Решение антиплоской задачи

Посмотрим, какому решению антиплоской задачи соответствует эта функция. Действительная часть ее с точностью до множителя, о котором мы пока не заботимся, есть перемещение [c.283]

Для определения коэффициента D по формуле (29.19.20) надо располагать решением антиплоской задачи при торцевом условии (29.19.19). Это достигается следующим образом. [c.464]

Исходя из решения плоской задачи, предложенного в 163, 641, и изложенного здесь решения антиплоской задачи, численно построены все напряженно-деформированные состояния и Q( apH) (ддя Q( B) задачу надо уточнить, так как в соответствующей плоской задаче не соблюдено согласование граничных условий). Как уже говорилось, составляя линейные комбинации из (29.23.12), можно построить краевые напряженно-деформированные состояния вблизи свободного, жестко заделанного и шарнирно опертого краев произвольной изотропной оболочки. Результаты вычислений представлены в таблицах, в которых помещены только асимптотически главные- напряжения данного состояния, т. е. 3 2, Sgs, S13 для плоской задачи и 5] 2. 23 — для антиплоской задачи. [c.465]

Решение антиплоской задачи теории упругости сводится к определению аналитической функции / (z) в области 5, занятой упругим телом, при использовании граничного значения этой функции на контуре L (на границе тела). В случае первой основной задачи, т. е. когда на контуре заданы внешние напряжения, граничное условие имеет вид [c.182]

Заметим, что для периодической системы внешних параллельных разрезов л у = kd (к — О, 1, 2,. ..) также можно получить точное замкнутое решение антиплоской задачи теории упругости (см. параграф 3 главы III). [c.203]

Потенциал (VI.178) или (VI.179) дает решение антиплоской задачи когда на разрезах заданы скачки напряжений и смеще- [c.217]

В развитии механики разрушения и, в частности, в исследовании динамического распространения трещины концепция упругого коэффициента интенсивности напряжений сыграла фундаментальную и консолидирующую роль. В этом параграфе приводится формальное определение динамического коэффициента интенсивности напряжений через характеристики поля в окрестности вершины трещины, преобладающего в номинально упругом теле в процессе роста трещины. Вблизи любой точки края трещины, за исключением точек пересечения трещины с поверхностью твердого тела и угловых точек края, локальное распределение деформаций является в основном двумерным, и поля в окрестности вершины представляют собой комбинацию трещин типа 1 (плоское раскрытие трещины), типа 2 (плоский сдвиг) и типа 3 (антиплоский сдвиг). С целью ограничить исследование рассмотрением полей с конечной энергией (в конечных областях) вводится требование интегрируемости энергии деформации в любой подобласти. Кроме того, для решения поставленных задач предполагается, что ни скорость, ни направление трещины резко не меняются. [c.84]

Величины Q в антиплоском решении и величины Р в плоском решении, как уже говорилось, второстепенны. Первые из них удовлетворяют неоднородным уравнениям плоской задачи (28.16.6), а вторые — неоднородным уравнениям антиплоской задачи (28.16.8). В обоих случаях свободные члены составляются как некоторые линейные дифференциальные выражения от величин, определенных ранее. [c.435]

Обсудим этап (1). Для определения величины D надо найти затухающее решение уравнений антиплоской задачи (28.16.2), удовлетворяющее на лицевых поверхностях условию (28.16.9) и на торце = О условию (29.19.19). [c.458]

Остановимся на задачах, к решению которых приводится построение напряженно-деформированных состояний (29.23.12). Все они состоят в интегрировании уравнений (28.16.2) антиплоской задачи теории упругости или уравнений (28.16.7) плоской задачи теории упругости. Для этих уравнений в полуполосе [c.463]

Решение вспомогательных плоских и антиплоских задач [c.464]

РЕШЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ И АНТИПЛОСКИХ ЗАДАЧ [c.465]

