Блоха волны

В основе современного понимания проводимости металлов лежит идея Блоха [4, 5], что свободные электроны проходят через металл как плоские волны, модулированные некоторой функцией с периодом, равным периоду решетки. Это позволяет преодолеть противоречия простой теории электронного газа, согласно которой атомы решетки сами должны являться главными центрами рассеяния электронов проводимости В результате длина свободного пробега может достигать нескольких миллиметров, что и наблюдается при низких температурах в особо чистых металлах. Сопротивление металлов, согласно теории Блоха, обусловлено только неидеальностью решетки. Наличие примесных атомов, точечных дефектов и границ зерен приводит к дополнительному рассеянию и, следовательно, к увели- [c.189]

Ф. Блохом было доказано, что волновые функции, являющиеся решениями одноэлектронного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, имеющим период решетки, представляют собой плоские волны, модулированные некоторой функцией с периодичностью решетки, т. е. [c.215]

Последнее выражение представляет собой условие Вульфа — Брэгга (1.22) для электронной волны, падающей на решетку перпендикулярно атомным плоскостям. При выполнении этого условия функция Блоха представляет уже не бегущую, а стоячую волну, так как электрон с таким волновым вектором при его движении (в реальном пространстве) испытывает брэгговское отражение. Падающая и отраженная волны могут складываться двумя способами, образуя симметричную и антисимметричную комбинации [c.228]

Выше было показано, что электрон проводимости в кристалле описывается волной Блоха. Средняя плотность заряда — имеет одно и то же значение в каждой ячейке кристалла, так как ф-функция периодична с периодом решетки. Это означает, что пока сохраняется идеальная периодичность, электронная волна распространяется по кристаллу без затухания. Следовательно, в идеальном кристалле электроны, находящиеся в зоне проводимости, обладают бесконечной длиной свободного пробега. Нарушения идеальной периодичности приводят к тому, что функция Блоха перестает удовлетворять уравнению Шредингера, т. е. возникает рас- [c.249]

Этот результат составляет знаменитую теорему Блоха, которая для трехмерного случая гласит собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения плоской волны на функцию Uk (г), периодическую в решетке кристалла [c.60]

Для исследования гармонических упругих волн в композиционной среде Кон с соавторами [37] использовали методы, основанные на теории Флоке и Блоха. Этот подход весьма подробно рассмотрен также в статье Ли [40]. Основная идея всех этих работ состоит в применении вариационных принципов в интегральной форме к отдельной ячейке композита. Эти вариационные принципы дают способ определения фазовых скоростей и распределения напряжений в волнах Флоке, распространяющихся в композиционной среде без изменения формы при переходе от ячейки к ячейке. Различные авторы использовали как принцип минимума потенциальной энергии деформации, так и принцип максимума дополнительной работы. [c.382]

Квантовомеханич. теория Блоха движения электронов в идеальной замороженной кристаллич. решётке сводит сложную многоэлектронную проблему к задаче о движении отд. электрона под действием строго периодич. потенциала. Волновая ф-ция Блоха, определяющая это движение электрона, представляет собой модулированную с периодом идеальной решётки плоскую волну [c.586]

Выведенные выше формулы для амплитуды сигнала фотонного эха описывают амплитуду свечения образца, проинтегрированную по всем направлениям распространения света. Пока мы не затрагивали вопрос об анизотропии свечения эхо-сигнала. Воспользуемся формулой (15.97), которая описывает поляризацию, наведенную в образце светом трех лазерных импульсов. При ее выводе мы использовали оптические уравнения Блоха, электрическое поле в которых бралось в точке г = 0. Поле стоячей волны описывается формулами (1.33) 1.35) причем при выводе сначала уравнений для амплитуд вероятности, а потом и уравнений Блоха мы полагали, что рассматриваемая молекула находится в пучности электрического поля, т. е. os фк = os кг = 1. Поскольку размер образца обычно заметно превышает длину световой волны, очевидно, что будет существовать огромное число примесных молекул, не попавших в пучность стоячего электрического поля. Их взаимодействие с электрическим полем будет слабее. Чтобы учесть это обстоятельство, мы должны принять во внимание косинусоидальный характер распределения электрического поля по образцу. Это легко сделать во всех выведенных ранее формулах с помощью замен [c.223]

Однако для низких температур лучше согласуется с экспериментальными данными температурная зависимость намагниченности, полученная из теории спиновых волн Блоха / = = /о(1—а7 ), где а — числовая константа. [c.306]

