Постановка задачи Сен-Венана

Сравнительно подробно трактованы постановка задачи Сен-Вена-на, теорема о циркуляции, вопрос о центре жесткости, вариационные способы решения, тогда как рассмотрение решений для профилей частного вида сведено к минимуму. В гл. VII применение теории функций комплексного переменного ограничено рассмотрением простейших краевых задач, уделено место применениям других средств решения (преобразование Меллина в задаче о клине, операторные решения задач о полосе и брусе с круговой осью). [c.12]

Постановка задачи Сен-Венана [c.238]

Будем считать, что объемные силы отсутствуют, боковая поверхность стержня свободна от напряжений и к его основаниям приложены заданные усилия, удовлетворяющие условиям равновесия абсолютно твердого тела. В такой постановке рассматриваемая задача является обобщением классической задачи Сен-Венана на случай неоднородных стержней. [c.73]

Классификация задач Сен-Венана. Решение задачи Сен-Венана в ее общей постановке определяется заданием шести величин — трех проекций Р, Q, R силы и трех моментов Шу, Шг. Каждая из шести частных задач соответствует действию только одного из этих силовых факторов. Три случая — действия осевой силы R и моментов Шу,, гПу — элементарны, так как эти действия не создают касательных напряи<ений, вследствие чего отпадает рассмотрение краевой задачи. [c.379]

Постановка задачи. Случай кручения является частным случаем общей задачи Сен-Венана о напряженном состоянии призматического стержня, нагруженного по его торцам, постановка которой была дана в 1, 2 этой главы. Однако большое значение и детальная разработанность этого случая заставляют предпочесть независимое от общей задачи его изложение. [c.388]

Результаты решения задачи Сирса были подтверждены экспериментами. Вместе с тем выяснилась причина несовпадения с экспериментальными данными результатов решения задачи Сен-Венана в экспериментах стержни касались не плоскими торцевыми поверхностями, как это-предполагается при постановке задачи, а небольшими участками этих поверхностей, расположенными у края. [c.14]

Конкретным примером может служить классическая задача Сен-Венана о кручении призматических стержней. Кинематические краевые условия в этой задаче состоят в том, что проекция поля скоростей в торцах на поперечное сечение стержня является полем вращения твердого тела, а на боковой поверхности поле скоростей может быть произвольным. При локальной постановке задачи указанных краевых условий па торцах совместно с условием отсутствия нагрузок на боковой поверхности стержня недостаточно для выделения единственного решения уравнений движения. К ним должно быть еще добавлено краевое условие на напряжения в торцах стержня. При формулировке этой же задачи с использованием принципа виртуальных мощностей не возникает необходимости в нахождении соответствующего условия на напряжения. [c.13]

Задача Сен-Венана о равновесии упругого призматического стержня под действием произвольной нагрузки, заданной на его торцах, является одной из важнейших задач теории упругости, поскольку ее решение дает возможность оценить точность элементарной теории изгиба, рассматривающейся в сопротивлении материалов, а также позволяет исследовать представляющую значительный практический интерес проблему кручения стержней, которая не может быть решена элементарными приемами. Задача Сен-Венана (в общей ее постановке) является, кроме того, одной из труднейших задач теории упругости. С математической точки зрения она решена далеко не полно. Однако в силу так называемого принципа Сен-Венана имеющееся ее решение, излагаемое ниже, может рассматриваться (хотя и с некоторыми оговорками) как исчерпывающее вопрос. [c.236]

В заключение параграфа следует подчеркнуть, что та, сформулированная выше, упрощенная постановка, которую придал своей задаче Сен-Венан, имеет преимущество не только простоты, но и практической целесообразности. Дело в том, что на практике бывает чрезвычайно трудно выяснить истинный закон распределения сил на торце стержня. Вместе с тем главный вектор и главный момент сил, передаваемые на стержень, обычно известны с достаточно высокой степенью точности. Таким образом, даже если когда-нибудь ценоЮ больших математических усилий удастся найти решение задачи Сен-Венана в общей ее постановке, то использовать данный результат [c.239]

