Исследование и упрощение уравнений

ИССЛЕДОВАНИЕ И УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 57 [c.57]

Исследование и упрощение уравнений [c.57]

ИССЛЕДОВАНИЕ И УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИИ 59 [c.59]

ИССЛЕДОВАНИЕ И УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИИ 61 [c.61]

ИССЛЕДОВАНИЕ И УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 63 [c.63]

Основной идеей при получении подобных модельных уравнений явилась схема Кортевега - де Фриза, согласно которой при разложении с целью упрощения волновых уравнений общего вида в ряд теории возмущений параметры нелинейности и дисперсии считаются малыми одного порядка. Благодаря этой идее стали универсальными такие понятий, как солитон, самофокусировка, коллапс, чисто квазичастиц, полная энергия волны и др. Указанный метод двойного разложения долгое время не пользовался популярностью из-за необычности и кажущейся трудности исследования получаемых упрощенных уравнений. [c.29]

Один из основных подходов для анализа и упрощения уравнений Павье — Стокса заключается в полном или частичном пренебрежении нелинейными инерционными членами (V по сравнению с линейными вязкими членами иАУ. Этот метод оправдан при Ке = Ы1 /г <С 1 и широко используется для исследования движения частиц, капель и пузырей в жидкости. Малые числа Рейнольдса характерны для следующих трех случаев медленных (ползущих) течений, сильно вязких жидкостей, малых размеров частиц. [c.41]

Практический смысл канонических преобразований состоит в упрощении уравнений движения, в выборе таких новых координат в фазовом пространстве, которые более удобны для решения задачи о движении системы, нежели исходные старые координаты. Метод канонических преобразований является широко распространенным и эффективным методом исследования гамильтоновых уравнений. [c.338]

Сравнивая формулы (13) и (15), видим, что при одних и тех же диаметрах d и do масштабный эффект при растяжении — сжатии проявляется слабее, что находится в соответствии с экспериментальными данными многих исследований. Сопоставление опытных и расчетных коэффициентов влияния абсолютных размеров поперечного сечения подтверждает приемлемость упрощенного уравнения подобия усталостного разрушения для расчетов деталей машин и возможность вычисления этих коэффициентов по весьма простым формулам (13) — (15) при вполне конкретных значениях показателя степени в них [4]. [c.100]

Аналитическое решение задач, возникающих в газодинамике двухфазных сред, очень часто встречает ряд непреодолимых трудностей. Введение в уравнения движения и энергии дополнительных членов, учитывающих механическое и тепловое взаимодействия между фазами, учет сложных граничных и начальных условий приводят к тому, что в настоящее время чисто аналитическое исследование процессов возможно лишь при очень приближенной постановке задачи. Это заставляет идти по пути упрощения уравнений как путем отбрасывания несущественных для данной задачи членов, так и путем замены сложных точных связей между величинами приближенными, но более простыми. [c.58]

При исследовании теплопроводности металлов в области высоких температур возникают значительные экспериментальные трудности, связанные с необходимостью учета или устранения теплообмена между боковой поверхностью образца и окружающей средой. Существующие методы определения коэффициента теплопроводности основаны на решении упрощенного уравнения теплового баланса, что ограничивает их применимость при температурах выше 800—900° С, где потери на излучение играют решающую роль. Эти потери удается устранить защитной теплоизоляцией либо учесть путем введения дополнительных поправочных множителей [1]. [c.94]

Исходя из высказанных соображений, авторы развили подход, который опирается на упрощенные уравнения и на специальную численную процедуру и обладает рядом преимуществ (в частности, по простоте и кругу решаемых задач) по сравнению с предложенными в цитированных работах. Включение в численную процедуру естественного алгоритма построения скачков, возникающих на длине трубы, снимает вопрос о стыковке гладких участков решения, который, пожалуй, является наиболее слабым звеном практически всех выполненных до сих пор исследований. [c.286]

