Закон упругости для изотропного материала

Закон упругости для изотропного материала [c.35]

Напряжения и внутренние силы в оболочке. Возникающие в оболочке нормальные напряжения связаны с деформациями соотношениями упругости. Для изотропного материала закон, Гука имеет вид [c.127]

Теперь наша задача будет состоять в том, чтобы установить закон пластичности при сложном напряженном состоянии. Вспомним сначала, как был получен закон Гука для сложного напряженного состояния. Для изотропного материала опыт на растяжение одного единственного образца дает всю необходимую информацию об упругих свойствах. Для этого нужно измерить продольное удлинение и поперечное сужение. Напряжение, поделенное на продольное удлинение, есть модуль упругости Е] отношение поперечного сужения к продольному удлинению есть коэффициент Пуассона .i. Из линейных соотношений вытекает принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил. Пользуясь этим принципом, мы построили обобщенный закон Гука для сложного напряженного состояния. [c.51]

Приходим к выводу, что упругие свойства изотропного материала характеризуются двумя упругими постоянными Л и В. Установим связь полученной записи закона Гука для изотропного тела с рассматривавшимися в гл. VII. [c.479]

Частный случай изотропии. Опытные данные позволяют рассматривать все конструкционные материалы до некоторых пределов нагружения как упругие и подчиняющиеся закону Гука. Аппроксимация экспериментальных данных законом линейной упругости (законом Гука) приводит при одноосном напряженном состоянии для изотропного материала к общеизвестной формуле [c.27]

Закон упругости для несжимаемого изотропного материала [c.41]

При этом тензор упругих деформаций связан с тензором напряжений обобщенным законом Гука, который для изотропного материала можно записать в виде [c.182]

Упругий потенциал строим исходя из условий [71] и его перехода при инфинитезимальных деформациях в закон Гука, что для изотропного материала имеет вид [c.515]

Распределение напряжений в поперечном сечении цилиндрического стержня, подвергнутого кручению за пределом упругости двумя моментами на небольшой угол относительно своей оси, может быть установлено достаточно просто для изотропного материала, при произвольном законе деформирования этого материала ). Для сравнительно малых значений относительного угла закручивания допустимо считать, что деформации в цилиндре представляют собой простой сдвиг пропорциональный расстоянию г рассматриваемой точки Р от оси стержня. Это равносильно предположению, что одно из двух поперечных сечений, расположенных на взаимном расстоянии I, повернется вокруг общей оси по отношению к другому сечению на небольшой угол а, пропорциональный /, [c.395]

Тогда (е,у (и)) —тензор деформации, ъ то время как (ст,У (и)) — тензор напряжений, соотношение между которыми задано линейными уравнениями (1.2.32), известными в теории упругости как закон Гука для изотропных тел. Постоянные к и п—коэффициенты Ламе материала, из которого состоит тело. [c.37]

Если материал изотропен, то цилиндр, растягиваемый в направлении его оси, остается цилиндром. Вообще, кроме деформации е в направлении растяжения, будет происходить деформация в поперечном направлении. Пусть некоторый отрезок, лежащий в поперечном сечении, имел до деформации длину Ъ, длина его после деформации будет Ь + АЬ и относительная поперечная деформация е = Ab/b. При растяжении е положительно, а е отрицательно, поперечные размеры образца уменьшаются. При сжатии картина получается обратная. У изотропного материала величина е одинакова для всех направлений в поперечном сечении, поскольку предпочтительного направления нет. Если деформация упруга и подчиняется закону Гука, то, как оказывается, отношение поперечной деформации к продольной постоянно [c.47]

Выразим постоянную С, входящую в уравнения обобщенного закона Гука (1.7), через упругие постоянные Е и р изотропного материала. Для этого рассмотрим деформацию элемента, испытывающего чистый сдвиг (рис. 111.2). Для упрощения вывода его ребра в направлениях осей х и у приняты равными. В результате деформации верхняя грань переместится параллельно нижней на Д5 (сдвинется), отсюда и название напряженного состояния, при котором эта деформация возникает. Перемещение Д5 называется абсолютным сдвигом. [c.85]

Следует отметить, что (4.1.6) является формой представления достаточно общего физического закона, например, для анизотропного или нелинейно-упругого материала. В уравнениях (4.1.6) выделены члены, относящиеся к некоторой изотропной пластине постоянной толщины. В случае оболочки переменной толщины параметры Kq.Do выбираются так, чтобы обеспечить сходимость процесса (4.1.2), Для оболочки постоянной толщины эти величины являются соответственно жесткостями на растяжение и изгиб. [c.108]