Рассмотрим теперь постановку плоских задач в напряжениях. Для определенности рассмотрим случай плоской деформации случай обобщенного плоского напряженного состояния исследуется совершенно аналогично. Соответствующая краевая задача содержит уравнения равновесия (2.67), граничные условия (2.70) и условия сов.местности Сен-Венана (2.61), которые с учетом выражения для [c.59]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

В третьей главе обсуждается постановка граничных и начально-граничных задач теории упругости, доказывается их единственность. Рассмотрению двумерных задач предшествует формулировка принципа Сен-Венана и его доказательство в случае нагружения цилиндрического стержня. Далее вводятся общие представления смещений через гармонические и через волновые функции, позволяющие свести некоторые важные задачи теории упругости к одной или нескольким последовательно решаемым классическим краевым задачам. Обстоятельно рассмотрены качественные вопросы, связанные с понятием сосредоточенной силы, нерегулярных решений задач теории упругости, возникающих при наличии на границе угловых линий, конических точек и т. п. Указанные решения легли в основу постановок задач механики хрупкого разрушения. [c.7]

Докажем теперь, что главный вектор усилий в каждом сечении, в том числе и на основаниях, будет обращаться в нуль. Это является доказательством того, что из представлений (3.2) следует решение поставленной задачи кручения в постановке Сен-Венана. Равенство нулю проекции вектора усилий на направление оси 2 очевидно. Для проекции же на ось х имеем [c.267]

Перейдем теперь к задаче изгиба стержня и, как ранее, будем рассматривать стержень достаточно большой длины. Пусть ось 2 ориентирована уже не произвольно, а проходит через центр тяжести основания, оси х а у направим пока произвольно. В дальнейшем эти оси выбираем совпадающими с главными осями. Как и в задаче кручения, будем предполагать, что боковая поверхность свободна от нагрузок, т. е. выполняются условия (3.1). Полагаем также, что на основаниях внешние напряжения статически эквивалентны моменту М (ось которого параллельна оси у (рис. 16)). Поставленная таким образом задача называется задачей изгиба стержня моментом в постановке Сен-Венана (здесь по-прежнему речь идет лишь об интегральном удовлетворении краевых условий на основаниях). В данном случае удобно исходить из первоначального представления напряженного состояния, а потом уже определять смещения. [c.270]

Большой теоретический и практический интерес представляет приближенная постановка указанной задачи, когда толщина 2/1 мала по сравнению с каким-либо характерным линейным размером тела. При этом оказывается излишней точная постановка и, следовательно, точное выполнение краевых условий на боковой поверхности. Потребуем лишь равенства нулю проекции на ось 2 усредненных внешних сил, а также моментов на оси X я у (что приводит к постановке краевых условий в смысле Сен-Венана). [c.275]

Постановка задач теории упругости. Уравнение Клапейрона. Теорема единственности решения задач теории упругости. Принцип Сен-Венана [c.341]

В изложенной постановке, даже для однородных стержней, задача представляет значительные математические трудности [100]. Вместе с тем, на основании принципа Сен-Венана, в случае стержня, длина которого велика по сравнению с высотой и шириной, можно ограничиться только выполнением условий равенства главного вектора и главного момента торцевых напряжений заданным [c.73]

Всякую сколько-нибудь сложную практическую задачу удается довести до окончательного результата только с помощью целого ряда дополнительных упрощающих допущений. Постановку и решение типичных задач при небольшом числе четко сформулированных дополнительных упрощающих допущений (гипотез) обычно относят к прикладной теории упругости. Например, в задачах расчета тонкостенных конструкций, схематизируемых набором оболочек и пластин, чрезвычайно важную роль играют гипотезы Кирхгофа—Лява именно на этих гипотезах построены классические теории пластин и оболочек. Основная цель настоящей главы — на простых примерах познакомить читателя с гипотезами Кирхгофа—Лява, используемыми в большинстве остальных разделов книги. Кроме того, в этой главе рассмотрена плоская задача теории упругости и принцип Сен-Венана. [c.34]