Полученные в 1 уравнения устойчивости громоздки, содержат несущественные слагаемые и поэтому неудобны для практического применения. С целью упрощения уравнений проведем их исследование, оценивая порядки величин отдельных слагаемых. [c.57]

После усреднения за период получаются укороченные дифференциальные уравнения относительно Л ( и г ) (О, на основании которых составляются соотношения теории марковских процессов. Благодаря введенным упрощениям уравнения типа Колмогорова можно проанализировать при помощи приближенных аналитических или численных методов. Подробное изложение этой методики приводится в ряде работ [18, 29], посвященных решению этого специального класса задач. В отличие от указанных работ в данной монографии развиваются подходы к исследованию нелинейных случайных колебаний без ограничений на интенсивности, масштабы и скорости изменения флуктуаций входных и выходных функций. [c.38]

Использование комплексных вспомогательных функций (комплексных усилий и комплексных смещений) позволяет вдвое понизить порядок разрешающей системы уравнений и значительно уменьшить в них число членов. В результате уравнения становятся менее громоздкими и, значит, более обозримыми, что позволяет легче обнаруживать возможности их преобразования и упрощения. Всякие преобразования и выявление общих свойств решений гораздо удобнее выполнять, основываясь на уравнениях в комплексной форме. Наглядными примерами этому являются исследование уравнений теории оболочек вращения (см. гл. 4) [c.66]

В работе (2601 Ляв исправил ряд неточностей Арона и в том числе дал формулы для Xj, щ, т, используемые и поныне. Однако даже без специального исследования, а чисто интуитивно, представляется очевидным, что изменения кривизны и кручения, обусловленные компонентами тангенциальных смещений, должны быть несущественными. Гораздо большую роль в искривлении оболочки должно играть нормальное перемещение w. Отсюда возник вариант упрощенных уравнений, в котором указанная выше ошибка Арона трактовалась как сознательное допущение. [c.68]

Общее направление исследований — это стремление к упрощениям в уравнениях, к которым сводятся задачи. Упрощения осуществляются ценою пренебрежения членами уравнения, описывающими тепловой перенос того или иного вида (конвекция [6], теплопроводность [4]), и упрощения члена, описывающего [c.134]

В работе подробно рассмотрен случай газа с большой начальной плотностью (большой скоростью звука Со), когда скорости Vi и V2 малы по сравнению с со. Здесь удалось построить аналитическое решение задачи о безотрывном течении и указать значения углов а (О а тг/2 — угол между плоскостями Pi и Р2), для которых возможно безотрывное потенциальное течение. Полученное упрощенное уравнение будет хорошей моделью для исследования структуры течений при малых скоростях Vi и V2. [c.124]

Приведение системы уравнений равновесия к двум дифференциальным уравнениям второго порядка. Из изложенного в предыдущем параграфе выясняется, что с помощью выражений (313) и (314) мы можем получить из уравнений (312) три уравнения с тремя неизвестными V, W и Q . Пользуясь третьим из этих уравнений, мы легко можем исключить перерезывающую силу Q , и тогда три уравнения сведутся у нас к двум уравнениям с неизвестными v п w. Именно таким способом и были получены уравнения, послужившие инструментом для первых исследований изгиба оболочек ). Значительного упрощения уравнений можно достигнуть введением новых переменных 2). В качестве одной из этих новых переменных мы примем угол поворота касательной к меридиану. Обозначив этот угол через V, [c.591]

Подобные уравнения с большей или меньшей детализацией и учетом различных факторов решаются только с помощью ЭВМ. При этом определяются в зависимости от целей исследования и расчета или параметры плавности хода, или нагрузки на автомобиль. Иногда для упрощения анализа колебаний автомобиль рассматривают в виде двух несвязанных колебательных систем, адекватных передней и задней частям автомобиля, или в виде одной (одноопорной) двухмассовой системы, совершающей только вертикальные колебания. Точность определения различных характеристик процесса в этом случае, естественно, снижается (однако качественная картина не меняется). Для большей достоверности иногда усложняют математическое описание колебательного процесса двухмассовой системы, учитывая ограничения, обусловленные реальным характером процесса [20], что позволяет аналитически решать задачу с достаточной степенью точности. [c.210]

