Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот

Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот [c.435]

А. В. Левин указывает, что разница между частотами — вычисленной по формуле (186) с использованием кривой статического прогиба от равномерной нагрузки и действительной, вычисленной интегрированием дифференциального уравнения колебаний, составляет не более 1—2% при этом частота, найденная по энергетическому методу, всегда выще действительной. [c.139]

Определение частот и форм колебаний численным интегрированием системы дифференциальных уравнений. Уравнение колебаний (2) заменяется системой четырех уравнений первого порядка. Для этого чтобы система не имела коэффициентов, содержащих производные исходных геометрических характеристик, и для упрощения краевых условий принимается вектор (матрица-столбец) основных параметров [c.233]

Точные значения первых трех частот, полученные интегрированием дифференциального уравнения продольных колебаний стержня, равны [c.364]

Л) = ео(е<- > — 1) принимает значение ф < О, которому соответствует отрицательный знак g fh)- Интегрирование дифференциального уравнения (1.31-11) приводит к известной экспоненциальной зависимости интенсивности от Z. Таким путем достигается описание соотношений для конечной области пространства. Следует особо отметить, что дифференциальные уравнения для различных частот fh имеют одинаковую форму и не связаны между собой. Это соответствует случаю обычной линейной оптики, в которой электромагнитные волны различных частот не влияют друг на друга. [c.89]

Точное определение формы и частоты колебаний пластинки за исключением простейших случаев шарнирно опертой прямоугольной пластинки связано с решением весьма сложных систем дифференциальных уравнений (267), (268) для анизотропных пластин или уравнений (269), (270) для ортотропных пластин. При решении конкретных технических задач весьма эффективными являются приближенные методы, основанные на некоторых общих принципах механики. В теории стержневых систем такие методы позволяют быстро без интегрирования дифференциальных уравнений определять частоты колебаний основных тонов, которые и представляют наибольший практический интерес. Эти методы можно обобщить для случая поперечных колебаний пластин. [c.92]

Существует целый ряд приближенных методов определения частот поперечных колебаний балок, позволяющих довольно быстро, без интегрирования дифференциального уравнения, определять частоту основного тона, представляющую наибольший практический интерес. Эти методы могут быть применены и для определения частоты основного тона анизотропных пластинок. [c.337]

Практическая ценность этих уравнений состоит в том, что в правых частях (9.43) и (9.47) производные по можно найти по теории возмущений, причем достаточно вычислить й и не во всем интервале частот, а лишь для малой окрестности точки нормировки = 1. Последующее интегрирование дифференциального уравнения позволяет найти функции й и для всех частот. Как видно из уравнений (9.43) и (9.47), фактическим параметром разложения является не сама константа связи, а инвариантный заряд. [c.106]

Задачи об определении частот и форм собственных колебаний пластин и оболочек приводят к необходимости интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Наиболее хорошо изучены те случаи, когда оказывается возможным разделение переменных. К ним относятся, в частности, колебания прямоугольной пластины, шарнирно опертой по противолежащим сторонам, зонтичные и веерные колебания круглых осесимметричных пластин, колебания цилиндрических оболочек, замкнутых или шарнирно закрепленных вдоль образующих. [c.244]

Отсюда, в частности, следует, что если в задаче требуется определить только период (или частоту) колебаний, то надо составить дифференциальное уравнение движения и привести его к виду (67). После этого Т найдется сразу по формуле (71) без интегрирования. [c.235]

Резонанс. Если частоты собственных и вынужденных колебаний близки между собой, то амплитуды получаются очень большими. Напомним, что при интегрировании уравнения (249) мы положили р ф k. Если р = й, то дифференциальное уравнение (263) имеет вид [c.279]

Допустим, что частота свободных колебаний k не равна частоте возмущающей силы са со А. При этом условии проинтегрируем уравнение (IV.40). Как известно из теории интегрирования линейных дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения (IV.40) равно сумме общего решения однородного уравнения (IV. 13) и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения было найдено выше. Оно определяется формулой (IV. 14). Остается найти частное решение неоднородного уравнения. Простая форма правой части уравнения (IV.40) позволяет найти это решение при помощи метода неопределенных коэффициентов. Будем искать частное решение уравнения (IV.40) в такой форме [c.341]

