Свойства функции Гамильтона

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА [c.370]

Установим некоторые свойства функции Гамильтона. [c.370]

Получим из равенства (19) некоторые энергетические свойства функции Гамильтона. Подставив в него выражения обобщённых импульсов (3.13), находим [c.52]

Свойства функции Гамильтона. 1) Из свойств функции Рауса ( 29) непосредственно следует [c.279]

Свойства функции Гамильтона Ял(р, q, л), внешних параметров ц(/) и множества всех возможных для Sn начальных условий (1.13) (иначе — множества всех значений интегралов движения (1.13 )) таковы, что существуют определенные постоянные или меняющиеся во времени область Tq изменения координат системы и область Гр изменения импульсов системы, [c.15]

Свойства функции Гамильтона.............................................559 [c.14]

Свойства функции Гамильтона [c.559]

Чтобы найти функцию Гамильтона, достаточно учесть, что система склерономна. Поэтому Я = Т -Г П, где обобщенные скорости следует заменить их выражениями через обобщенные импульсы (следствие 9.2.2, свойство 3). Учтем, что по теореме Эйлера [c.635]

Это свойство следует из инвариантности невозмущенной функции Гамильтона относительно временного сдвига (по фазовой траектории) и теоремы Лиувилля. [c.166]

Заметим, что оператор плотности является, подобно классической фазовой плотности, симметричным относительно перестановок частиц. Действительно, в квантовой механике не все собственные функции гамильтониана являются допустимыми волновыми функциями системы, а лишь те из них, которые удовлетворяют определенным свойствам симметрии. Для систем частиц с нулевым или целым (кратным К) спином (бозе-частицы) допустимы лишь волновые функции, симметричные относительно одновременной перестановки координат и спинов частиц, а для систем частиц с полуцелым (в единицах К) спином (ферми-частицы) допустимы лишь антисимметричные относительно перестановки координат и спинов волновые функции. В выражение (11.30) для оператора плотности входят не все, а лишь допустимые волновые функции и из этого билинейного выражения видно, что независимо от сорта частиц оператор плотности не меняется при перестановке частиц. [c.194]

Интегрирование в (7.159) проводится по областям фазового пространства, отвечающим значениям переменной у, лежащим в интервалах у, у- -Ау при / = 0 и у, у + Ау — в момент времени t. Очевидно, практическое применение соотношений (7.159) для расчета функции f невозможно, хотя бы в силу необходимости для этого нахождения решений уравнений Гамильтона (7.155) для макроскопической системы. В дальнейших рассуждениях используются лишь наиболее общие свойства функции /, не требующие знания ее явного вида. [c.183]

Что касается преобразований, не изменяющих величины Н, то их можно найти, если обратиться к свойствам симметрии системы, так как если физическая система симметрична относительно определенных изменений ее конфигурации, то гамильтониан ее должен при соответствующем преобразовании оставаться неизменным. Поэтому все функции, остающиеся в процессе движения постоянными (все первые интегралы уравнений движения), можно получить путем исследования свойств симметрии гамильтониана, что равносильно полному рещению задачи [c.288]

Резюме. Если функция Гамильтона Н не зависит от времени t, то механическая система консервативна. Такие системы характеризуются двумя особыми свойствами фазовой жидкости [c.207]

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реоном-ны системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений t и pt. Можно действовать и другим методом, оставляя время t независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование qi, pi в Q/, Pi, не вводя время t в число активных переменных преобразования. Время t входит в -такое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Н не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Н для новой системы координат равна [c.273]

В предыдущем изложении были отмечены те условия, при которых функция Гамильтона и обобщенные импульсы остаются постоянными при движении системы. Согласно одной точке зрения, постоянство импульсов является следствием того обстоятельства, что координаты оказываются циклическими главный результат здесь заключается в том, что соответствующие уравнения движения (Лагранжа или Гамильтона) можно сразу проинтегрировать. Согласно другой точке зрения, такое постоянство само по себе рассматривается как важное свойство системы. Последняя точка зрения широко распространена в наиболее важных приложениях данного метода к современной физике, и приемлемое решение задачи может состоять в определении всех интегралов движения. В общем смысле термин интеграл движения применяется к любой динамической переменной [c.67]

Если некоторая декартова координата является циклической, то функции Гамильтона и Лагранжа инвариантны по отношению к перемещению системы вдоль соответствующей оси. Наличие циклической угловой координаты аналогичным образом обусловливает инвариантность относительно вращения. Так как эти циклические координаты приводят к постоянству соответствующего импульса, то, следовательно, наличие интегралов движения связано со свойствами симметрии системы. В силу равенства (5.29) существует аналогичное соотношение симметрии между функцией Гамильтона и временной координатой. Вообще свойства сохранения и симметрии так связаны, что эти термины применяются почти как равнозначащие. [c.68]