При наличии малого возмущающего потенциала V искомое решение все еще имеет вид функций Блоха. Разлагая его в ряд по исходным волновым функциям, имеющим вид плоских волн, и ограничиваясь в разложении волнами, которые являются вырожденными на границе зоны, получим [c.300]

Выражение (14) представляет собой плоскую волну [ехр ikx)] с модулированной амплитудой (х). Функции вида (14) называются функциями Блоха. [c.75]

Для рассеяния вперед будут существовать два решения с двумя волнами Блоха г=1, 2. Для г =1 существуют волновые амплитуды и волновые векторы, к , аналогично для 1=2. Дисперсионная поверхность будет иметь две ветви, которые приближаются к сферам вокруг точек обратной решетки О и Н, за исключением области вблизи линии их пересечения. Все это изображено на фиг. 8.3, где мы пронумеровали ветви дисперсионной поверхности в порядке уменьшения [221]. Показанное на фигуре сечение дисперсионной поверхности симметрично относительно перпендикуляра, восстановленного из середины вектора Н. Сферы с центрами в О и Н пересекаются в точке Ьо, которая в случае трех измерений имеет вид кольца. Введение граничных условий на входной поверхности определяет нормаль, проходящую через точку Ь, которая пересекает дисперсионную поверхность в точках связи и [c.181]

Блоха уравнения 23 Блоховские волны 185—188 [c.651]

После обсуждения в гл. 1 общих свойств соотношения Р. Е,) перейдем к рассмотрению особенностей поведения электронов, атомов и молекул при их взаимодействии с электромагнитными полями, с учетом нелинейных эффектов. В 2.1 будет исследовано возникновение поляризации в системе несвязанных носителей заряда (плазма) под действием электромагнитного поля. Поляризационные свойства электронов в атомах и молекулах описываются в 2.2 мы придем к модельным представлениям, позволяющим объяснить такие важные эффекты НЛО, как получение высших гармоник и смешение света. Два следующих параграфа посвящены изучению взаимодействия электрических полей с молекулами. В этой связи будут описаны эффекты ориентации анизотропных молекул ( 2.3), позволяющие объяснить специфические особенности распространения волн в НЛО, например самофокусировку. Кроме того, рассматривается взаимодействие с оптическими молекулярными колебаниями ( 2.4), приводящее к модели для объяснения вынужденного комбинационного рассеяния. Взаимодействие с акустическими колебаниями обсуждается в 2.5 и на этой основе дается интерпретация вынужденного бриллюэновского рассеяний. Если первые пять параграфов настоящей главы посвящены исследованию возникновения поляризации, то в 2.6 рассматривается намагниченность системы атомных ядер под влиянием внешних магнитных полей. Соответствующее решение уравнений Блоха для ядерной намагниченности приводит к появлению нелинейных компонент намагниченности, которые могут быть объяснены точно так же, как нелинейные компоненты электрической поляризации электронов, атомов и молекул. [c.103]

Инфразвуковые волны, распространяясь со скоростью звука и испытывая благодаря низким частотам лишь незначительное поглощение в атмосфере, намного опережают движение морских волн и расходятся на большие расстояния. Когда на берегу моря штиль и море спокойно, голос моря доходит от удаленного шторма и может быть обнаружен соответствующими приборами. Интересно, что ряд морских животных, как например, морские блохи, при приближении шторма уходят из морской прибрежной гальки подальше к сухому месту, медузы же уходят дальше в море, чтобы не быть перемолотыми галькой. Возможно, что природа приспособила этих животных предугадывать приближение шторма по-видимому, их тела способны каким-то образом реагировать на предостерегающий голос моря . Не исключена возможность использования голоса моря , улавливаемого соответствующими инфразвуковыми приемниками, для целей штормового предостережения. [c.257]

Формула (1.15) называется теоремой Блоха. Волновая функция яр в виде (1.15) похожа на плоскую волну, описывающую движение свободной частицы, но здесь волна модулирована периодической функцией. Поэтому вектор р, аналогичный импульсу, не является в действительности импульсом частицы в обычном смысле слова. Он называется квазиимпульсом электрона. [c.12]

Подбор функции и (г) в действительности сводится к определению нескольких чисел. Связано это с тем, что ввиду плавности функций фр(г) их можно разложить по плоским волнам (см. теорему Блоха (1.15)) [c.261]

