Аппроксимация и устойчивость

Из сказанного следует, что если решение разностной задачи устойчиво относительно малых изменений правой части, то из аппроксимации (б/< > О при Л 0) следует сходимость - [и ]д при А - О, т. е. сходимость есть следствие аппроксимации и устойчивости. 0 можно сформулировать в виде теоремы. [c.231]

Это требование к разностной схеме называют условием сходимости. Для сходимости разностной схемы необходимо и достаточно выполнения двух других условий — аппроксимации и устойчивости, которые будут пояснены ниже на примере схем Эйлера. [c.28]

Рассмотрим теперь вопрос о погрешностях численных решений, получаемых по явной и неявной схемам Эйлера. Для этого введем понятия аппроксимации и устойчивости. [c.29]

Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Основным требованием к разностной схеме является стремление сеточной функции разностного решения к сеточной функции точного решения Т/ при стремлении к нулю шагов по пространственной и временной координатам. Погрешность различна в разных узлах пространственно-временной сетки. Для того чтобы охарактеризовать погрешность во всей области вводят одно число, которое называют нормой по- [c.74]

Требование сходимости приводит, в свою очередь, к требованию выполнения для разностной схемы двух условий—аппроксимации и устойчивости. Можно доказать (см. ниже), что при наличии аппроксимации и устойчивости всегда будет иметь место и сходимость. Остановимся на понятиях аппроксимации и устойчивости подробнее, начав с первого. [c.75]

Сравнивая (2.34), (2.33) и (2.11), мы видим, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость. Это утверждение называется теоремой Лакса. [c.173]

На современном уровне развития методов математического описания лазеров и, в особенности, процессов в активной среде можно выделить ряд типовых задач, для которых формулируются основные рекомендации по их решению с использованием типовых схем вычислений. В случае более сложных задач, возникает множество новых особенностей, связанных с выбором расчетной схемы, необходимых величин, шага вычислений, нормирующих коэффициентов, проверкой сходимости, аппроксимации и устойчивости решений. К числу задач, допускающих использование стандартизованных методов, алгоритмов и программ, можно отнести 1) генерацию или усиление стационарного или импульсного излучения в возбужденной двухуровневой активной среде в приближении плоской волны 2) приближенный расчет энергетических характеристик генерации, основанный на использовании вероятностного метода с упрощающими приближениями 3) расчет эффективности получения гармоник и суммирования частот с принятием распространенных для этого случая упрощений, в частности таких, как приближение заданного поля 4) расчет характеристик излучения, распространяющегося в световодах, в частности, с учетом нелинейности показателя преломления их материала. [c.37]

Особенностью этого метода является существенная зависимость вида получаемых алгебраических уравнений, а значит и метода вычисления на ЭВМ, т. е. алгоритма и программы, от способа аппроксимации производных конечными разностями (выбор порядка аппроксимации, величины и направления шагов, числа измерений, по которым проводятся вычисления). При этом в каждом случае требуется отдельно исследовать сходимость, аппроксимацию и устойчивость получаемых решений. [c.38]

Корректность и устойчивость схемы. Принятым методом проверки сходимости разностной схемы является теоретическое исследование ее свойств аппроксимации и устойчивости, наличие которых оказывается необходимым и достаточным условием сходимости. [c.154]

Для обоснования сходимости № к и нам понадобится одна ИЗ самых важных теорем численного анализа аппроксимация ) и устойчивость влекут за собой сходимость. Эта теорема доказывается в два этапа. [c.35]

Рассмотрим вопросы аппроксимации и устойчивости разностной схемы. Запишем разностную схему в таком виде (ограничимся [c.131]

Для многих краевых задач сходимость разностной схемы является следствием аппроксимации ею краевой задачи и устойчивости. При этом порядок сходимости относительно шага совпадает с порядком аппроксимации. [c.47]

Для гладких неразрывных функций хорошо развит математический аппарат изучения аппроксимации и доказательства устойчивости разностных схем. [c.47]