Все, что касается геометрии деформирования оболочки и условий равновесия выделенного из нее элемента, не зависит от упругих свойств материала, из которого она изготовлена, в связи с чем эти свойства до сих пор не рассматривались. Однако, поскольку полученные в п. 1.6 уравнения равновесия элемента оболочки статически неопределимы, задача по расчету напряженно деформированного состояния не может быть решена, пока не будут учтены упругие свойства материала оболочки, т. е. пока не будут получены соотношения, связывающие между собой усилия, моменты и параметры деформации срединной поверхности. Такие соотношения для тонкой оболочки, изготовленной из однородного, изотропного материала, следующего закону Гука, будут выведены в п. 1.9. Однако предварительно следует получить формулу для энергии деформации оболочки. [c.42]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

Задача (11.1) —(11.3) для однородной изотропной пластины рассмотрена в работе [115]. Приведем решение более общей задачи [57, 58] для пластины, материал которой цилиндрически анизотропен (ось анизотропии совпадает с осью, проходящей через центр отверстия) и неоднороден модули упругости изменяются в зависимости от радиальной координаты по степенному закону с одним и тем же показателем степени. В этом случае напряжения определяются по формулам [c.263]

Для изотропных материалов в выражении закона Гука вместо тензора коэффициентов упругой податливости используют такие характеристики материала, как модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона v и модуль сдвига G = Е/[2 1—v)]. [c.24]

Ламе (первый коэффициент обозначается через Л), тогда как в случае разгрузки параметр Р должен автоматически обращаться в нуль, поскольку при разгрузке материал ведет себя как упругий. Для используемых здесь уравнений состояния материала (материал считается однородным и изотропным е упругой области, а его поведение в пластической области определяется критерием текучести Мизеса и законом течения [c.167]

Эти зависимости выражают закон Гука для случая изотропного материала. Таким образом, связь между деформациями и напряжениями полностью определяется двумя постоянными величинами Е и V, которые называются упругими постоянными. [c.573]

Эти законы поведения изотропного материала под нагрузкой имеют место до тех пор, пока некоторая инвариантная величина, составляемая по компонентам девиатора напряжений, не превзойдёт некоторого предельного для данного материала значения, а деформации достаточно малы. В этой книге, посвящённой рассмотрению строгих решений некоторых задач математической теории упругости, всё последующее основано на допущении, что сформулированные законы справедливы. [c.44]

Квадратичный закон состояния (4.3.4) упругого, изотропного, однородного материала конкретизируется априорным заданием явного выражения удельной потенциальной энергии деформации э, как функции инвариантов меры деформации, либо представлением через них самих коэффициентов г зг г, 1 , /3) этого закона, совместимым с существованием э (для гиперупругого тела). Рассмотрение простейших деформаций (всестороннее сжатие, растяжение, кручение), допускающих сравнение с опытом, дает основание для суждения о пригодности или непригодности предложенных представлений э (или г зг) для рассматриваемого материала. [c.150]

Метод стандартизован, но не всегда надежен вследствие следующих причин. Если законы деформирования материала при растяжении и сжатии различны (например, у органопластика), то техническая теория изгиба для обработки результатов неприменима. При определении постоянных упругости и предела прочности обязателен учет касательных напряжений. Как показывают исследования изотропного стержня [78], входящий в формулы для определения прогиба с учетом поперечных сдвигов коэффициент формы поперечного сечения не является постоянной величиной, а зависит от коэффициента Пуассона и относительной ширины образца й/Л. При нагружении образца на изгиб (по любой схеме) напряженное состояние стержня сложное, и особенно у стержней с малым относительным пролетом //Л значительно отличается от описываемого технической теорией изгиба [61, 77]. [c.38]

Как показывают теоретические исследования, с которыми можно познакомиться, например, по книге П. Ф. Попковича Теория упругости , для изотропного материала уравнения обобщенного закона Гука запищутся в виде [c.19]

