Обобщенная сила и силовая функция

Обобщенная сила и силовая функция. Левая и правая части уравнения движения Ньютона отражают соответственно два принципиально различных аспекта задач механики. В левой части отражены инертные свойства массы, В аналитической механике эти свойства находят свое выражение в понятии кинетической энергии. Правая часть уравнения — движущая сила — описывает динамическое поведение внешнего поля в его воздействии на частицу. Хотя мы склонны считать силу за некую первичную и не- [c.49]

Обобщенная сила и силовая функция 51 [c.51]

Решение. Принимая за обобщенные координаты угол ф поворота систе мы вокруг вертикальной оси и угол а между вертикалью и радиус-векторе шарика, для живой силы и силовой функции соответственно будем иметь [c.566]

Уравнения Лагранжа интересны тем, что для их написания в определяющей переменной q достаточно знать выражение жн-вой силы Т в функции от определяющей координаты q, ее производной q и времени t и обобщенную силу Q. Если силы допускают силовую функцию 7, то Q — dU/dq, и уравнения Лагранжа принимают вид [c.123]

Легче всего понять вывод относящихся сюда уравнений, если считать, что известны строение системы п - - п точек, силовая функция Л, а также движение точек, т. е. все их координаты известны в функции времени, и поставить вопрос о том, какие обобщенные силы соответствуют циклическим координатам и какие силы соответствующие обычным координатам, должны быть присоединены к силам, имеющим силовую функцию Р, чтобы вызвать заданное изменение координат во времени. Тогда для циклических координат должны иметь место уравнения (254), т. е. [c.492]

Представим себе, что движение материальной системы происходит под действием сил, обладающих силовой функцией V, являющейся непрерывной функцией времени и обобщенных координат д ), имеющей непрерывные частные производные первого и второго порядков. [c.276]

Пример 93. Материальная точка массой т движется под действием силы притяжения к некоторому центру О. Зная, что силовая функция поля равна U (г), где /- — расстояние от точки до центра О, найти канонические уравнения и уравнения ее движения, применив метод интегрирования Остроградского—Якоби, Решение. Выберем за обобщенные координаты материальной точки ее полярные координаты г и ф. Так как составляющие скорости точки, выраженные н полярных координатах, определяются по формулам [c.387]

Так как в данной задаче система находится под действием сил тяжести, для которых существует силовая функция, то обобщенные силы можно определить и по формулам (249). Силовая функция для сил Р, и Pj имеет вид [c.409]

Помимо сил инерции в природе существуют и другие силы, обладающие обобщенной силовой функцией. [c.552]

Если все активные силы (при идеальных связях) обладают силовой функцией и = и ху, Ук, 2у) или в обобщенных координатах и = = и ((71, ..> 9л)> то, как показано выше, выражения обобщенных [c.337]

Рассмотрим движение системы материальных точек, находящихся под действием восстанавливающих сил, образующих потенциальное силовое поле, и некоторых возмущающих сил, являющихся явными функциями времени. Конечно, система может находиться под действием сил с более общими физическими свойствами — сил, являющихся функциями времени, обобщенных координат, обобщенных скоростей и в некоторых случаях — обобщенных ускорений 2). Но при изучении малых колебаний действие таких сил может проявиться в том, что линейные дифференциальные уравнения будут иметь переменные коэффициенты ), Здесь не изучаются эти более сложные случаи движения системы. Квазигармонические движения точки рассматриваются в конце этой главы. [c.263]

Для потока свободных частиц волновая функция Ф выражается формулой (3) 17, причем длина волны и частота v определяются соотношениями (1) того же параграфа. Возникает вопрос, как определить волновую функцию для частицы, движущейся под влиянием данных сил. Такая задача была решена Шредингером, нашедшим в 1925 г. дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет волновая функция Ч " для случая любого силового поля. Это уравнение можно получить путем следуюш,его обобщения. Подставим в волновую функцию W, выражаемую для свободных частиц формулой (3) 17, вместо X и V их значения по формуле (1) 17 введем еще h Л/2тг, тогда получим [c.90]