Остановимся далее на вопросах устойчивости и сходимости разностных схем. Сходимость разностных схем является следствием правильной аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и устойчивостью последних. В настоящее время разработаны строгие методы анализа устойчивости разностных схем (см., например, [3—5]). Воспользуемся, однако, упрощенным, но физически более понятным способом для определения условий устойчивости явных разностных схем. В качестве примера исследуем разностное уравнение (3.17). Очевидно, что в процессе решения устойчивой разностной схемы искомая функция должна всегда оставаться ограниченной по величине. Применительно к соотношению (3.17) это условие будет заведомо выполнено, если функция йг, ь+1 В любой момент времени т удовлетворяет условию [c.64]

Теперь рассмотрим связь между аппроксимацией, устойчивостью И СХОДИМОСТЬЮ, при наличии аппроксимации [условия (3.20)1 и устойчивости [условия (3.21)1 всегда имеет место и сходимость. Действительно, из условия аппроксимации [c.78]

Вопросам аппроксимации, сходимости и устойчивости метода конечных разностей применительно к решению задачи теплопроводности уделено достаточно много внимания в работах [32, 227, 246, 247, 250, 252, 297, 298]. [c.71]

Разностная схема с оператором (5.55) устойчива. Если k,q,f S С [а, Ь], то она обладает вторым порядком аппроксимации и потому сходится со вторым порядком точности. [c.147]

Существует очень важное различие между задачами устойчивости и задачами о поперечном изгибе. При определении критических нагрузок сжимающая сила Р оказывается конечной, когда прогибы равны нулю или же бесконечно малы. Когда рассматривается, случай малых начальных отклонений, напряжения от силы Р существенно велики по сравнению с напряжениями, вызываемыми силами и моментами, обусловленными изгибом. Это означает, что аппроксимация и отбрасывание членов, кото- [c.80]

Методы оценки детерминированности и нелинейности технологического процесса. Для оценки уровня точности процессов обработки используют критерии точности, настроенности, стабильности и устойчивости. Большое значение имеет также определение детерминированности и нелинейности хода технологического процесса. Показатель степени детерминированности позволяет выявить систематические погрешности, найти их долю в общей погрешности обработки, получить меру определенности процесса и исходя из этого обоснованно подойти к решению задач прогнозирования, контроля и управления точностью технологического процесса. Показатель степени нелинейности дает возможность оценить погрешность аппроксимации при замене нелинейного изменения центра настройки линейной зависимостью. [c.136]

В случае граничных условий 2-го или 3-го рода разностные уравнения в граничных узлах будут иметь более сложный вид, чем в рассмотренных примерах. От того, насколько удачно выбрана аппроксимация граничных условий, зависят свойства разностной схемы в целом. Весьма желательно, чтобы на границе разностные уравнения имели порядок аппроксимации и оценки устойчивости не хуже, чем во внутренних узлах. [c.45]

Чтобы из (3.37) получить разностное уравнение, интеграл нужно заменить квадратурной суммой, а дифференциальный оператор, стоящий под знаком интеграла,— разностным оператором. При этом следует ориентироваться на порядок аппроксимации и критерий устойчивости, принятые во внутренних узлах сетки. [c.68]

Плоское течение в пограничном слое нетривиальным образом зависит от двух координат (являясь "почти параллельным" лишь при стремлении к бесконечности числа Рейнольдса). Отмеченное усложняющее свойство основного течения часто игнорируется в теоретических исследованиях устойчивости, использующих приближение параллельности невозмущенных линий тока. Строго говоря, предположение о параллельности содержит указанное в [178] противоречие число Рейнольдса должно быть одновременно а) асимптотически велико для применимости данной аппроксимации и б) порядка единицы в задаче о [c.12]

Аппроксимация, сходимость и устойчивость решений [c.26]

Предварительные замечания об аппроксимации, сходимости и устойчивости решений [c.26]

Формула (3.94) представляет собой решение конечно-разностного уравнения (3.93) при нулевых граничных условиях. Общее решение получается заменой в (3.94) V" на Л ", где л интерпретируется как показатель степени. Это конечно-разностное решение можно использовать для того, чтобы наглядно продемонстрировать некоторые свойства сходимости конечно-разностной схемы (3.93) (см, Рихтмайер и Мортон [1967]). Хотя (3.94) не является решением уравнения с конвективным и диффузионным членами, мы хотим вскоре обратиться к такому полному уравнению, избегая, однако, обсуждения вопроса о влиянии граничных условий. Это легко сделать (после дополнительной аппроксимации), анализируя устойчивость для бесконечной области согласно фон Нейману. [c.69]