Задача сводится к интегрированию двух не зависящих дру. от друга дифференциальных уравнений, отнесенных к главным координатам. Здесь ограничимся напоминанием основного результата явление резонанса имеет место при совпадении одной из частот главных колебаний k или k2 с частотой одной из гармонических составляющих возмущающей силы [c.586]

Далее на конкретном примере будет показано, что изложенный метод при наличии таблиц специальных функций не требует определения частот собственных колебаний и постоянных интегрирования. Однако результаты, полученные в виде формул (40) и (41), позволяют исключить операцию определения произвольных постоянных интегрирования и для принятых методов решения таких задач методом дифференциальных уравнений. [c.63]

Для определения частоты колебаний единичной лопатки переменного профиля воспользуемся энергетическим методом, который хотя и является приближенным, но дает более простое решение задачи, чем интегрирование общего дифференциального уравнения колебаний. [c.121]

В результате машинного интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений движения получены зависимости между параметрами вибрационной машины н значениями максимальных амплитуд, которые приведены на рис. 2 и 3 эти зависимости пригодны для отношения час гот о)/Х > 2,5, где ш — рабочая частота машины. [c.181]

Свободное движение тела вокруг центра масс отличается от поступательного движения наличием высокочастотных составляющих. Это обстоятельство существенно затрудняет решение измерительной задачи. При определении только самого вращательного движения используется приём, суть которого заключается в подстановке в правые части дифференциальных уравнений движения измеренных значений угловых скоростей и перегрузок с последующим их интегрированием [17]. Успешная реализация такого подхода возможна при условии, что частота измерений значительно больше частоты собственных колебаний тела, которая в процессе движения тела в плотных слоях атмосферы может достигать весьма больших значений. При решении общей задачи [c.144]

Численные методы. Точный расчет ДХ мод ВС с произвольным осесимметричным ППП можно провести, численно интегрируя уравнения Максвелла. В работе [27] рассмотрено точное решение системы четырех связанных дифференциальных уравнений первого порядка для поперечных составляющих поля, полученной из системы уравнений Максвелла. В неоднородной сердцевине эти уравнения решают прямым численным интегрированием, например, методом Рун-ге-Кутта. В однородной оболочке поля представлены через функцию Макдональда. Удовлетворяя граничным условиям, получают дисперсионное уравнение. С ростом частоты время счета возрастает. Это обусловлено тем, что при быстром изменении решения пошаговое интегрирование приводит к большому накоплению ошибок. [c.27]

Изменение частоты вращения вала насоса во времени определяется интегрированием известного дифференциального уравнения момента количества движения для вращающихся масс J где J — момент инерции вращающихся масс насоса Мпр и — крутящие моменты привода насоса и собственно насоса (последний, как известно, зависит от частоты вращения вала насоса и расхода). [c.310]

УРАВНЕНИЕ ЧАСТОТ, ИЛИ ВЕКОВОЕ УРАВНЕНИЕ. В практической постановке задача об интегрировании системы дифференциальных уравнений малых колебаний сводится к нахождению частных решений, соответствующих главным колебаниям. Именно с этими колебаниями связаны критические резонансные) состояния системы. В предыдущем разделе была установлена форма т ких частных решений когда система совершает одно из главный колебаний, все координаты q изменяются по одному и тому же гармоническому закону [c.122]

Задача о собственных формах и частотах колебаний приводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий интеграл уравнения (6.8) для крутильных колебаний будет иметь вид > [c.252]

Для определения круговой частоты и и периода колебаний 7 и Тнет необходимости в интегрировании дифференциального уравнения движения. Достаточно, составив дифференциальное уравнение движения, определить коэффициент при координате, коэффициент 2п при проекции скорости х точки и вычислить круговую частоту и период колебаний по указанным выше формулам. [c.80]

На рис 28, а представлены двойные амплитуды колебаний верха опытного веретена ЭВН-4 при 5аз1оне, полученные в результате численного интегрирования Дифференциальных уравнений (кривая 1) и экспериментов (кривая 2). В процессе разгона до рабочих частот верегено проходит три критические зоны. [c.225]

