ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нормальные колебания упругого стержня из "Физические основы механики " Так как при отражении от левого конца стержня (также свободного) импульс растяжения снова превратится в импульс сжатия, то через время после удара характер деформации в стержне будет такой же, как и в момент удара. Наряду с импульсом деформации по стержню распространяется с той же скоростью и импульс скоростей ), причем, как было показано в 113, этот последний отражается от свободных концов стержня без изменения знака скорости. Поэтому через время после удара характер не только деформации, но и скоростей будет таким же, как в момент удара. Если потерями энергии при распространении импульсов в стержне и отражении от его концов можно пренебречь, то через время должны повторяться не только характер деформации и скоростей, но и их величины. [c.659] В разное время однако во всех сечениях эти изменения будут повторяться через одинаковые промежутки времени Т . Иначе говоря, в стержне возникают продольные упругие колебания с периодом определяемым свойствами стержня (на величину периода могут влиять также условия на концах стержня пример этого будет приведен ниже). [c.660] Если удар по торцу стержня очень кратковременный, т. е. продолжительность действия силы т Т , удар можно считать мгновенным (происходящим в момент t 0). Проследим при помощи схематических графиков за перемещением импульсов вдоль стержня и нх отражением от концов стержня. [c.660] Последовательность во времени импульсов скоростей, также для среднего сечения стержня (рис. 434, б), отличается от последовательности импульсов деформации (рис. 434, а) тем, что все импульсы скоростей направлены одинаково вправо. (Напомним, что в сжатии, возникшем после удара, импульс скорости направлен в ту же сторону, куда распространяется импульс, а при отражении импульса скоростей от свободного конца стержня знак импульса скоростей не изменяется.) Таким образом, в одном том же сечении стержня законы изменения деформаций и скоростей Ф различаются между собой. [c.661] С другой стороны, различной оказывается форма одних и тех же колебаний (колебаний деформации или колебаний скоростей) в различных сечениях стержня. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим последовательность во времени импульсов скоростей для двух различных сечений стержня, напри.мер крайнего левого (л 0) и сечения, лежащего на расстоянии х — НА от левого края стержня. Импульсы скоростей, как уже было показано, все лежат выше оси времени. Для крайнего левого сечения первый импульс скоростей появится в момент удара (/ = 0), второй — в момент Т , третий — в момент 27 и т. д. (рнс. 435, а). Через сечение, лежащее на расстоянии ж = //4 от левого конца, импульс скоростей первый раз пройдет в момент t = TJS, второй раз (после отражения от правого конца) — в момент t 7Т /8 и третий раз (после второго отражения от левого конца) — в момент t = 9Г,/8, после чего последовательность импульсов будет повторяться (рис. 435, б). Рассмотрение всех графиков показывает, что в каждом сечении стержня картина появления деформаций н скоростей повторяется через одно и то же время Т . [c.661] нам известно, что функция, выражающая зависимость амплитуды скоростей или деформаций от величины х (расстояния от левого конца стержня), может быть либо синусом, либо косинусом. Так как аргументом синуса или косинуса должна быть величина безразмерная, а независимая переменная х имеет размерность длины, то в аргумент синуса или косинуса должно входить отношение х к некоему параметру, имеюш,ему размерность длины конечно, при этом отношении может стоять какой-либо безразмерный множитель. Найти аргумент этой функции распределения для отдельных конкретных случаев можно, исходя из следующих соображений. [c.663] Распределения амплитуд деформаций и скоростей (для значений /1=1, 2, 3) изображены соответственно на рис. 436, а н б (цифры означают номера гармоник). Расстояние, на котором укладывается полный период функции распределения (т. е. расстояние, на котором аргумент функции распределения изменяется на 2л), называется длиной волны. Как видно из рис. 436, на длине стержня укладывается / (Х /2) длин волн, где —длина волны, соответствующая данному значению п. Понятие длины волны в дальнейшем ( 153) будет развито и дополнено. При этом выяснится, что k в (18.7) и /г в (18.9) и (iklO) — это не любые целые числа, а одни и те же целые числа, т. е. что п = k. Это равенство нам понадобится уже сейчас, чтобы установить, какой гармонике какая функция распределения соответствует. [c.664] Из сравнения со спектром в других сечениях (18.12) видно, что в среднем сечении отсутствуют все нечетные гармоники, т. е. амплитуды нечетных гармоник в среднем сечении должны обращаться в нуль. И действительно, найденное нами распределение амплитуд скоростей (рис. 436, 6 таково, что амплитуды скоростей для всех нечетных гармоник обращаются в нуль. [c.665] Проведем теперь аналогичное рассмотрение для амплитуд деформаций в среднем сечении. Последовательность импульсов деформаций в среднем сечении (рис, 434, а) такова, что картина повторяется через промежуток времени а не Т /2, как в предыдущем случае, и следовательно, нечетные гармоники не должны обращаться в нуль, но зато в среднем сече[гии стержня должны