Второе издание настоящей книги существенно переработано и дополнено результатами новых исследований и критическим обзором существующих представлений по изучаемой проблеме. Оно включает исследования помпажа как в упрощенной постановке — в предположении, что компрессор представляет собой систему с сосредоточенными постоянными (описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями), так и в общем виде, когда компрессор с сетью является распределенной системой (описываемой дифференциальными уравнениями в частных производных). Показано, что как характер помпажа, так и вообще возможность его появления связаны в основном с формой характеристики компрессора. Б связи с этим задача изучения и устранения помпажа содержит две проблемы. Первая — как предсказывать по характеристикам компрессора и сети, а также геометрическим данным всей системы возможность или невозможность помпажа, выяснить влияние формы характеристики на особенности помпажных колебаний. Вторая проблема заключается в получении ответа на вопрос о том, почему характерис- [c.3]

Это было платой за успехи в исследовании конкретных приборов, так как упрощения уравнений в отклонениях, свои в каждом исследовании, искажали соотношения идеальной работы и тем самым затемняли общность природы этих соотношений. [c.258]

Методы расчета срывных течений развиты значительно слабее, чем методы расчета безотрывных течений вязкой жидкости. Для тех и других течений главное значение имеют три направления теоретических исследований построение упрощенных моделей срывных течений, получение точных асимптотических решений уравнений Навье — Стокса при больших (или малых) значениях числа Re, разработка точных численных методов решения краевых задач с использованием современной вычислительной техники. [c.546]

Варианты расчета, которые могут производиться на ЭВМ, делятся на три группы. К первой группе относятся варианты, предназначенные для исследования возможностей упрощения расчетной схемы и понижения порядка системы уравнений. В токарном станке, например, такими вариантами является расчет без учета привода, без учета системы суппорта или с некоторыми упрощениями этой системы (исключение относительного перемещения верхнего суппорта и поперечного в направлении оси у) и т. д. Ко второй группе расчетов относятся варианты, связанные, с выявлением возможности упрощения коэффициентов уравнений или уменьшением их числа. Здесь, например, возможны варианты с исключением демпфирования из элементов, имеющих частоты собственных колебаний, лежащие вне диапазона частот, который исследуется, исключение некоторых неконсервативных членов и т. д. После проведения всех этих расчетов и окончательного упрощения расчетной схемы и отладки программы становится возможен расчет третьей группы вариантов. К ним относятся исследования влияния конструктивных и технологических факторов на устойчивость и колебания при резании. Проведение расчетов этих вариантов и является основной целью всего расчета. Расчет имеет большие возможности, так как позволяет оценить множество.вариантов исполнения станка еще до начала разработки рабочих чертежей. Переход от одного варианта к другому связан с изменением нескольких коэффициентов в уравнениях движения станка. В связи с этим разработанная система диффе-184 [c.184]

В прямоугольной системе координат V — Т уравнение (69) изображается кривой гиперболического характера (рис. 96). Для большей наглядности и упрощения исследований график у = / (Г) удобнее строить в двойной логарифмической сетке, т. е. в такой [c.109]

Так как в этом исследовании предполагается золотник с перекрытием и утечки, шунтирующие силовой цилиндр, отсутствуют, то величиной к можно пренебречь. В то же время следует уменьшать коэффициент вязкого демпфирования Ь, чтобы избежать чрезмерных потерь энергии при большой скорости движения поршня. Полагая к яЬ равными нулю, получаем упрощенное уравнение, связывающее О (ДУ) с дх и АР [c.495]