Так как Т есть однородная квадратичная функция р ь, то все р ь и Ра могут оставаться постоянными, а следовательно, может быть Рь = Ра — О, если все Рь исчезают. Наоборот, если это имеет место, то Ра, вообще говоря, имеют значения, отличные от нуля. Мы будем подразделять на различные классы обобщенные силы, соответствующие параметрам р . Они могут быть отчасти результатом взаимодействий п точек, а отчасти результатом действия других материальных точек, которые соответствуют п точкам 45—47 и подобно им предполагаются раз навсегда закрепленными в пространстве эти точки мы будем называть неподвижными материальными точками. Впрочем, как и раньше, они могут быть причислены к п материальным точкам. Все эти силы, как происходящие от Взаимодействия п точек, так и от действия имеющихся неподвижных точек, мы будем называть внутренними силами они во всяком случае должны иметь склерономную силовую функцию, которую мы опять обозначим через F. Таким образом, все проис- [c.483]

МПФ при силовом возбуждении. В механической системе при силовом возбуждении входной вектор состоит из обобщенных сил (сил и моментов), выходной — из обобщенных перемещений, скоростей или ускорений (включая угловые), а также из сил взаимодействия с присоединенными системами или жесткими опорами. Соответствующие передаточные функции можно называть операторной податливостью, операторной подвижностью, операторной восприимчивостью, передаточной функцией сил. В многомерном случае получается матрица операторных податливостей и т. д. [c.74]

Введение. В работах [1, 2] рассмотрено обобщение классической задачи о движении твердого тела в бесконечном объеме идеальной жидкости, совершающей безвихревое движение и покоящейся на бесконечности (см., например, [3, 4]). Изучено свободное (при отсутствии внешних сил) движение изменяемого тела при условии, что изменение геометрии масс тела и его формы осуществляется за счет действия внутренних сил и описывается наперед заданными функциями времени относительно некоторой подвижной системы отсчета. В такой постановке задача о движении изменяемого тела сводится к изучению указанной системы отсчета. В работах [1, 2] обнаружен следующий новый эффект закон изменения геометрии тела можно подобрать таким образом, чтобы обеспечить перемещение тела в любую (сколь угодно далекую) точку окружающего объема жидкости. Полная управляемость такой системы оказалась возможной и при сохранении формы внешней поверхности тела (т. е. лишь за счет изменения внутренней геометрии масс). Единственное условие состоит в том, чтобы присоединенные массы тела (которые, напомним, зависят лишь от формы его поверхности) не были все равны между собой. Отметим, что полученные ранее результаты о возможности неограниченного движения изменяемого тела (см., например, [5, 6]) основываются на использовании таких механизмов управления геометрией тела, при которых изменяется форма его поверхности и объем. В настоящей работе более детально изучается механизм перемещения тела с жесткой оболочкой за счет изменения лишь его геометрии масс, а также изучается движение изменяемого тела в однородном силовом поле. [c.465]

Таким образом, для заданной силовой функции IV (г, г) распределение перемещений и напряжений полностью определяется комплексными потенциалами ф(г), ф(2) с помощью уравнений (32.15), (32.16) и (32.17). В 27 было показано, что решения, справедливые для плоского деформированного состояния, имеют место также и для обобщенного плоского напряженного состояния, если вместо коэффициента V ввести приведенный коэффициент Пуассона a = v/(l-fv). Здесь, как показывает Стивенсон ), необходимо наложить дополнительное условие, а именно, что потенциал массовых сил V (х, у) должен удовлетворять бигармоническому уравнению [c.90]

Так как силовая функция U не зависит от производных обобщенных координат (8.1), а живая сила Т в силу уравнений (8.2) не зависит от прецессионных углов у >и то уравнения Лагранжа в нашем случае будут иметь такой вид [c.384]