обращаться в нуль четные гармоники амплитуд деформаций. В самом деле, форма колебаний деформации в среднем сечении стержня такова, что одинаковые по величине импульсы деформаций чередующегося знака расположены на равр[ых расстояниях друг от друга (рис. 434, а). [c.665] Очевидью, такая форма колебаний может получиться только в том случае, если значения всех гармоник спектра этих колебаний точно повторяются Б те моменты времени, когда возникают импульсы одного знака, и повторяются по величине, но противоположны по знаку в те моменты времени, когда возникают импульсы обратного знака. Но, как видно из рис. 437, этому требованию удовлетворяют только нечетные гармоники (на рис. 437 сплошной линией изображены первая и третья гармоники) и не удовлетворяют четные гармоники (на рисунке пунктиром изображена вторая гармоника). [c.665] Следовательно, в среднем сечении стержня четные гармоники деформации должны отсутствовать. И действительно, в найденном нами распределении амплитуд деформаций (рис. 436, а) амплитуды четных гармоник в среднем сечении обращаются в нуль. Подобным же образом мы могли бы проследить связь между формой колебаний и амплитудой гармоник в других сечениях стержня. Мы обнаружили бы, что, например, в сечениях стержня, делящих его на три равные части, форма колебаний скорости такова, что амплитуды скорости третьей гармоники и всех кратных ей должны обращаться в нуль. [c.666] Суперпозиция части или всех гармонических колебаний, описываемых выражениями (18.16) и (18.17), охватывает все те собственные колебания, которые могут возникнуть в стержне со свободными концами. Кратковременное внешнее воздействие, обладающее очень широким спектром частот, способно возбудить практически все нормальные колебания, свойственные системе. Число этих нормальных колебаний теоретически бесконечно велико (поскольку k может быть любым), но практически оно, конечно, ограничено хотя бы вследствие того, что воздействие имеет конечную продолжительность и поэтому не может возбудить сколь угодно быстрых колебаний. [c.667] в которых амплитуда скорости того или иного нормального колебания обращается в нуль, — это уже знакомые нам узловые точки, или, точнее, узлы скоростей данного нормального колебания. Точки, в которых амплитуда деформаций того или иного нормального колебания обращается в нуль, называются узлами деформаций данного нормального колебания. Точки же, в которых амплитуда скоростей или деформаций того или иного 1юрмального колебания достигает максимума, называются пучностями соответственно скоростей или деформаций данного нормального колебания. [c.667] Из распределения амплитуд скоростей и деформаций, приведенного на рис. 436, нетрудно усмотреть, что для каждой данной гармоники узлы скоростей совпадают с пучностями деформаций и, наоборот, пучности деформаций — с узлами скоростей, а также что узлы и пучности скоростей (или узлы и пучности деформаций) расположены в чередующемся порядке на расстоянии Х /4 друг от друга, где Xfi — длина волны, соответствующая данной гармонике. [c.667] Характер нормальных колебаний стержня зависит не только от свойств стержня, но и от условий на его концах. Выше был рассмотрен случай, когда оба конца стержня свободны, т. е. находятся в одинаковых условиях. Рассмотрим теперь другой случай, когда оба конца стержня находятся также в одинаковых условиях, но не свободны, а оба закреплены неподвижно ). [c.667] Как было показано в 113, при отражении от закрепленных концов в импульсе скоростей направление скорости изменяется на обратное, а в импульсе деформаций характер деформации остается неизменным. Положим для определенности, что на левый конец стержня через закрепление действует кратковременная сила, направленная вправо и создающая импульс сжатия. [c.668] Этот импульс деформаций и сопутствующий ему импульс скоростей будут распространяться по стержню с такой же скоростью, как и в стержне со свободными концами. Однако в отношении поведения прн отражении от закрепленного конца импульс деформации и импульс скорости меняются ролями по сравнению с тем, как они ведут себя при отражении от свободного конца. Чтобы от рассмотренной выше картины колебаний в стержне со свободными концами перейти к картине колебаний в стержне с закрепленными концами, нужно в этой картине поменять местами импульсы скоростей и импульсы деформаций ). [c.668] При этом частоты всех нормальных колебаний, очевидно, останутся неизменными, но распределения амплитуды скоростей и деформаций для каждого из нормальных колебаний поменяются местами, т. е. для стержня с закрепленными концами рис. 436, б дает распределение амплитуд деформаций, а рис. 436, а — распределение амплитуд скоростей, рис. 434, б дает последовательность импульсов деформаций для среднего сечения стержня, и т. д. В частности, как и должно быть, на закрепленных концах стержня образуются узлы скоростей и пуч-]юсти деформаций. Все же остальное, сказанное выше о расположении узлов и пучностей, остается в силе. [c.668] Распределение амплитуд скоростей для трех гармоник k — 1, 3, 5) приведено на рис. 439, б, амплитуд деформаций для тех же трех гармоник — на рис. 439, в. Как видно из этих рисунков, все то, что было выше сказано о взаимном расположении узлов и пучностей, справедливо и в этом случае. [c.670] Вернуться к основной статье