Решение задач настоящего параграфа позволяет качественно оценить влияние неоднородностей при хрупком распространении трещин. Рассматриваются слоистые среды в наиболее геометрически простой ситуации прямолинейные границы слоев и прямолинейный угловой вырез. На примере плоской и антиплоской задач изучается [c.212]

Получены решения сингулярных интегральных уравнений основных антиплоских задач теории упругости для конечной или бесконечной области, ограниченной круговым контуром. Эти решения [c.215]

Основные граничные плоские и антиплоские задачи теории упругости для многосвязной области, содержащей криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены в работах [94—96] к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. При этом предполагалось, что контуры разрезов и отверстий не пересекаются между собой (см. параграф 3 данной главы). Краевые трещины рассматривались только в некоторых частных случаях граничного контура (окружность, прямая), когда удается построить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, не содержащие искомых функций на этом контуре [70, 95]. В последнее время изучались также задачи в случае произвольной симметричной области с краевой трещиной, находящейся на оси упругой и геометрической симметрии [27, 53, 58, 104] (см. также параграфы 3—5 четвертой главы). Ниже, следуя работе [97], приводятся обобщения указанных выше результатов на общий случай многосвязной области с разрезами и отверстиями, когда разрезы одним или двумя концами могут выходить на внешнюю границу и контуры отверстий. Получены численные решения построенных интегральных уравнений при одноосном растяжении бесконечной плоскости с одним или двумя круговыми отверстиями, на контуры которых выходят радиальные трещины. [c.33]

В случае антиплоской задачи вычисление неоднородных решений не представляет трудностей, поэтому остановимся на решении интегрального уравнения. Интегральное уравнение (5.34) допускает точное решение, но в целях эффективной численной реализации всей схемы решения в целом воспользуемся асимптотическим методом больших Л, изложенном в 1.3. Выбор этого метода связан также с тем, что практический интерес представляет область значений параметров задачи, [c.193]

Для наглядности и в связи с ограниченностью объема публикации проиллюстрируем описанную выше схему исследования на примере решения контактной задачи для двуслойного полупространства с заглубленной круговой цилиндрической полостью в антиплоской постановке. [c.312]

Рассмотрим теперь антиплоскую задачу. Решение уравнения (1.17) представим по аналогии с (1.18) через гармоническую функцию комплексного переменного [c.21]

Решения, полученные для трещин конечных размеров, имеют большое практическое значение, так как позволяют провести сопоставление с соответствующими статическими задачами и оценить влияние инерционного эффекта на коэффициент интенсивности напряжений. Имеется значительное число решенных аналитических задач для трещин конечных размеров в неограниченных областях. Антиплоская задача решена в [40, 511, 543], плоская — в [295, 515, 550, 551, 561], осесимметричная — в [513, 514], а пространственная — в [84, 161, 162]. Аналогичные задачи для полуплоскости рассмотрены в работах >69, 270, 386], а для полосы — в [291]. [c.36]

С помощью приведенной методики и численного обращения преобразования Лапласа в [543] решена антиплоская задача о динамическом нагружении трещины конечной длины в плоскости, а в [550] — плоская задача. Показано, что если нестационарные нагрузки прикладываются к поверхности трещины, то в ее вершинах образуются центры уходящих цилиндрических волн. Пока эти волны не начинают взаимодействовать, решение задачи описывается формулами, полученными для полубесконечной трещины. В частности, коэффициенты интенсивности напряжений в случае мгновенного приложения, нагрузки определяются формулами (2.66) для плоской и (2.67) для антиплоской задач. После начала взаимодействия цилиндрических волн, излучаемых противоположными вершинами трещины, распределение напряжений в окрестности трещины становится более сложным. Через некоторое время 21/Сз волновой фронт сливается в одиу расходящуюся волну, окружающую всю трещину. [c.59]