Большое практическое значение имеют также поперечные колебания валов и балок. Простейшие случаи колебаний призматических стержней были исследованы еще в XVIII веке, причем решения их входили в состав сочинений по акустике. Использование этих решений в применении к балкам технического назначения, поперечные размеры которых не малы в сравнении с пролетом, или же в случаях, когда недопустимо пренебрегать сравнительно более высокими частотами, вызвало необходимость в выводе более полного дифференциального уравнения, учитывающего влияние на прогиб также и касательных напряжений ). Весьма часто размеры поперечного сечения меняются вдоль пролета балки. Строгий анализ колебаний таких балок выполним лишь в простейших случаях ), обычно же приходится прибегать к одному из приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Эти методы приобрели популярность в связи с потребностями расчета частот поперечных колебаний в судах ). Основываются они обычно [c.501]

Так как уравнение Шрёдингера является дифференциальным уравнением первого порядка по времени, мы должны интегрировать по времени. В результате интегрирования сумма и разность частот оказываются в знаменателе. Следовательно, основной вклад должен появиться от медленно меняющихся членов. Поэтому мы можем аппроксимировать гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия следующим выражением [c.456]

Г. Определение частоты основного типа колебаний однопролетной балки с помощью интегрирования дифференциального уравнения ее движения [c.262]

Случай дифференциального уравнения е четной функцией Т(х) аналогичен интегрированию уравнения (11.280а). Надо лишь помнить, что в тех случаях, когда функция F х) характеризует влияние сил сопротивления, ее знак всегда совпадает со знаком скорости х ). Случай нечетной функции F x), содержащей член 2hx, проще. Здесь не приходится подбирать коэффициент С так, чтобы исчезли вековые члены. Поэтому отпадает необходимость определения частоты р. [c.301]

Схемотехническое проектирование радиотехнических (RF) схем отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, прежде всего в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик. Моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего выполняют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного рещения в ряд Фурье, подстановкой разложёния в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем выполняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.136]

Пример 4, Определение критических частот и форм собственных колебаний валов на жестких опорах на машинах <чСтрела и Урал (30]. Система роторов переменного диаметра подлине разбивается на ряд упругих участков, массы которых приводятся к концам. Задаются длины участков Ах., массы гибкости участков р.. Программа позволяет рассчитывать валы, имеющие до 13 опор. Количество участков в пролете не свыше 32, а всего не более 115. Точность определения частот 2—3% при 10 — 15 участках на каждом роторе. Дифференциальное уравнение 4-го порядка решается численным интегрированием. [c.615]

Способ численного интегрирования уравнений динамики теплообменников в частотной области подробно разработан и применяется для расчета характеристик парогенератора в работах В. М. Рущинского [Л. 72]. Однако, несмотря на широкие возможности для моделирования отдельных теплообменников, такой подход к построению программы моделирования парогенераторов, предназначенной для массовых расчетов на стадии проектирования, оказывается нецелесообразным. Это объясняется практическими трудностями использования такой программы для моделирования парогенератора с большим числом теплообменников. Время, затраченное на численное интегрирование системы дифференциальных уравнений, слишком велико, чтобы в широком диапазоне частот эффективно рассчитывать частотные характеристики 30—iO -конструктивно различных и взаимосвязанных теплообменников, на которые приходится делить парогенератор при структурном подходе к моделированию. Объем исходной и промежуточной информации слишком велик, что значительно снижает надежность моделирующей системы. [c.109]

Сравнивая величины (о,, (или Я,,) с частотами мпогочастот-ных систем дифференциальных уравнений, убеждаемся, что он являются теми же частотами, поэтому здесь возникают трудности, аналогичные тем, с которыми мы встречались при асимптотическом интегрировании многочастотных систем (см. гл. III). [c.223]

Первые исследования вибраций корабля были проведены, вероятно, О. Шликом ), сконструировавшим специальный прибор для их записи ) и определившим экспериментально частоты для различных форм таких вибраций. А. Н. Крылов в своем курсе дает теоретический анализ свободных колебаний корабля. Корабль рассматривается им как балка переменного поперечного сечения он пользуется в расчете приближенным методом Адамса ) для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Около того же времени Крылов заинтересовался колебаниями мостов и опубликовал упомянутую раньше (см. стр. 502) статью о вынужденных колебаниях балок, возбуждаемых подвижными нагрузками. Использованный в этой статье метод был применен впоследствии в анализе продольных колебаний цилиндров и в измерении давления газа в орудиях ). [c.523]

