Дифференциальные уравнения и краевые условия

С дифференциальными уравнениями и краевыми условиями для и(х) и ti(x), содержащими неизвестную осевую жесткость s x) = 2ЕЫ х). Хотя анализ, приведенный в [5], и ведет непосредственно к цели, однако он весьма трудоемок и показывает, что решение этой, в принципе очень простой, задачи находится почти за пределами возможностей чисто аналитических методов. Поэтому при практическом решении менее простых задач становится неизбежным использование численных методов, основанных на соответствуюш,ей дискретизации. [c.85]

Универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений и их систем является разностный метод, называемый еще методом конечных разностей или методом сеток. Сущность этого метода заключается в том, что в области изменения переменных величин вводят некоторую сетку, а все производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяют алгебраическими комбинациями от значений функции в узлах сетки. Рещая полученную в результате такой замены систему [c.58]

Метод разностной аппроксимации заключается в том, что все производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяют отнощением конечных разностей соответствующих величин, взятых в узлах сетки. Этим способом были составлены разностные схемы (3.10) и (3.12). Разностная аппроксимация дифференциальных операторов может быть представлена в разной форме. Например, производная йи/йх аппроксимируется схемами [c.62]

Одним из универсальных методов решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (см., например, [6]). Он заключается в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется конечной совокупностью точек (узлов), называемых сеткой, сами же функции, рассматриваемые в этих точках, называются сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия (если они дифференциальные), заменяются теми или иными разностными соотношениями. Тогда для значений функций в узловых точках получается система алгебраических уравнений. [c.172]

При реализации метода конечных разностей необходимо, чтобы полученная алгебраическая система (она линейна, если дифференциальное уравнение и краевое условие линейны) была разрешима и при увеличении числа узлов ее решение приближалось к точным значениям искомой функции в узловых точках. При всем этом требуется, естественно, чтобы решение полученной системы было устойчивым. [c.172]

Коснемся вопроса о том, при каких условиях обобщенное решение оказывается решением в классическом смысле (т. е. имеет нужное количество производных, удовлетворяет дифференциальному уравнению и краевым условиям). Оказывается [69,159], что если правая часть является кусочно-непрерывной функцией, то уравнения Ламе удовлетворяются. Краевые же условия выполняются, если граничная поверхность достаточно гладкая, а правые части уравнений равновесия достаточное число раз непрерывно дифференцируемы. В общем же случае однородные краевые условия удовлетворяются в следующем смысле. Существует такая последовательность функций ы (входящих в энергетическое пространство), что выполняется равенство [c.626]

Прежде чем сформулировать соответствующее определение, введем ряд обозначений. Пусть R(u)=0 — вся совокупность уравнений, входящих в краевую задачу, т. е. основное дифференциальное уравнение и краевые условия. Уравнения сеточной краевой задачи запишем в аналогичном в иде Rh(Uh)=0. Погрешностью аппроксимации схемы на точном решении называется сеточная функция ah = Rh u), возникающая при подстановке точного решения краевой задачи в уравнение схемы. [c.76]

Для описания конкретного процесса переноса теплоты к названным уравнениям необходимо присоединить краевые условия . В некоторых случаях система из перечисленных дифференциальных уравнений и краевых условий может быть решена (гл. 4, 5, 7). [c.14]

Система уравнений, описывающих явление теплоотдачи, содержит дифференциальные уравнения энергии, теплоотдачи, движения и сплошности. При этом геометрические условия однозначности определяют форму и размеры поверхности соприкосновения теплоносителя с телом, физические условия — теплопроводность, вязкость теплоносителя и другие свойства, граничные условия — распределение скоростей и температур на границах изучаемой системы. Для некоторых задач теплообмена могут быть получены и более сложные системы дифференциальных уравнений и краевых условий. [c.157]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ [c.24]

При исследовании ползучести и устойчивости оболочек в большом в дальнейшем используем вариационное уравнение (11.20), однако для полноты предлагаемой теории получаем систему дифференциальных уравнений и краевые условия, соответствующие поставленной вариационной задаче. Знание главных и естественных краевых условий необходимо для выбора координатных функций. [c.24]

Присоединяя условия единственности к дифференциальному уравнению теплопроводности, можно решить его до конца, т. е. численно определить температуру в любой точке тела и в любой момент времени. На этом пути могут возникнуть лишь математические трудности, преодолению которых посвящены многочисленные специальные курсы. Здесь нужно подчеркнуть, что если каким-либо способом найдена функция от координат и времени, удовлетворяющая одновременно дифференциальному уравнению и краевым условиям, то функция эта дает единственное решение конкретной задачи. [c.23]

Помимо математической формулировки задачи теплопроводности в виде дифференциальных уравнений и краевых условий для неоднородного анизотропного тела произвольной формы возможна также формулировка задачи в виде интегральных соотношений, в частности с помощью интеграла взвешенной невязки [12], содержащего весовые функции. Такая формулировка задачи, называемая интегральной, позволяет выявить некоторые общие свойства температурных полей и наряду с классическими методами строгого аналитического решения построить эффективные алгоритмы приближенного аналитического или численного решения. [c.38]