Антиплоскую задачу для произвольных области и нагрузки с прямым разрезом внутри можно решать в два этапа методом суперпозиции. Сначала решаем задачу без разреза в ней нет сингулярностей, для нее хорош, например, метод конечных элементов. Но при этом на берегах разреза [у = 0, х < /) обнаруживаем напряжения = т (х). Поскольку в исходной постановке на берегах = О, то добавляем решение второй задачи для области с нагрузкой на берегах. [c.283]

По существу, мы уже нашли решение сформулированной задачи. Оно дается формулами (2.2.28), (5.14)- (5.18). В последних формулах, однако, как это следует из вывода и условий (5.24), необходимо заменить параметр к на 2к, О23- на 3- на и, кроме того, вновь ввести множитель (и + 1)/4 = 1/(1 + V) в выражении для перемещений, поскольку вместо антиплоской задачи рассматривается задача о плоском напряженном состоянии. [c.130]

Начнем, как обычно, с антиплоской задачи. Пусть полубесконечная трещина х < /(0)расширяется со скоростью I < Сз (/ 0). Как было показано выше (3.9), функции 5 ., для антиплоской задачи сосредоточены на луче x= 2t При этом общее решение нестационарной задачи относительно напряжения на продолжении трещины 0зз=0 , соответствующее импульсу о = 6 (г - IQ )6 (х - Хо), Хо < / (0), дается формулой (4.9) при С = О [c.229]

Начало было положено статьей [100], где рассматривалась антиплоская задача о распространении трещины в решетке с квадратными ячейками. Антиплоской задаче посвящены, кроме того, статьи [101, 102]. В работе [41] дано решение задачи о динамике трещины при плоской деформации решетки. Более простая задача из этого класса, позволившая провести наиболее полное исследование аналитическими средствами, - одномерная задача о волне разрушения в цепочке [ПО]. Некоторые заключения, относящиеся к динамике трещин в средах со структурой довольно общего вида, сделаны в статьях [103, 104, 105]. В [39, 40] исследовано влияние анизотропии решетки. С тех же позиций и теми же методами исследовано распространение трещины в модели армированного (слоистого) материала [58] и в среде блочной структуры [106]. Роль структуры освещается также в работах [51,52, 60]. [c.236]

Предположение о том, что поперечное сечение стержня при кручении остается плоским, вполне аналогично такому же предположению в элементарной теории изгиба балок, которая была изложена в третьей главе. Но применительно к задачам изгиба это предположение выполняется во всех случаях с практически достаточной точностью, оно позволяет определить основные при изгибе напряжения — нормальные к плоскости сечения. Некоторое искривление поперечных сечений может происходить за счет касательных напряжений, но эти напряжения, как было показано, относительно невелики. Для кручения, когда возникают именно касательные напряжения, поперечные сечения действительно остаются плоскими только тогда, когда сечение ограничено концентрическими окружностями, как это было рассмотрено в 9.6. Чтобы построить решения в общем случае, добавим к напряженному состоянию (9.6.1) напряженное состояние, соответствующее антиплоской деформации по формулам (9.1.1). Получим [c.292]

Рассматривается стационарная динамическая задача о распространении трещины в упругопластическом теле. Основная особенность решения антиплоской задачи - снижение концентрации деформаций по сравнению с квазистатикой. В плоской динамической задаче деформации оказываются ограниченными и малыми при достаточно большой скорости трещины. В этом случае полностью оправдывается применение геометрически линейных соотношений. [c.7]

В правой части равенства (29.23.3) под Р к Q подразумеваются затухаю-ш.ие решения антиплоской и плоской задач теории упругости в полуполосе, удовлетворяюш,ие на ее лицевых сторонах условию отсутствия напряжений. При этом на торце = О должны выполняться условия (29.19.16), (29.19.17), выведенные для свободного края. Введем в рассмотрение антиплоский погран-слой и плоский погранслой определив их теми же требованиями, [c.461]