Эти последние соображения возвращают нас к рассуждениям, проведенным в гл. V, где рассматривалась связь между симметрией и интегралами движения. Введение аргументации, основанной на свойствах скобок Пуассона, позволило расширить область применения этих соображений и включить в нее все интегралы движения, а не только интегралы количества движения, как это имело место ранее. Теперь показано, что функция Гамильтона является инвариантом (а следовательно, система симметрична) относительно любого бесконечно малого преобразования, порожденного некоторым интегралом движения. Обратное утверждение также верно, и оно дает возможность находить интегралы движения при внимательном рассмотрении любой симметрии, которая обнаруживается в функции Гамильтона. [c.116]

В рассмотренном частном примере Ь=Т—V, и Н=Т +1/ является полной энергией. Однако трудно формулировать общие условия для отождествления функции Гамильтона с полной энергией системы. Что касается выводимых из нее уравнений движения, то любую функцию Лагранжа можно умножить на произвольную постоянную, не изменив при этом ее свойств следовательно, первое требование при отождествлении функции Гамильтона с энергией состоит [c.123]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Таким образом, матрица К обладает требуемыми свойствами (25.10.10) и (25.10.11) преобразование х = Ку является контактным, а новая функция Гамильтона [c.526]

Здесь V — характеристическая функция Гамильтона, при помощи которой можно вывести все свойства системы лучей, если нам известен вид функции V. Заметив, что 2 / = из уравнения (3) легко получить [c.811]

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики ( функция Гамильтона Н) оказалась, при довольно широких условиях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений ( канонические уравнения ) равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование. [c.208]

С другой стороны, функция os(Xi—Х2) симметрична относительно (12). Функции sin(Xi—Хг) и os(Xi —Хг) и функции, используемые ниже в задачах 5.1, 5.2 и 5.3, взяты просто как подходящие примеры для изучения трансформационных свойств функций и не являются собственными функциями гамильтониана молекулы. [c.72]

При построении функции Гамильтона Н переменные р1 принимаются за новые независимые между собой искомые функции времени (2п функций от /). По определению Н (р, д, 1) и свойству однородных квадратичных форм с учетом (1.9) получим функцию Гамильтона системы, выраженную через обобщенные координаты, импульсы и время [c.11]

Как и во всякой интегрируемой задаче с компактными уровнями энергии, в задаче Эйлера-Пуансо существуют канонические переменные действие-угол 7, (р, в которых функция Гамильтона 3 зависит только от действия 1. Геометрический анализ переменных действие-угол дает возможность установить новые свойства представления Пуансо. [c.37]

Пусть — фазовое пространство, снабженное симплектической структурой Я = Яо + sHi + О(е ) —функция Гамильтона. Предположим, что при е = О гамильтонова система имеет т-мерный гиперболический тор (см. п. 5 9 гл. IV). Напомним, что в окрестности этого тора можно ввести симплектические координаты X mod 2тг, у, со следующими свойствами [c.252]

Но свойства отображения за три периода, отвечающего укороченной функции Гамильтона, нам известны, так как это есть отображение фазового потока системы с функцией Гамильтона Но (х, у) за время 6л (доказательство основано на том, что через время 6л наша вращающаяся система координат возвращается к исходному положению). Посмотрим теперь, какие из этих свойств сохраняются при возмущении третьего порядка малости относительно расстояния от неподвижной точки, а какие нет. [c.361]

Следующая часть книги связывает воедино многие из полученных до этого формальных результатов. Здесь приводится ряд примеров, показывающих, каким образом симметрия позволяет упростить и рационализировать вычисление ряда инвариантных и ковариантных величин, описывающих важные физические свойства кристалла гамильтониана, критических точек в функции распределения частот, электрического момента и оператора поляризуемости. Мы проводим вычисления достаточно подробно и поэтому надеемся, что читатель сможет уверенно использовать эти методы в интересующих его новых случаях. Многие из приводимых здесь результатов разбросаны в разных местах в литературе мы надеемся, что единая точка зрения поможет выявить общность этих методов. [c.257]

Особенно важным случаем задачи, в которой существуют периодические решения второго рода, является тот, когда предложенные дифференциальные уравнения имеют каноническую форму с функцией Гамильтона, обладающей некоторыми характерными свойствами. [c.174]

Решения в виде нелинейных волн типа (1.2) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому их анализ сводится к изучению свойств нелинейных колебаний, определяемых некоторой функцией Гамильтона. Так же, как и в 1.2, можно ввести параметр N, определяющий характерное число гармоник а в спектре волны. Это означает, что при nN они являются экспоненциально малыми. Для всех приведенных [c.145]

Решение задачи об устойчивости невозмущенного движения (ему отвечает решение qj = = О (j = 1, 2,..., п) системы (1)) зависит от свойств функции Гамильтона. Очень просто вопрос об устойчивости решается в том случае, когда время t не содержится в уравнениях (1), а функция Н является знакоопределенной в окрестности точки qj = Pj = О (j = 1, 2,..., n). В этом случае функция Н будет интегралом системы (1) и невозмущенное движение устойчиво. Этот вывод непосредственно следует из теоремы Ляпунова об устойчивости для применения этой теоремы в качестве функции Ляпунова V можно принять функцию Н. [c.543]