При этих условиях, однако, нет никакого сомнения в том, что Сперва нужно сделать наиболее простое предположение, а именно, что искомый закон совпадает по форме с законом Гука для изотропного материала. Конечно, совершенно невероятно, чтобы это предположение было верно при всех условиях, но в случаэ металлов, к которым мы и имеем в виду преимущественно применить эту теорию, погрешность, вводимая при этом, вероятно, будет не очень велика. Об этом можно заключить, например, на основании того, что при простом испытании на разрыв, когда напряжения переходят за предел упругости, обычно укорочение, получающееся после разгрузки, имеет такую же величину, как будто никакого перехода за предел упругости при ьтой нагрузке не было ). [c.284]

Перемещение dld наз. абсолютным С. грани d относительно грани ad, угол у наз. углом С., а — относительным С. Ввиду малости у можно считать tgY=Y. Если по граням параллелепипеда действуют только касат. напряжения т, С. наз. чистым. В пределах упругости для изотропного материала относит. С. связан с т Гука законом х=6у, где С — модуль С. для данного материала (см. Модули упругости). На практике С. часто сопутствует растяжению и сжатию, когда одновременно с нормальными возникают и касат. напряжения. СДВИГ Уровней, небольшое отклонение тонкой структуры уровней энергии атома водорода и водородоподобных атомов от предсказаний релятив. квант, механики, основанных на Дирака уравнении. Согласно точному решению этого ур-ния, ат. уровни энергии двукратно вырождены энергии состояний с одинаковым гл. квант, числом и=1, 2, 3,. .. и одинаковым числом полного момента /= = /г> /г должны совпадать независимо от двух возмояшых значений орбит, квант, числа г= 1/2-Однако в 1947 амер. учёные У. Лэмб [c.673]

Для упругих материалов можно получить ряд формулировок для определяющих соотношений (2.17), переписалных в скоростях, в зависимости от используемых производных индифферентных тензоров напряжений s и деформаций е. Рассмотрим только оцну модель упругого материала — линейного. упругого изотропного материала в предположении малой деформации тела. Закон Гука для такого материала имеет две эквивалентные записи — в виде определяющих соотношений для гиперупругого и упругого материалов [c.85]

В гл. 2 выявляется структура закона Гука для анизотропного материала. Нетрадиционный подход позволяет ввести симметричные коэффициенты Пуассона различных порядков. Это дает возможность установить наитеснейшие (неулучшаемые) интервалы изменяемости упругих постоянных, обеспечивающие положительность выражений для энергии деформации. Рассматриваются несжимаемый материал и плоское напряженное состояние. Основное внимание (как и в последующих главах) уделяется наиболее часто используемым материалам ор-тотропному, трансверсально изотропному и изотропному. [c.7]

Для обоснования того, что эта интерпретация является законной в некотором вполне определенном смысле, а также для получения оценок толщин слоев концентрации напряжений Эверстайн и Пипкин [12] проанализировали некоторые точные решения теории упругих трансверсально изотропных материалов. Предполагалось, что модуль Юнга Е вдоль волокон много больше модуля сдвига G. Коэффициент Пуассона v, определяющий уменьшение поперечных размеров в направлении, перпендикулярном волокнам, при приложении растягивающей нагрузки, также перпендикулярной волокнам, выбирался близким к единице. Оказалось, что теория упругости действительно предсказывает существование тонких слоев с высокой концентрацией напряжений там, где они должны быть согласно идеализированной теории. Было найдено, что толщина слоев концентрации напряжений вдоль волокон имеет порядок (G/ ) / L, где L — характерная длина слоя. Было установлено также, что толщина слоев концентрации напряжений вдоль нормальных линий, существование которых обусловлено малой сжимаемостью материала, имеет порядок (1—v) i L. В обоих случаях было показано, что максимум растягивающих напряжений с удовлетворительной точностью определяется делением результирующей силы, найденной по идеализированной теории, на, приближенное значение толщины. [c.298]

Закон Рука. Приведенные выше уравнения равновесия и -соотношения между деформациями и перемещениями, которые будут приведены ниже в 3.6, не ограничяваются случаем упругого материала и. могут быть применены к пластическим (или с другим типом поведения) материалам. В теории упругости используется, естественно, закон Гука, связывающий упругие напряжения и деформации. Для изотропных материалов, как было найдено из экспериментов, это дает [c.114]