В дифференциальных уравнениях антиплоской задачи (28.16.2) полагаем Аю — I (это не уменьшает общности решения, так как переход к случаю Лю 1 совершается при помощи замены на Л10Е1) и ищем решение полученных уравнений в виде [c.465]

Как мы уже говорили, решение данной задачи для малой окрестности любой точки гладкого фронта (рис. 42) можно считать не зависящим от координаты г, отсчитываемой вдоль фронта трещины (рис. 46). Самый общий случай полей деформаций и напряжений у кончина трещины могкио получить путем взаимного наложения напряжений следующих частных видов плоской и антнплоской деформаций (рис. 47). Вид 7 связан с отрывным смещением, при котором поверхности трещины прямо расходятся одна от другой во взаимно противоположных направлениях (так происходит при забивании клина). Вид 77 соответствует перемещениям, при которых поверхности трещины скользят друг по другу (так, например, снимает стружку резец токарного станка). Вид 777 связан с антиплоской деформацией (разрезание ножницами), при которой одна поверхность скользит по другой параллельно фронту трещины. Решения этих задач, очень сложные в математическом отношении, были получены в пятидесятые годы. Оказалось, что для любых задач теорий упругости поля напряжений и смещений вблизи вершины трещины имеют почти одинаковую структуру. Первыми поняли это английские ученые Дж. Ирвин и М. Вильямс, хотя строгое доказательство общности формул было дано позже. Сейчас мы приведем все формулы, описывающие распределение напряжений и смещений, прпчем многоточия в них ставятся вместо слагаемых, которые пренебрежимо малы по сравнению с выписанными. Мы приводим эти довольно громоздкие выражения совсем ие для того, чтобы лишний раз вызвать трепет перед механикой разрушения. Наша задача — обратить впимаипе на некоторые их общие свойства и постараться сделать для себя поучительные выводы. Все [c.76]

Численное решение интегральных уравнений задач продольного сдвига тел с трещинами Ч Антиплоские задачи теории упругос- [c.188]

Точные решения задач продольного сдвига тел с трещинами в случае односвязиых областей могут быть построены методом конформных отображений [10, 233]. Такой подход использовался рядом авторов при исследовании антиплоской деформации бесконечного прост-занства, ослабленного ломаной [55, 233, 399, 439] или ветвящейся 397] трещиной. Задачи о продольном сдвиге тела с полубесконеч-ной трещиной, оканчивающейся одним или двумя симметрично расположенными ответвлениями, решались также методом Винера — Хопфа 199, 100]. В общем случае кусочно-гладких криволинейных трепщн или трещин ветвления антиплоские задачи теории упру гости могут быть решены следующим образом разрез разбивается на гладкие участки и рассматривается как система гладких разрезов, имеющих общие точки пересечения. Таким путем ниже рассмотрен продольный сдвиг бесконечного пространства, ослабленного ломаной или ветвящейся трещиной. [c.192]

Как видно из соотношений (VII.8) — (VII.И), сформулированная задача аналогична рассмотренной в предыдуш,ей главе антиплос-кой задаче для области S, ослабленной разрезами L, когда на ее границе Lq заданы смещения или напряжения, а на берегах разрезов действует несамоуравновешенная нагрузка или известны их перемещения. Таким образом, на основе результатов, полученных в главе VI, можно записать решение гоаничной задачи (VII.8) — (VII.il) для различных областей 5. Остается рассмотреть случай, когда на границе тела Lq выполняются граничные условия третьего рода (VII.4). Заметим, что на контурах разрезов L условия VII.4) не задаются, поскольку здесь невозможен теплообмен с окружающей средой. Вместо них могут быть введены обобщенные условия контакта берегов разрезов (так называемые теплопроводящие трещины [85, 174]), что соответствует в антиплоских задачах тонкостенным упругим включениям [81]. [c.221]

