтому вместо выражений, содержащих обратные матрицы, следует использовать выражения (4.44а) и (4.446), в которых имеются транспонированные матрицы Хм и Хн при этом удается определить только первых нормальных форм колебаний, тогда как влиянием остальных форм колебаний на суммарное динамическое [c.298]

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко распространен на системы с п степенями свободы, при этом основные соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52) J сохраняют свою форму неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения матрицы порядка п X п, содержащей комплексные числа. Если собственные значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно непосредственным путем определить динамические перемещения по формам колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ниже, будут рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции, либо произвольного вида периодических функций, при этом будет предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором говорилось в предыдущем параграфе. [c.306]

Видно, что параметр к здесь оказывается собственным значением матрицы [ ]. При рассмотрении колебаний решетки это есть, разумеется, обычная динамическая матрица для квадратов частот [со (q)] нормальных колебаний с волновым вектором q. В простейшей модели металла с сильной связью, когда каждому узлу соответствует один атомный уровень энергии, мы получаем типичную зону разрешенных состояний с энергиями [c.339]

В(к). В нескольких следующих параграфах мы построим базисные блоховские векторы, которые осуществляют приведение З . Мы установим их связь с фурье-компонентами смещений, динамической матрицей и собственными векторами динамической матрицы. Будут определены возникающие в таком рассмотрении комплексные нормальные координаты, для которых будут устд- [c.202]

В этом параграфе рассматриваются вопросы, связанные с распределением собственных значений в зоне, т. е. с плотностью состояний. Плотность состояний при заданной энергии Е равна числу различных собственных векторов динамической матрицы в интервале энергии между и + йЕ. Плотность состояний зависит от к. Критической точкой плотности состояний называется энергия Е или волновой вектор к, при которых плотность состояний имеет сингулярность. В частности в критической точке производная плотности состояний по энергии обращается в бесконечность. Краткое рассмотрение критических точек дано в книге Кохрана и Каули [8] этот вопрос обсуждается также в работах [63, 85]. [c.312]

Соответственно наборы собственных векторов динамических матриц [О (к)] и [0 к 2лВн)] должны быть одинаковыми (за исключением, возможно, знака или в общем случае фазового множителя с равным единице модулем). Следовательно, набор [c.145]

В табл. Г8 указана симметрия и тип фононов в главных критических точках. Как и в случае алмаза, некоторая неопределенность этих результатов может быть устранена путем измерения или расчета симметрии собственных векторов динамической матрицы. Табл. Г9 и ПО содержат информацию о проявлении двух- и трехфононных процессов в спектрах ин а-красного поглощения и (или) комбинационного рассеяния. Эти [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...