Введены инварианты Римана систем упрощенных уравнений и, с помощью смены независимых и зависимых переменных, уравнения приводятся к системе линейных уравнений. Обсуждена возможность качественного исследования неавтомодельных решений ( 7.4). [c.316]

Теоретическое исследование течения вязкого газа при малых числах Рейнольдса основано на решении упрощенных уравнений Навье — Стокса, полученных в предположении, что отношение поперечной компоненты скорости к продольной и отношение продольного градиента к поперечному имеет порядок относительного удлинения сопла [28, 206]. В результате упрощений в уравнениях Навье — Стокса исчезают члены, содержащие вторые производные по сс, и для расчета течения в сопле нужно решать эволюционную по ж задачу, а не краевую задачу для полных уравнений Навье — Стокса. [c.343]

В этой главе описываются некоторые методы, приложимые к системам, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но вместе с тем некоторая упрощенная задача — называемая невозмущеиной задачей — допускает точное решение. При этом предполагается, что различие между интересующей нас возмущенной системой и упрощенной невозмущенной системой может рассматриваться как малое возмущение. В первом параграфе рассматриваются прямые методы трактовки возмущений эти методы используются для исследования ангармонического осциллятора. Во втором параграфе излагается каноническая теория возмущений, на которой основывается кваи-товомехаинческая теория возмущений. Рассмотрен также кратко вопрос о секуляриых и периодических возмущениях. [c.182]

Метод Ф. М. Диментберга представляет собой разновидность геометрических методов. Как и большинство аналогичных методов, этот метод отличается раздельным составлением уравнений замкнутости продольных осей симметрии звеньев, соединенных в кинематические пары, и уравнений, определяющих структуру геометрических связей звеньев. В этом методе в качестве параметров, определяющих кинематическую цепь, приняты параметры относительных движений звеньев. С этой точки зрения методы Диментберга и Веккерта—Вёрле аналогичны. Однако существенным отличием метода Ф. М. Диментберга является использование для определения движений механизмов теории конечных поворотов. При этом отсутствует необходимость введения координатных систем, однако это не приводит к упрощению вычислений, а наоборот, влечет за собой возникновение весьма сложных и громоздких уравнений, которые распадаются всего лишь на две части — действительную и моментную. Другой особенностью метода является то, что комплексные уравнения, выводимые при анализе механизмов, определяют не действительные, а некоторые фиктивные движения звеньев, что усложняет использование этих уравнений при исследовании геометрических и динамических явлений, происходящих в механизмах. [c.127]

Введена величина Z, которая является функцией касательных напряжений, прило/кенпых к поверхности раздела фаз. Допущение о том, что эта функция имеет постоянную величину во всем диапазоне режимов, исследованных Локкартом и Мартинеллн, дает хорошее совпадение расчетных и измеренных значений градиента давления. Приведены частные случаи общего уравнения для расчета градиента давления при кольцевом режиме течения и нрн режиме течения такого потока, который можно рассматривать как однородный. Для этих случаев Z имеет вполне определенное значение. Для использования в инженерной практике рекомендованы упрощенные уравнения. [c.144]

Качественным исследованием и классификацией решений задач теории оболочек занимались А. Л. Гольденвейзер [37, 38], X. М. Муштари [116] и авторы этой книги [210], в работах которых нашли обоснование общие принципы упрощения уравнений теории оболочек. [c.9]

В связи со сказанным следует отметить, что те задачи теории оболочек, для которых теория, изложенная в работе [40], позволяет наметить пути упрощения уравнений теории оболочек и построения приближенных решений, были в большинстве рассмотрены ранее и являются пройденным этапом. Более же трудные, не вполне исследованные задачи (например, расчет оболочек на действие сосредоточенных сил, расчет напряжений в районах, где коэффициенты дифференциальных уравнений теории оболо- [c.81]