Использование всех формулировок для упругих материалов эквивалентно в случае малых деформаций (но, возможно, больших перемещений и поворотов). Эти формулировки должны приводить к приблизительно одинаковым результатам при решении задач (см. 2.1.3). Отметим, что определяющие соотношения закона Гука для линейного упругого изотропного материала можно использовать только для малых деформаций тела. Только при таком ограничении закон Гука описывает поведение реальных материалов. Если формально использовать модель линейного изотропного упругого материала при больших деформациях тела, то TL- и UL-формулировки описывают поведение разных материалов. В [49] на примере решения задачи по растяжению куба отмечается большое расхождение значений компонент тензора напря- [c.198]

Рассмотрим оболочки из абсолютно упругого изотропного материала, удовлетворяющего закону Гука с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона V. Для перехода к двумерной теории оболочек исходим из гипотез КирхЬофа — Лява. [c.20]

В основе деформационной теории пластичности лежат гипотезы, предложенные Хубером [397], Мизесом [423], Хенки [395 и обобщенные на случай материала с упрочнением Надаи [200]. Она предполагает, что для упругопластических тел можно установить зависимости между напряжениями и деформациями, подобно закону Гука для упругих тел. Развитие и обоснование теории малых упругопластических деформаций связано с работами Ильюшина, поэтому часто теорию малых упругопластических деформаций называют теорией пластичности Ильюшина. Здесь принимается, что при простой активной деформации первоначально изотропного материала, свойства которого не зависят от третьего инварианта тензора напряжений, справедливы следующие три гипотезы. [c.42]

Экспериментально установлено, что для изотропного однородного упругого материала при малых деформациях и напряжениях, не превышающих некоторых определенных значений, зависимости составляющих напряжений от составляющих деформаций являются линейными. Эти линейные зависимости представляют собой закон Гука. Они выран<ены через упругие постоянные материала Е, О и р., которые связаны следующим соотношением [c.12]

В данной главе получим классические уравнения деформирования среды в предположении, что среда эта — сплошная, однородная и изотропная, т. е. упругие свойства среды во всех направлениях одинаковы. Будем считать, что она линейно деформируема (для материала среды справедлив закон Гука), а перемещения и деформации тела достаточно малы. Там, где это необходимо, сделаем некоторые отступления от указанных допущений. В частности, далее в соответствующих главах будут подробно рассмотрены вопросы расчета упругонластических и вязкоупругих тел. [c.25]

В этом пункте используется модель трещины, рассмотренная в работах Фрёнда и Дугласа [48], Дунаевского и Ахенбаха [32]. Предполагается, что трещина растет в установившемся режиме и этот рост сопровождается антиплоским сдвигом в условиях маломасштабного пластического течения. Явным образом учитывается инерционное сопротивление материала движению, однако для наблюдателя, движущегося вместе с вершиной трещины, деформированное состояние от времени зависеть не будет. Материал считается упруго-идеально-пластическим с изотропным условием текучести (2.21), подчиняющимся закону пластического течения (2.20). Согласно гипотезам теории мало-масштабного пластического течения [77], нелинейное напряжен-но-деформированное состояние в непосредственной близости к вершине трещины управляется окружающим пластическую область упругим распределением напряжений. Обычно используемой характеристикой данного упругого поля при заданной -скорости движения трещины является коэффициент интенсив- [c.103]

Это утверждение справедливо для закона Гука и в более обшем случае — для определяющих соотношений линейного упругого материала (необязательно изотропного). Тогда под подразумевается постоянный тензор (не зависящий от тензора деформадий е), обладающий симметриями = [c.71]

Предполагается, что потенциальная функция W e) имеет непрерывные первые и, по крайней мере, кусочно-непрерывные вторые производные от своих аргументов. Эта функция параметрически зависит от компонент тензора напряжений Коши и от параметров, содержащих всю историю деформирования. Обоснование необходимости записи определяющих соотношений упругопластического материала в потенциальном виде (2.57) представлено в [19, 23, 25] (следствие принципа макродетерминизма). Таким образом, возможность представления определяющих соотношений упругопластического материала в виде (2.57) дает критерий отбора феноменологических теорий пластичности. Например, определяющие соотношения деформационной теории пластичности, сформулированные относительно скоростей, не допускают записи в виде (2.57). Но если игнорировать условие разгрузки по упругому закону то рассматриваемые далее соотношения деформационной теории пластичности для материала с изотропным упрочнением записываются в виде (2.57). Если функциональные зависимости <т(ё) известны и допускают запись в виде (2.57), то по теореме Эйлера об однородных функциях можно получить явный вид потенциальной функции [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...