При составлении таблиц обязателен переход к безразмерной форме математической модели процесса теплопередачи. Преимущества безразмерной формы математической модели процесса теплопередачи очевидны, так как [Л. 38] решение уравнений, представленных в безразмерной форме менее трудоемко, чем решение тех же уравнений в размерном виде, поскольку число переменных сокращается. По этой же причине объем расчетной работы по безразмерным решениям будет минимальным. Использование безразмерной формы записи дифференциальных уравнений и краевых условий позволяет обобщить явления различной физической природы, поскольку для большой группы взаимосвязанных явлений переноса системы дифференциальных уравнений оказываются тождественными, а физический смысл соответствующих безразмерных коэффициентов аналогичным. Следовательно, создается возможность не только научно обосновать моделирование нестационарных взаимосвязанных процессов, но и путем моделирования исследовать, отрабатывать сложные процессы, составлять таблицы, графики и т. д. Нестационарный тепловой режим твердого тела представляет несомненный интерес для конструктора, занимающегося проектированием тепловых машин и теплообменных устройств различного назначения. В связи с отмеченным рассмотрим тепловой режим твердого тела в условиях несимметричного нагревания для граничных условий третьего рода. [c.153]

Во-вторых, использование безразмерной формы записи дифференциальных уравнений и краевых условий позволяет сделать следующий шаг по пути обобщения явлений переноса для большой группы взаимосвязанных явлений переноса системы дифференциальных уравнений оказываются тождественными, а физический смысл соответствующих безразмерных коэффициентов аналогичным. Следовательно, создается возможность научно обосновать моделирование нестационарных взаимосвязанных процессов, т. е. исследовать и отрабатывать режимы сложных и дорогих процессов на основе изучения относительно более простых и дешевых аналогов. [c.113]

Новая переменная (10-4-35) превращает ранее полученное дифференциальное уравнение и краевые условия в уравнение [c.488]

Решения конечно-разностных уравнений сходятся к точному решению краевой задачи при h , hy- 0. Скорость сходимости зависит от порядка аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий. Поэтому важно, чтобы погрешности аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий имели одинаковый порядок. В рассмотренном примере погрешность решения равна [c.487]

Дифференциальное уравнение и краевые условия продольных колебаний стержней. [c.190]

Помимо математической формулировки задач термоупругости в виде дифференциальных уравнений и краевых условий возможна также интегральная форма представления решения. Такая форма позволяет выявить некоторые общие свойства температурного и напряженно-деформированного состояний тела и наряду с классическими методами строгого аналитического решения построить эффективные алгоритмы приближенных решений. [c.23]

Задача разыскания равновесного состояния линейно-упругого тела сведена к вариационной задаче об определении вектора и, сообщающего минимум функционалу Ф над ним и принимающего заданные значения на 0. Известно, что задаче вариационного исчисления сопоставляется эквивалентная ей краевая задача. Дифференциальные уравнения и краевые условия последней получаются из рассмотрения вариации минимизируемого функционала—это уравнения Эйлера и натуральные краевые условия, соответствующие этому функционалу. [c.151]

Введем масштабы для всех переменных и постоянных величин, входящих в дифференциальные уравнения и краевые условия (3.22) [c.61]

Формулы (5.2) являются центральными для производных. Если воспользоваться ими для перехода от дифференциальных уравнений и краевых условий к конечно-разностным, то метод прогонки даст более точные приближения. Он удобен тем, что в нем при любой величине шага сетки решение сводится к раскрытию определителя четвертого порядка. Это позволяет, уменьшая последовательно шаг, получить точный результат. При этом длина I должна быть выбрана такой, чтобы отброшенная часть не влияла на критический параметр усилий (телшературы). [c.165]

Заметим, что аналогичные дифференциальное уравнение и краевое условие (29.8) справедливы для прогиба мембраны, натянутой на жестком контуре, под действием равномерного давления. Эта аналогия, подмеченная Прандтлем, позволяет находить экспериментальное решение задачи кручения при помощи мыльной или какой-либо иной пленки в тех случаях, когда математическое решение уравнения Пуассона (29.10) для данного контура затруднительно. Так как функция напряжений содержит ш множителем, то отношения не зависят от (в, следовательно, главные направления в каждой точке фиксированы. [c.122]

Теперь, когда записаны дифференциальные уравнения и краевые условия задачи, перейдём к описанию аппроксимирующей системы, разработанной и применённой к расчётам О. М. Белоцерковским на основе метода интегральных соотношений, развитого А. А. Дородницыным. [c.194]

Из дифференциальных уравнений и краевых условий выводится критериальное уравнение (6.51), содержащее два определяющих критерия Gr и Рг. [c.634]