Теория пограничного слоя, как известно, первоначально была дана Прандт-лем. Однако, с математической стороны, мы имеем здесь прием приближенного интегрирования уравнений вязкой жидкости, основанный на упрощении уравнений нри помощи их разложений но степеням некоторого параметра, за который берется весьма малая толщина пограничного слоя. С этой точки зрения мы имеем здесь использование приема, гаироко применяемого и в чистой, и в прикладной математике, например в небесной механике и в исследовании уравнений второго порядка с неподвижными критическими точками, в которых получены были блестящие результаты Painleve и его гаколою. [c.164]

Система уравнений (1.4) нелинейна, а теоремы существования и единственности решения задачи с начальными данными на линии параболичности, являющейся характеристикой, известны только для некоторых линейных систем как в гиперболическом, так и в эллиптическом случаях. Целью дальнейшего являются получение в рамках сделанных предположений приближенных представлений для функций Ф и г, получение упрощенного уравнения для X и исследование задач с начальными данными для этого уравнения. При помощи полученного уравнения прежде всего можно, решив его, найти приближенно функцию X. Кроме того, оно будет модельным при решении рассматриваемых задач для системы (1.4). В гиперболическом случае для него удается доказать существование решения. Тип системы (1.4) в окрестности г = О совпадает с типом уравнения для X, так как коэффициенты при вторых производных во всех уравнениях (1.4) одинаковы. [c.116]

Подобные задачи стали рассматриваться в акустике, пожалуй, только начиная с 1969 г,, когда Е.А. Заболотской и Р.В. Хохловым [1969] было предложено упрощенное уравнение, описьшающее эволюцию нелинейных звуковых пучков с узким угловым спектром. Это уравнение послужило основой ряда дальнейших исследований. Следует, правда, признать, что оно все еще очень сложно и для его решения приходится привлекать приближенные методы или пользоваться численными расчетами. [c.103]

Одной из важнейших задач при исследовании каких-нибудь физических процессов является составление уравнений, описывающих изучаемые процессы. В большинстве случаев получить общее решение уравнений бывает невозможно и приходится ограничиваться решениями частных случаев или прибегать к различным долущениям и упрощениям. Однако независимо от возможности или невозможности решения уравнений наличие их позволяет более полно понять физическую сущность исследуемых явлений. Часто наличие уравнений позволяет применить к исследованию теорию подобия. Благодаря этому облегчается постановка эксперимента и полученные результаты принимают более общий характер. [c.301]

Произведем упрощение уравнений Навье—Стокса (П-29, П-30 и П-31), имея в виду получить уравнения для исследования пограничного слоя. Сделаем это для простого случая двумерного плоскопараллельного потока, обтекающего пластину. Расположим оси координат на передней кромке пластины, тогда уравнения неразрывности (II-7) и Навье—Стокса (И-29 и П-30) для двумерного потока несжимаемой р = onst жидкости имеют вид [c.120]

Упрощения уравнений гидродинамики в задачах динамической метеорологии основываются на результатах статистической обработки фактических наземных и аэрологических данных об атмосфере. Порядок величин, встречающихся в атмосферных движениях, часто является предметом исследований метеорологов. Укажем в этом отношении, например, на старую совместную работу А. А. Фридмана и норвежского метеоролога Т. Гессельберга (1914). Основанные на современных данных представления о порядке метеорологических величин описаны в книге М. И. Юдина (1963). [c.562]

Важным обстоятельством для математических исследований уравнения Чаплыгина является то 9, что 6(0) = 0. Приближенные уравнения трансзвуковых течений могут быть получены из уравнения (29) при аппроксимациях зависимости К (а). Простейшая аппроксимация К (а) = а приводит к уравнению Трикоми. Это же уравнение получается и из (30), если в нем положить 6(ту) = 6(0) = 0. В физической плоскости этому соответствует упрощение уравнений (28) при Л 1, состоящее в замене коэффициентов системы их главными частями (гл. 2, 2), что приводит к уравнениям Кармана-Фальковича [146, 98 [c.47]