Для составления дифференциальных уравнений движения системы с потенциальными силами оказывается, таким образом, достаточным знание лагранжиана системы. При стационарных связях и стационарном силовом поле лагранжиан не зависит явно от времени и является функцией только обобщенных координат и скоростей, а при нестационарных связях и нестационарных силах он явно зависит и от времени. Нетрудно видеть, что лагранжиан задается неоднозначно прибавление к нему любой величины, не зависящей от дк и дк явно, не изменяет уравнений (21.2). Кроме этого, прибавление полной производной по времени от произвольной функции обоб-и енных координат также не изменяет уравнений. [c.187]

Таким образом, если существует силовая функция активных сил и в декартовых координатах, то обобщенная сила Q представляется частной производной этой функции по обобщенной координате [c.228]

Активные силы обладают обобщенной силовой функцией. Силы могут зависеть не только от координат и времени, но и от скоростей. Обобщенной силовой функцией называется функция если обобщенные силы системы представляются через эту функцию формулами [c.235]

Еще один способ вычисления обобщенных сил относится к силам стационарного потенциального силового поля. Стационарным потенциальным силовым полем называется часть пространства, в каждой точке которого на находящуюся в ней (или на проходящую через нее) материальную частицу системы действует сила, зависящая только от положения этой точки, причем работа силы не зависит от пути, по которому перемещается точка приложения силы, а определяется начальным и конечным положениями точки. Потенциальное силовое поле можно еще определить как поле сил, элементарная работа которых представляет точный дифференциал некоторой функции П от координат системы. Для одной силы это определение выражается равенством [c.24]

Уравнения (12.3) означают, что в положении равновесия обобщенные силы равны нулю В случае консервативных сил, когда и= и ф, положения равновесия согласно (12.4) суть стационарные точки силовой функции. [c.109]

Рассмотрим фазовое пространство системы В ", которому принадлежат обобщенные скорости и координаты. Пусть в положении равновесия д = ц = О силовая функция V также равна нулю и имеет изолированный максимум, т.е. существует окрестность, в которой нет других стационарных точек. Поскольку связи стационарны, а силы консервативны, то уравнения движения (12.2) имеют первый интеграл — закон сохранения энергии Т- 11= к. На [c.111]

П.2. Обобщенные решения уравнений классической теории упругости малых деформаций (уравнения (9.3.4)) принадлежат гильбертову пространству функций, суммируемых вместе с квадратами первых производных, т. е. и(г, О е Нх(Г, (О)), скорости и(г, г) е //,(/ Уг (О)), а поле ускорений и силовые поля оказываются из пространства //., = (/ ЛУг ( 2)). В частности, сосредоточенная сила 15(г), где Т — постоянный вектор, а 5 (г) — обобщенная пространственная функция Дирака, соответствует задаче Буссинеска о деформациях упругой среды под действием сосредоточенной силы, приложенной в начале координат. Решение этой задачи следует понимать в обобщенном, а не в классическом смысле, так как это решение не имеет первых и вторых частных производных в нуле. [c.279]

Пусть положение стационарной голономной системы определяется обобщенными координатами д, . .., < , которые выбираются таким образом, что в невозмущеином равновесии системы все они равны нулю. Под к понимается либо полное число параметров, характеризующих отклонение системы от ее невозмущенного равновесия, либо число тех параметров, которыми с достаточной точностью можно описать это отклонение. Активные внешние силы — консервативные и неконсервативные — полагаются пропорциональными параметрам риг соответственно. По-прежнему через и обозначается потенциальная энергия деформации системы, а через V и V — потенциал внешних сил и силовая функция единичной нагрузки, так что V = —р9. В случае малых перемещений системы эти функции могут быть представлены как квадратичные формы от обобщенных координат [c.431]

Пусть Т — живая сила п точек, Г — силовая функция всех сил взаимодействия этих точек и сил, которыми на п точек действуют п точек. Работу всех этих сил мы назове/м внутренней работой, работу тех сил, которые действуют со стороны V точек на п точек (внешних сил), назовем внешней работой. Внешнюю обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате системы п точек, т. е. одну из сил, происходящих от взаимодействия п точек, с одной стороны, и V точек — с другой, мы обозначим через Силы, действующие между п точками и V точками, пусть также обладают силовой функцией, которую мы обозначим через -О общая же силовая функция Р + О всех сил, действующих между п, п и V точками, пусть будет V. Если предпочесть вовсе не говорить о г точках, то внешнее действие на п точек определяется только силами /,, имеющими силовую функцию О, которая, однако, в этом случае содержит медленно из.меняющиеся параметры. [c.475]