Для вязкой жидкости любые явления, удовлетворяющие уравнению (1.1), могут быть однозначно математически описаны, в частности, с помощью замкнутой системы дифференциальных уравнений и краевых условий. [c.12]

Дифференциальные операторы заменяются соответствующими алгебраическими конечно-разностными выражениями. В итоге исходное дифференциальное уравнение и краевые условия аппроксимируются системой разностных уравнений, или, как говорят, разностной схемой. Решив систему алгебраических уравнений, получим приближенное значение искомой функции в узлах сетки. [c.98]

Разностный метод состоит в принципе в том, что производные искомой функции х 1) заменяются их приближенными выражениями через значения х 1) в узлах. Тогда вместо дифференциальных уравнений и краевых условий для функции х 1) получаем систему конечных уравнений (алгебраических, трансцендентных) относительно неизвестных значений х = дс( л) этой функции в узлах. [c.687]

Таким образом, процедура численного решения задач ЕК состоит из трех основных этапов. Сначала на выбранной сетке производится аппроксимация дифференциальных уравнений и краевых условий, в результате которой строится разностная схема — дискретный аналог исходной задачи. Затем выбирается метод решения полученной нелинейной разностной задачи и конструирование вычислительного алгоритма завершается. Заключительный этап — программная реализация этого алгоритма на ЭВМ. [c.28]

Таким обралом, иариациоппое уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению и краевым условиям. [c.325]

Далее, Fo = D /d — диффузионный критерий Фурье, характеризующий внутренние кинетические свойства систед1ы. Критериальные уравнения связи (4) и (5) были получены в результате подобного преобразования соответствующей системы дифференциальных уравнений и краевых условий (для конкретной задачи). [c.143]

Дифференциальные уравнения и краевые условия. Исходными служат уравнения технической теории стержней (см. гл. VIII) при g s 0. На каждом краю должно быть поставлено по два условия. Основные виды краевых условий представлены в табл. 6 гл. VIИ. Решение может быть получено методом разделения переменных. Выделение временного множителя путем подстановки [c.193]

Для установления дифференциальных уравнений равновесия воспользуемся принципом возможных перемещений [207]. Вариационные принципы открывают естественный путь для сведения трехмерных задач механики сплошных сред к двумерным задачам теории пластин и оболочек. Их использование позволяет установить систему обобщенных внутренних усилий, соответствующую независимым обобщенным кинематическим параметрам конечносдвиговой слоистой оболочечной системы и получить корректные уравнения ее равновесия. Вместе с ними устанавливаются кинематические и естественные граничные условия задачи. Дифференциальные уравнения и краевые условия получаются из вариационного принципа путем применения формальной математической процедуры, что важно, поскольку корректное использование формального аналитического метода позволяет избежать ошибочных формулировок, которые могли бы возникнуть при составлении уравнений равновесия и краевых условий методами элементарной статики. Анализ публикаций, посвященных неклассическим моделям деформирования многослойных оболочек, выявляет многочистенные примеры таких формулировок [8, 9, 215, 250, 253 и др.]. Укажем также и на известный [301 ] классический пример такого рода — условие Пуассона на свободном крае. [c.47]

Для того чтобы проверить справедливость предположения III с помощью инспекционного анализа, в принципе можно действовать следующим образом. Пусть известно, что некоторое течение жидкости можно приближенно рассчитать, решив соответствующую краевую задачу в смысле I. Тогда мсжно попросту проверить инвариантность дифференциальных уравнений и краевых условий относительно преобразований некоторой группы (скажем, преобразований (22)). Если они инвариантны и краевая задача корректно поставлена, то предположение III справедливо. [c.138]

Лопасть рабочего колеса гидротурбины представляет собой слабоизогнутую пластину переменной толщины, имеющую в плане форму части кругового кольца, закрепленного по внутреннему дуговому краю на участке сопряжения с фланцем. Расчет напряжений в лопасти, вызываемых прилагаемым давлением, представляет трудную задачу вследствие сложности исходных дифференциальных уравнений и краевых условий 15]. До настоящего времени отсутствует точное решение этой задачи и более эффективными являются приближенные расчеты напряжений, основанные на вариационном методе и приближенном решении интегральных уравнений [7], [И]. Но и эти методы сопряжены с трудоемкими вычислениями и их применение в инженерной практике затруднительно. Поэтому особенно важны экспериментальные исследования напряженного состояния лопасти. [c.437]

То — распределение температуры в момент времени i = 0. В данном решении, в отличие от классического, в соответствии с порядком дифференциального уравнения и краевых условий в момент = О кроме распределения температуры следует задать начальное значение моментов. В качестве примера рассмотрим в первом приближении процесс остывания неограниченного стержня (—оо < х < оо), боковая поверхность которого термоизолирована, а при ж = О, < = О задано ( -образное распределение температуры. В качестве (5-образной функции примем [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...