Региение вопроса об устойчивости по Ляпунову региения qj = pj = = О (далее будем иногда говорить об устойчивости системы (1) ) зависит от свойств функции Гамильтона. Если система (1) автономна, то функция Я будет ее первым интегралом и может быть принята за функцию Ляпунова V при региении задачи об устойчивости движения 1]. Если функция Я будет знакоопределенной, то система (1) устойчива. Если же система (1) не автономна или автономна, но п 2, и Я не является знакоопределенной функцией, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому в ней невозможна асимптотическая устойчивость, а устойчивость может быть лигиь тогда, когда характеристические показатели системы с гамильтонианом Я2 будут чисто мнимыми. Так что задача об устойчивости системы [c.114]

Канонические преобразования сохраняют все общие свойства систем уравнений Гамильтона. Изменяется только вид самой функции Гамильтона. Выще мы видели (теорема 9.4.3), что возможность интегрирования таких систем тесно связана именно со спецификой зависимости функции Гамильтона от фазовых переменных. Если удается найти каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона к такому виду, что систему, полученную после преобразования, можно проинтегрировать, то тем самым проинтегрируются и исходные канонические уравнения. [c.687]

Предположим, что по первой пли по второй причине линии тока во всех плоскостях ри—замкнутые. Тогда движущаяся частица жидкости возвращается в ту же самую точку, а затем движение повторяется. Мы имеем тогда периодическое движение. Это касается, однако, только траектории движущейся точки, спроектированной на плоскости qit, Pk в отношении же движения во времени периодичность не имеет места. Скорость, с которой точка начинает свой второй виток, не совпадает с первоначальной скоростью, потому что qk и ри в общем случае зависят от всех qi, pi и поэтому возвращения одной пары переменных к начальным значениям недостаточно для того, чтобы движение было периодическим. Однако движение содержит в себе п независимых периодов, и они охватывают неразделяющимся образом все переменные. Метод Делоне показывает, как путем изучения свойств двух основных функций — функции Гамильтона Н и производящей функции S—можно получить все частоты движения. В этом заключается суть метода. Соответствующее преобразование обнаруживает многопериодическую структуру данной системы с разделяющимися переменными и определяет частоты системы в явном виде. Этот процесс не требует ничего, кроме квадратур и разрешения уравнений относительно определенных переменных. [c.283]

В приведённую выше схему (в несколько более сложном варианте для физико-математических моделей, когда речь идёт как о физических свойствах, так и об их математическом описании) укладывается и развитие отдельных понятий. Уточнение смысла основных применяемых понятий дано в заметках первой главы работы. Дано обобщение понятия материальной точки (заметка 1), рассмотрены понятия скорости и ускорения (заметка 2), обсуждается соотношение виртуальных перемещений и вариаций, используемых в дифференциальных и интегральных принципах (заметка 3). Закон Ньютона о действии и противодействии получен как следствие принципа равновесия Даламбера и второго закона Ньютона. Прослеживается логическая цепь, соединяющая принцип равновесия Даламбера с уравнениями даламберова равновесия , использующими понятие о силе инерции. Предложено описание взаимодействия в форме интегрального равенства (заметка 4). Обсуждаются аналоги теоремы об изменении кинетической энергии для реономных систем и место функции Гамильтона в уравнении энергии [c.12]

Наиболее общими характеристиками динамических процессов являются энергетические характеристики. Действительно, любую материальную систему, с позиций классической механики, можно полностью описать положением всех ее точек в пространстве и изменением этого положения во времени. При этом под пространством в общем случае следует понимать так называемое пространство конфигураций системы, обобщенные координаты которой и их первые производные по времени могут быть либо функционально связаны с декартовы- ми координатами, либо полностью от них не зависеть. Располагая некоторыми дополнительными данными о свойствах рассматриваемой системы, можно получить выражения для энергии в виде либо функции Лагранжа, либо функции Гамильтона, Зная эти величины и используя известные в механике вариационные принципы, мы прцдем к так называемым обобщенным уравнениям движения. [c.32]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Эта оценка, как и приведенная выше оценка снизу, имеет вид таким образом, приращение переменных действия мало, пока время мало по сравнению с если е < Ео- Здесь е — величина возмущения, а d — заключенное между О и 1 число, определяемое, как и бд, свойствами невозмущенного гамильтониана При этом на невозмущенный гамильтониан накладывается некоторое условие невырожденности (конечнократность критических точек ограничений Яд на подпространства достаточна квадратичная выпуклость невозмущенного гамильтониана, т. е. знакоопределенность второго дифференциала функции Н )- [c.375]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...