В главе 6 рассматриваются контактные задачи нелршейной теории полззгчести стареющих тел и теории установившейся нелинейной ползучести. Предлагается приближенный метод их исследования. На основании точного решения контактной задачи об антиплоском сдвиге полупространства устанавливаются границы применимости приближенного метода, после чего строится уточненное решение плоской контактной задачи теории установившейся нелинейной ползучести. Изучается также ряд контактных задач для тонкого слоя. Приводятся необходимые численные расчеты и примеры. [c.9]

Общая постановка задач о трещинах продольного сдвига, где распределению смещений соответствует случай так называемой антиплоской деформации (напряженное состояние в бесконечном цилиндрическом теле, возникающее под действием постоянных нагрузок, направленных вдоль образующих цилиндра), рассмотрена в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова (1961). В отличие от трещин нормального разрыва и трепщн поперечного сдвига, в этом случае возможно получить эффективные точные решения многих задач, так как единственное отличное от нуля смещение w удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа. Здесь возможно непосредственное применение широко развитых методов и результатов гидродинамики благодаря очевидной аналогии задач теории упругости для антиплоской деформации и задач плоской гидродинамики. В указанной работе были получены точные решения задач для бесконечного тела, содержащего круговое отверстие с одной или двумя трещинами, нагруженного на бесконечности постоянным касательным напряжением (аналог задач О. Л. Бови для трещин нормального разрыва),и смешанной задачи для изолированной прямолинейной трещины, на части которой задано постоянное смещение (аналог задачи о расклинивании клином конечной длины, рассмотренной И. А. Маркузоном. в 1961 г.). Здесь же исследованы задачи взаимодействия бесконечной системы одинаковых трещин, расположенных вдоль действительной оси, и случай, когда равные трещины расположены в виде вертикальной однорядной решетки. При рассмотрении задачи о развитии криволинейных трещин продольного сдвига, а также трепщн, форма которых мало отличается от прямолинейной или круговой, авторы использовали гипотезу о том, что развитие криволинейной трещины продольного сдвига происходит по направлению максималь- [c.386]

Наиболее просто решается задача о взаимодействии упругих волн с полубесконечной трещиной в плоскости. Решение этвй задачи для гармонических волн в случае антиплоской деформации рассмотрено в 146], а в случае плоской деформации — в [516]. Однако в этих работах исследованы характеристики поля вдали от вершины трещины. Причем, как показано в [397], решение, полученное в [516], некорректно, так как имеет особенность в перемещениях при г О. Корректное сингулярное решение и коэффициенты интенсивности напряжений, соответствущие этим задачам, получены в [398] для гармонического и произвольного динамического нагружения. Особенность этих решений в том, что в этом случае невозможно провести сравнение со статическим решением, так как решение при нулевой частоте отсутствует, а в случае ударных нагрузок в первоначальный момент времени (до прихода в вершину волн, отраженных от противоположной вершины) совпадает с результатами, полученными для трещин конечной длины. [c.36]

Второй ключевой. момент содержался в замечании Эшелби [34] о том, что если трещину антиплоского сдвига, движущуюся с переменной скоростью под действие.м постоянных во времени нагрузок, внезапно остановить, то за фронто.м сдвиговой волны, излученной трещиной в мо.мент ее останова, всюду установится статическое упругое напряженно-деформированное состояние, соответствующее заданным нагрузка.м и заданно.му положению трещины. Это был поистине замечательный результат в теории дву.мерных волн напряжений, поскольку он подсказал возможность построения решения задачи о неравно.мерном движении трещины в виде последовательности большого числа. малых отрезков подрастания трещины с постоянной скоростью. [c.116]

Известно, что существуют два типа решений погранслоя — плоский и антиплоский [38]. Дальше рассматривается только плоский погранслой. Уравнения его тождественны уравнениям упругости плоской деформации прямоугольной полосы. Поэтому используем результаты п. 1, записав их для плоской задачи. Функция Ф = и перемещения погранслоя имеют вид [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...