Постановка плоской задачи о балке и плите. Рассматривается обобщенное плоское напряженное состояние в прямоугольной полосе длины / и высоты 26 О х I, —Ь-s у К-Ь). Принимается, что 2 <С и это делает приемлемой, в соответствии с принципом Сен-Венана, допустимость точного выполнения краевых условий только на длинных сторонах у = Ь прямоугольной области и замену распределения поверхностных сил на коротких сторонах (х = О, х = I) статически эквивалентным распределением — продольной и поперечной силами Р, Q и изгибающим моментом ц. Поперечное сечение балки представляет прямоугольник толщиной h и высотой 2Ь, причем h Ь, что позволяет ограничиться рассмотрением средних значений напряжений и перемещений по толщине балки. Принятая постановка задачи применима также к задаче о плоской деформации плиты, теоретически бесконечно протяженной по оси х , когда закон нагружения ее граней у = Ь, х = О, х = 1 не зависит ог Хз. Размер по оси не фигурирует в дальнейшем изложении, он может быть принят равным единице длины. Переход к формулам задачи о плите от формул рассматриваемой далее задачи о балке осуществляется в соответствии с правилом (1.6.5) путем замены [c.482]

Показано, что для плоских задач теории упругости все множество сингулярных упругих задач с бесконечно удаленной точкой можно разбить на два эквивалентные по мощности ) класса класс S, для которого выполняется принцип Сен-Ве-нака, и класс N, для которого принцип Сен-Венана несправедлив. Например, к классу N принадлежит упругая задача для тела с бесконечно удаленной точкой типа клина с углом раствора, большим я. Для постановки корректной краевой задачи в классе /V оказывается необходимым ввести дополнительное условие на бесконечности. В качестве иллюстрации рассмотрены решения некоторых конкретных задач. Показано, например, что известные решения задач о действии сосредоточенной силы и момента в вершине бесконечного клина некорректны при угле раствора, большем я. [c.52]

Дополнительное условие в бесконечно удаленной точке для упругих задач класса N. Из теорем 3.2 и 3.3 следует, что решение упругой задачи, относящейся к классу N, зависит от произвольных постоянных, которые входят в наибольшую по модулю собственную функцию и которые в отличие от решения Сен-Венана не зависят от граничных условий в конечной части тела. Поэтому в постановку корректной краевой задачи теории упругости, относящейся к классу N, следует включить задание указанных постоянных. Физический смысл этого дополн ительного условия будет выяснен в дальнейшем. Аналогичное дополнительное условие требуется также в некоторых задачах класса S (см., например, далее задачу о гиперболе). [c.58]

Так как постановка задачи и методы решения, предложенные проф. Л. С. Лейбензоном, имеют не только большое практическое значение для некоторых отраслей промышленности, но имеют еще и значительный принципиальный интерес, благодаря более строгой трактовке вопроса в духе теории Сен-Венана, мы сочли целесообразным изложить три основных метода с такой подробностью, чтобы наши передовые инженеры могли вполне овладеть ими для решения конкретных задач. [c.385]

Для решения вышеназванных проблем при анализе течений бингамовских сред авторами (А. В. Гноевой, Д. М. Климов, В. М. Чесноков, 1997) была предложена новая постановка таких задач и новые уравнения для их решения [16,20]. Сущность предложения заключается в следующем а) ядро течения такой среды принимается, в соответствии с моделью бингамовской среды, идеально пластичным телом (телом Сен-Венана) б) в текущей среде, в зависимости от ее напряженного состояния, различаются следующие области а) область сдвигового течения, в которой интенсивность напряжений больше предельного напряжения сдвига б) область идеально пластического течения, в которой интенсивность напряжений равна предельному напряжения сдвига в) граничными условиями являются на стенках [c.12]