Случай потенциальных сил. Если все действующие на систему силы являются потенциальными, то для системы, как известно, существует такая силовая функция U, зависящая от координат Xh, Ук, 2,1 точек системы, что сумма элементарных работ действующих сил равна полному дифференциалу этой функции, т. е. LbAfi -bU [см. 126, формула (62)]. Но при переходе к обобщенным координатам q , q ,. . q, все х , у , могут быть выражены через эти координаты и тогда U-=U(qy, q ,. . qs)- Следовательно, вычисляя 6U как полный дифференциал от функции U(Qi, q ,. , . . .., ), найдем, что [c.374]

При взаимном притяжении точек нет необходимости предполагать, что закон, по которому две точки взаимно притягиваются, будет один и тот же для любых двух точек системы напротив, можно делать в этом отношении любое допуш,ение, предполагая только, что притяжение зависит исключительно от расстояния и что какая-нибудь масса притягивается другою массою т - с той лее самой силой, с какой т. притягивается г,. Отмеченное обобщение не бесполезно так, например, Бессель высказал сомнение в том, что в мировой системе между любыми двумя телами имеет место один и тот. vi.e закон притяжения. Он высказал гипотезу, в которой вопрос рассматривался не с той точки зрения, что в законе меняется функция расстояния, а с той, чао тело солнечной системы, например, само солнце, притягивает Сатурна другой массой, чем Урана. Эта гипотеза не помешает введению силовой функции. Но кроме взаимных притяжений масс могут также присоединиться нритя-жения к неподвижным центрам. Можно даже предположить, что, конечно, является только математической фикцией, что каждый из ненодвижных [c.12]

Иногда силы смешанного типа можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от обобщенных координат, а другая только от обобщенных скоростей. Тогда для систем с одной степенью свободы силовой характеристикой является функция F = Fg (q) (q). Такие силы условно называют силами сопротивления с коэ( х )ициентами, зависящими от положения системы (позиционное трение). В тгбл. 4 даны примеры систем, в которых возникают силы позиционного кулонова трения, и приведены соответствующие силовые характеристики. Природа возникновения зависимости силы кулонова трения от координаты различна в системах 1—3 силы кулонова трения изменяются с изменением прижатия, которое связано с координатой д [c.18]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Функция Лагранжа (29.3), введенная в 29 формальным образом с целью упрощения записи уравнений движения (28.11) для систем с потенциальными и обобщенно-потенциальными активными силами, в действительности является важнейшей функцией состояния механической системы. Глубокий физический смысл ларран-жиана обнаруживается, если обратиться к отысканию важнейших первых интегралов уравнений Лагранжа, связанных с симметрией заданного силового поля и наложенных на систему связей, т. е. законов сохранения. Покажем, что указанные интегралы движения можно достаточно просто отыскать по внешнему виду функции Лагранжа. [c.171]

ДЛЯ линейных процессов и обобщенный де Гроотом ([13], стр. 196). Здесь предполагается, что необратимые силы заданы к=, 2,. . . , ] Сп). Принцип устанавливает, что диссипативная функция минимизируется значениями х = 0 (/с=/+1,. . . , и) скоростей, соответствующих остальным необратимым силам. Этот принцип, который опять-таки можно было бы выразить в виде некоторой двойственной] формулировки с переменными местами х,. и Х не эквивалентен принципам п. 4.1. Однако для линейных процессов, и вообще когда I) -поверхности гладкие, этот принцип представляет собой их следствие. Фиксируя Хк к=1, 2,. . ., 7 < п), мы ограничиваемся некоторым линейным подпространством силового пространства. Здесь минимум функции В (Хи ) достигается на некотором множестве значений Хк к=]- г1,. . ., п), удовлетворяющем системе уравнений [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...