Понятие устойчивости непосредственно связано с понятиями аппроксимации и сходимости ). Конечно-разностный аналог аппроксимирует дифференциальное уравнение, если при Ах->0, А О конечно-разностное уравнение стремится к дифференциальному уравнению в частных производных. Хотя при выводе конечно-разностных уравнений при помощи разложений в ряды Тейлора может показаться, что это положение выполняется автоматически, на самом деле это не так здесь могут потребоваться иные ограничения для относительной скорости сходимости при уменьшении Ах и А (см. разд. 3.1.7). Конечно-разностное уравнение сходится, если при Ах->0, А/ О решение конечно-разностного уравнения стремится к решению дифференциального уравнения в частных производных. Два очевидных необходимых условия такой сходимости состоят в том, что конечно-разностное уравнение устойчиво (в некотором смысле) и аппроксимирует соответствующее дифференциальное уравнение. [c.79]

Итак, видно, что (аппроксимация решения, получаемая путем усреднения) сходится к X, причем сходимость равномерна на интервалах, длина которых стремится к бесконечности npi е 0. Понятно, что многие качественные свойства дифференциальных уравнений (такие как существование и устойчивость почти-периодических решений) легче изучить для автономного уравнения (2.7), чем для (2,6). Процессы усреднения являются основой изучения этих свойств на бесконечных интервалах времени t е [ О, >) или i е( - , >) (см, библиографические замечания в конце главы). [c.345]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

Разностное уравнение (1.2), имеющее естсстзсниую порыпровку, обеспечивает сходимость рассматриваемого приближенного решения к точному при выполнении известных условий аппроксимации и устойчивости. Модифицированный многослойный разностный метод отличается от известных тем, что число временных слоев k, используемых при решении разностной аппроксимации уравнения (1.1), увеличивается на единицу при переходе к каждому последующему временному слою. При этом k фактически становится порядковым номером временного слоя. Для расчета всех k слоев используется один и тот же алгоритм. Расчет можно вести с переменным временным шагом Ат, предельная величина которого определяется спецификой и, главным образом, требуемой точностью решения конкретных инженерных задач. [c.23]

Ютасс разностных схем, описываемых в этой книге, практически обладает всеми указанными выше свойствами. Поскольку порядок этих схем выше второго, их можно отнести к категории схем повышенной точности. Для уточнения этого понятия целесообразно напомнить определения аппроксимации и устойчивости схем, а также теорему о связи между ними и сходимостью в том виде, как это представлено в [3]. Пусть имеется задача [c.5]

Методы интегрирования уравнений движения, особенно с переменными коэффициентами и нелинейных, интенсивно развиваются. В настоящее время разработано большое количество разнообразных схем явных и неявных, безусловно устойчивых и нет, характеристических и прямых, с искусственной схемной вязкостью и без нее. Чрезвычайно важные с вычислительной точки зрения вопросы точности и устойчивости всех этих схем решаются на основе изучения спектральных характеристик аппроксимируемых операторов исходной краевой задачи и накладьтают определенные требования на соответствие аппроксимации по пространству (размеры конечных элементов и на временном слое (размер шага At по времени) [49]. [c.114]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

При этом появилась необходимость в последовательном изложении основ вычислительной математики и механики сплошных сред, ориентиро1ванном на практическое создание алгоритмов и программ для ЭВМ, реализующих эти модели. В центре внимания оказываются методы построения и решения систем линейных алгебраических уравнений, к которым практически всегда редуцируется соответствующая задача математической физики, лежащая в основе модели. При этом к основным вопросам, изучаемым вычислительной математикой, относятся вопросы аппроксимации.решения, устойчивости и сходимости алгоритмов. [c.15]

Для этой модели показано, что в случае ровного дна она является полностью консервативной аппроксимацией уравнений Green, Naghdi (1976). Исследуется дисперсия модели, а также дисперсия и устойчивость разностной (по времени) схемы. [c.12]

В действительности исследование строгих определений аппроксимации, сходимости и устойчивости при Дл ->0 и А - О — занятие зачастую бесплодное, так как реальные расчеты проводятся при конечных Ах и At. (Изредка такое исследование может привести к практически полезной путеводной нити, как, например, в случае требования аппроксимации в схеме Дюфорта— Франкела см. разд. 3.1.7.) [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...