IV. Рассмотрим постановку задачи по отношению к функции Сен-Венана [c.260]

Можно предпринять и дальнейшие шаги в том же направлении, именно попытаться подобрать такое приближенное условие пластичности, при котором система уравнений была бы всюду гиперболической. Подобное условие выдвинул, в частности, Р. Мизес по его предложению эллипс аппроксимируется двумя ветвями парабол. Следует, однако, заметить, что эта аппроксимация довольно грубая, условие же Треска — Сен-Венана настолько упрощает постановку задачи, что настоятельной необходимости в дальнейших упрощениях математической формулировки нет. [c.106]

При исследовании оболочек нулевой кривизны и пологих оболочек, срединная поверхность которых изометрична плоской пластинке, нередко за вспомогательное принимается состояние пластинки, что упрощает построение ядер, но вместе с тем меняет и их структуру. В последнее время выдвинута идея о применении фокусированных ядер, т. е. быстро затухающих вспомогательных состояний, для улучшения сходимости вычислительного процесса (Н. А. Кильчевский, 1960 Н. А. Кильчевский, X. X. Константинов и Н. И. Ремизова, 1966). Пока же весь этот круг вопросов характеризуется различными постановками задач, выдвижением новых способов и отсутствием конкретного опыта, добываемого прж решении задач приведения до логического конца, т. е. до определенной системы двумерных уравнений. Наибольший интерес представляет решение задач, при которых напряженное состояние оболочки должно быть найдено при помощи уравнений теории упругости (например, краевые эффекты типа Сен-Венана, состояние около сосредоточенной нагрузки, около фронтов распространения возмущений и т. д.). [c.265]

В этой главе рассматриваются наиболее простые случаи распределения напряжений в анизотропных телах, преимущественно в стержнях и пластинках. Формулы для составляющих напряжений и перемещения мы приводим без вывода, так как они получаются элементарным путем. Во всех случаях, рассмотренных в этой главе (а также и в последующих), принимается во внимание известный принцип Сен-Венана, позволяющий значительно упростить в ряде случаев постановку задач ). [c.77]

Постановка задачи Сен-Венана. Призматический стержень— тело, образуемое при поступательном движении плоской фигуры S по прямой, перпендикулярной плоскости фигуры фигура S представляет поперечное сечение стержня. Осью стержня Oz называется прямая, являющаяся геометрическим местом центров инерции поперечных сечений оси Ох, Оу, расположенные в плоскости поперечного сечения, направлены по его главным осям инерции. Начало О системы осей Оху расположено в одном из поперечных сечений (в сечении 2 = onst) начальное = 0) и конечное (z = I) поперечные сечения называются торцами стержня, их центры инерции обозначаются 0-, 0+. Через 1ос, 1у назовем моменты инерции поперечного сечения относительно расположенных в нем осей, через S — его площадь. Итак, [c.366]

Следствием этих уравнений, а также краевых условий (1.1.3) на боковой поверхности стери<ня является приемлемость второй группы предположений, допускаемых в постановке задачи Сен-Венана [c.368]

Постановка задачи. Эта впервые рассмотренная Мичел-лом (1900) задача является естественным продолжением задачи Сен-Венана. Рассматривается напряженное состояние в призматическом стержне, равномерно нагруженном по его боковой поверхности краевые условия (1.1.3), (1.1.4) задачи Сен-Венана на этой поверхности поэтому должны быть записаны в виде [c.445]

Плоская деформация реализуется в призматическом теле, теоретически бесконечной длины, нагруженном поверхностными и объемными силами, перпендикулярными оси г, интенсивность которых не зависит от г. Тогда все поперечные сечения тела находятся в одинаковых условиях, чем оправдывается задание перемещений в форме (1.1.1). Приближенно плоская деформация осуществляется в удаленной от торцов средней части тела конечного протяжения по оси г. Зависимость напряженного состояния от г учитывается в постановке задач Мичелла и Аль-манзи ( 5 гл. VI), сводящихся к наложению задач Сен-Венана и плоской. [c.463]

Сформулированная таким образом задача по Клебшу называется задачей Сен-Венана и в общей трехмерной постановке является одной из труднейших в теории упругости. Преодоление математических трудностей возможно с помощью принципа Сен-Венана (см. 6.1) при этом в качестве метода решения напрашивается так называемый полуобратный метод. [c.142]