В статье рассматриваются стопорные режимы в машинном агрегате с электроприводом постоянного тока. Механическая система схематизирована в виде дискретной цепной крутильной системы с конечным числом степеней свободы. Рассмотрены уточненное и упрощенное математические описания упруго-диссипативных свойств соединений. Динамические процессы в приводном двигателе с независимым возбуждением исследованы с учетом типовых САР скорости. При этом рассмотрены наиболее характерные примеры САР с линейными и нелинейными (задержанными) связями. На основе рассмотрения динамических процессов в механической системе и в проводном двигателе получена система дифференциальных уравнений движения с кусочно-постоянными коэффициентами при уточненном математическом описании динамических харак-геристик звеньев. Предложен эффективный численно-аналитический метод интегрирования системы уравнений движения. Рассмотрены возможные упрощения при приближенном исследовании стопорных режимов Получена система приближенных интегральнодифференциальных уравнений стопорного режима, для которой разработан метод отыскания решения в аналитическом виде. Изложенное иллюстрировано общим примером. Библ. Ill назв. Илл. 9. [c.400]

В целях упрощения исследований можно использовать уравнение, описывающее простую бинарную реакцию лиссоднации и рекомбинации чистого диссоциирующего двухатомного газа, представляемую общей зависимостью (1.6 I), причем в зтой зависимости скорости диссоциации и рекомбинации не равны, следовательно, химическая реакция характеризуется некоторой разностью указанных скоростей. Равновесие достигается, когда скорость образования новых молекул в результате рекомбинации атомов будет равна скорости исчезновения молекул, диссоциирующих иа атомы. Таким образом, истинная скорость реакции диссоциации [c.186]

При р=0 теорема 12 совпадает с теоремоб И. В другом предельном случае, когда отношение (1=Р/а велико, уравнения (50) будут сингулярными. Следуя общему методу исследования таких уравнений, при а = 0 из (50) получим упрощенное уравнение [c.59]

B. Койтера. В недавно вышедшей в свет книге Ю. Леккеркер-кера [5.74] подробно изучены задачи о распределении напряжений в цилиндрической оболочке, ослабленной немалым круговым отверстием ). Весьма заманчивой является возможность упрощения основных уравнений, определяющих дополнительное напряженное состояние, порожденное отверстием. Для этого необходимо произвести классификацию отверстий и в зависимости от величины последних указать упрощенное уравнение, описывающее дополнительное напряженное состояние. Результаты исследований в этом направлении содержатся в докладе А. Л. Гольденвейзера (см. [5.35]) там же рассматривается метод расчленения напряженного состояния применительно к оболочкам с отверстиями. Следует также указать на другие направления исследований, которые основаны на вариационных и численных методах и, наконец, на экспериментальные методы, в некоторых случаях весьма эффективные. [c.307]

В начале 30-х годов весьма актуальными были проблемы, связанные с изучением штопора самолета. Первые серьезные исследования по штопору в СССР были проведены В. С. Пышновым в 1927 г. Исследования штопора в ЦАГИ были начаты под руководством А. И. Журавченко. В 1934 г. вышла его работа на эту тему, в которой он описал первые экспериментальные результаты по влиянию угла атаки, угла скольжения и угловой скорости крена на силы и моменты, действующие на самолет. На этой основе были изучены установившиеся режимы штопора. Далее А. Н. Журавченко продолжил исследование на приборе Ш-1 (1935 г.) и дал анализ неустановившегося движения выхода самолета из штопора. В этой его работе сделана попытка на основе численного интегрирования упрощенных уравнений движений самолета проанализировать режим выхода. Однако положенные в основу аэродинамические характеристики, полученные на приборе Ш-1, являлись недостаточно точными и при переходе к натуре были источником ошибок. В дальнейшем проблема штопора получила достаточно надежное разрешение на основе экспериментальных методов исследований динамически подобных моделей в вертикальной трубе ЦАГИ Т-105 (М. М. Михайлов, [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...