Составьте уравнение движения подвижного элемента колебательной системы в дифференциальной форме для случая, когда в системе действует сила трения, пропорциональная скорости. Что представляет собой решение 8Т0Г0 уравнения Из каких условий определяются постоянные интегрирования (амплитуда и начальная фаза) Чем определяется частота затухающих колебаний Что такое коэффициент затухания и как он связан с параметрами колебательной системы Что называют логарифмическим декрементом затухания и как он связан с коэффициентом затухания [c.354]

Укажем теперь на те ограничения, которые накладываются при применении метода Ван дер Поля на вид уравнения (ПП1.1). Эти ограничения не сводятся только лишь к требованию малости х. Рассмотрим выражение (ПП1.Ю) для средней частоты колебаний со (а). Нетрудно заметить, что в окончательное выражение для частоты (после интегрирования) не войдут члены, учи-тываюшие силы трения, если эти члены нечетны по х. Это относится, например, к дифференциальному уравнению затухающих колебаний [c.233]

В соответствии с процедурой дифференциально-разностного метода рассматривается слой толщины dx и запись для него уравнений для потоков /+ и / , полученные путем интегрирования уравнения переноса по всем частотам (от О до сс) в пределах полус( рических телесных углов (2 +) и (2я ). [c.139]

Введем обозначение qlm= (a, где q — жесткость упругого элемента системы т — масса груза (подвижной системы) шо — частота собственных колебаний. Тогда получим J - -(BoJf=0. Решение этого дифференциального уравнения найдем в виде x=ai ps i)oi-f -b asintiioi, где Oi и Ог— постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий при t=0 х=Хо х= Хо t — время). [c.166]

Рассмотрены процессы колебаний ротора сепаратора с лопаточно-дисковым разбрасывающим устройством. Получено дифференциальное уравнение свободных изгибных колебаний системы ротора. Выполнено численное интегрирование уравнений с решением числового примера расчета частот для конструкции ротора циклонного сепаратора завода Волгоцеммаш при диаметре диска РУ 3,5 м. Теоретические расчеты частот проверены опытно. Библ. 1 назв. Илл. 1. [c.527]

Положим g (г) = /1 ( ) /а t). .. f] ( ), тогда (12) определяет скорость изменения одновременного к-го момента системы через разновременные моменты порядка к - - 2. Эти моменты определяются в представлении взаимодействия, так что согласно (2.2.35) их можно выразить через одновременные моменты и неоператорпые функции времени. Если собственные частоты невозмущенной термостатом системы известны, то интегрирование в (12) можно провести явно. Таким образом, уравнение (12) является дифференциальным, а не интегро-дифференциальным (как это и должно быть для марковского процесса). [c.77]

Из табл. 2.1 видно, что чем выше задается точность численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, тем большее число узловых точек требуется для выполнения этой процедуры и тем меньше отклонение вронскиана от единицы. Одновременно повышается точность вычисления 5ц и 521. Особенно заметно влияние точности интегрирования при вычислении 5ц вблизи резонанса, когда абсолютное значение этого параметра близко к нулю. Вдали от резонанса величина 15ц1 приближается к единице и уменьшение точности интегрирования в меньшей степени влияет на конечные результаты. Если необходимо найти только резонансные частоты, которые соответствуют минимуму 5ц (максимум 521 ), вполне приемлемую погрешность можно получить и при весьма низкой точности интегрирования. Так, в рассмотренном выше примере смещение резонансной частоты при изменении точности интегрирования 10" до 10" составляет всего 0,3% в сторону более высоких частот. Поэтому в тех случаях, когда допустима умеренная погрешность расчетов, не следует задавать слишком высокую точность численного интегрирования, что позволяет экономить машинное время. Расход времени для вычисления одного набора комплексных элементов 5-матрицы при точности интегрирования 10 на ЭВМ средней производительности (ЕС-1022, Минск-32 ) составляет 0,5—3 с в зависимости от исходных данных. С ростом е наблюдается увеличение затрат машинного времени. Это обусловлено тем, что при больших [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...