Было предпринято много попыток дать объяснение, согласовать теорию с опытом путем изменения постановки задачи и введения дополнительных гипотез. Для проверки теории соударения Сен-Венана Б. М. Малышевым [3, 30] было проведено обстоятельное экспериментальное исследование, которое показало, что значительные отклонения экспериментальных данных от предсказаний теории Сен-Венана обусловлены тем, что опыты по соударению проводились на недостаточно длинных и тонких стержнях и при очень малых скоростях,когда волновые эффекты малы по сравнению с влиянием других факторов, связанных с несовершенством постановки опыта, причем измерения продолжительности удара выполнялись недостаточно точными методами и аппаратурой, предназначенной для измерения малых промежу-ков времени. Для таких измерений Б. М. Малышевым предложен новый метод измерения продолжительности удара с помощью счетноимпульсного хронометра полученные результаты находятся в согласии с теорией Сен-Венана. [c.224]

В постановке задачи этого пункта использовались интегральные уравнения статики (4.3.2) этим из рассмотрения были исключены напряженные состояния, представляемые членами ряда для Uzip, 0), отличными от (4.3,5). Их присутствие следует связать с наличием в угловой точке статически эквивалентных нулю (с исчезающими главным вектором и главным моментом) особенностей. Пренебрежение этими членами, когда они создаются нагружением по малому участку границы, характерно для решений, в которых принцип Сен-Венана используется в его классической формулировке. Оно законно, если соответствующие им напряжения затухают при удалении от участка распределения поверхностных сил быстрее, чем состояния, определяемые действием момента этих сил. [c.539]

Если решение задачи основано на постановке в деформациях через тензор Те или в скоростях деформаций через тензор Т , то соответствующие условия Б.Сен-Венана должны учтываться в замкнутом множестве уравнений. Пример таких множеств без учета инерционных и массовых сил для сред, свойства которых описьшаются определяющими уравнениями (1.5.2) или (1.5.4), приведен в табл. 8. При этом тензор напряжений представлен в виде (1.4.19) с помощью тензора Т функций напряжений Э.Бельтрами для безусловного вьшолнения уравношя равновесия (1.4.18). С использованием тшзора Т уравнения (1.5.2) и (1.5.4) принимают соответствующий вид [c.136]

Отметим еще, что результаты Сен-Венана можно получить, исходя из следующей постановки задачи, принадлежащей В. Фохту (W. Voigt) ) найти упругое равновесие рассматриваемого цилиндра (с незагруженной боковой поверхностью), исходя из предположения, что компоненты напряжения зависят линейным образом от координаты z. [c.494]

Переход от приближения Сен-Венана к приближению Буссинеска и введение в рассмотрение вертикальных составляющих ускорения, даже в предложенной Ж. Буссинеском упрощенной форме, открывают новые возможности изучения процесса неустановившегося движения, позволяют описать дополнительные эффекты, в частности, ондуляции. Для некоторых задач (например, расчета ондуляций в руслах сложного очертания) переход к двумерной ( плановой ) постановке задач целесообразно осуществить совместно с учетом вертикальных составляющих ускорения. Наконец, должны быть продолжены исследования влияния нестационарности и неравномерности течения на кинематические характеристики потока и проявление сил сопротивления. [c.730]

Задачи трехмерного пластического течения весьма трудны и мало изучены. Как показал Т. Томас ), рассматриваемая система уравнений, как правило, эллиптическая. Лишь в отдельных задачах (плоская деформация, кручение и некоторые другие случаи) уравнения имеют вещественные характеристики. Поскольку нелинейные гиперболические уравнения легче поддаются анализу и при этом существенно упрощается постановка краевых задач, предпринимались попытки раздвинуть границы гиперболичности. Иногда это достигается использованием условия текучести Треска — Сен-Венана. Существование характеристических поверхностей при этом условии отмечено Т. Томасом, которому принадлежит систематическир анализ разрывов в пластической среде. [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...