Строго параллельная ориентация спинов в ферромагнетике наблюдается лишь при ОК. Такое расположение спинов соответствует минимуму энергии. Результирующая намагниченность при этом равна намагниченности насыщения J. С повышением температуры ферромагнетика его энергия возрастает за счет появления перевернутых спинов. В отличие от основного состояния (при 7=0 К) состояние с перевернутым спином является возбужденным. Если соседние спины связаны взаимодействием вида (10.45), то поворот в обратную сторону одного спина требует затрат дополнительной энергии Другими словами, из-за обменного взаимодействия состояние с перевернутым магнитным моментом в одном из узлов решетки является энергетически невыгодным. Соседн ]е спины стремятся возвратить перевернутый спин в исходное положение. Обменное взаимодействие приводит при этом к тому, что соседний спин переворачивается сам. По кристаллу пробегает волна переворотов спинов. Существование таких волн было установлено в 1930 г. Ф. Блохом. Сами волны получили название спиновых. [c.340]

Данные, приведенные в табл. 5, показывают, что среди щелочных металлов особое положение занимает натрий, у которого отношенне наблюдаемого сопротивления к вычисленному имеет самое низкое значение. (Калий находится на втором месте, но очень близок к натрию.) Этот результат можно рассматривать как доказательство того, что у натрия относительная энергия взаимодействия имеет минимальное значение. По-видимому, он свидетельствует также о том, что натрий лучше всех других металлов соответствует идеализированной модели свободных электронов . Бардин [97, 98] несколько улучшил модель рассеяния и показал, что результаты исследования натрия хорошо согласуются с развитой им теорией. Данные, относяш иеся к калию, находятся в удовлетворительном согласии с теорией, в то время как рубидий и цезий обладают сопротивлением, которое значительно превосходит теоретическое значение. Бардин учел тот факт, что когда поны смеш ены из своих положений равновесия упругими волнами, распространяющимися в решетке, то они создают при этом возмущенное распределение зарядов, которое в свою очередь вызывает рассеяние электронов проводимости aMif электроны проводимости имеют тенденцию группироваться таким образом, чтобы компенсировать нарушенное распределение зарядов. Это явление можно назвать динамическим экранированием. Конечно, и в статических условиях электроны имеют тенденцию экранировать заряды ионов, а с этой точки зрения модель Блоха соответствует но существу почти полному экранированию зарядов ионов. Действительно, ири полном отсутствии экранирования иона, рассматриваемого как точечный заряд, потенциальная энергия электрона вблизи него была бы равна—е 1г при наличии экранирования потенциальная энергия электрона убывает с расстоянием быстрее, а именно по закону—(е //-)й [48,37] (стр. 86). В модели Блоха подразумеваетс>], что ири этом получается формула (17.1). Из приближенной теории [c.195]

Рассмотрим теперь вопрос о поляризации фононов. Теория Блоха предполагает, что поперечные фононы но могут непосредственно взаимодействовать с электронами проводимости. Иногда предполагается, что электроны проводимости не влияют па ту часть решеточной теплопроводности, которая обусловлена поперечными волнами. В этом случае решеточная теплопроводность была бы почти столь жо волпка, как и в эквивалентном диэлектрике. Однако, если считать, что поперечные и продольные волны взаимодействуют посредством трехфононных процессов с сохранением волнового вектора, которые стремятся уравнять параметр т в формуле (7.5), то эффективные времена релаксации для продольных и поперечных волн соответственно равны [c.281]

В п. 15 было показано, что теория Блоха не согласуется с температурной зависимостью идеальной электронной теплопроводности и что это расхождение вызвано главным образом неучетом процессов переброса и дисперсии решеточных волн (хотя при низких температурах эти процессы и не дают вклада в величину однако о и существенны при определении х ). Таким образом, по-видимому, болёе правильно сравнивать We с низкотемпературным пределом х-, как это было сделано Клеменсом [72]. В этом случае сравниваются две величины, определяемые одинаковыми процессами, а также исключается влияние небольшого изменения С в зависимости от q. При сферической поверхности Ферми из формул (15.2) и (20.2) вытекает, что [c.282]

Вывод гамильтониана. Чтобы сформулировать задачу расчета взаимодействия между электронами и фононами в металле, мы выведем здесь выражение для гамильтониана в форме, где с самого начала включено куло-новское взаимодействие между электронами и движениями ионов, но в то же время сделаны некоторые приближения для упрощения уравнений. Например, можно пренебречь анизотропией, которая, по-видимому, не очень существенна для проблемы сверхпроводимости. Предполагается, что колебания решетки можно разделить на продольные и поперечные и что электроны взаимодействуют только с продольными компонентами. Это приближение справедливо для волн с большой длиной волны, но неправильно для коротких волн (исключая некоторые напрапления распространения). Предположим также, как это часто делается в теории Блоха, что матричные элементы для электронно-фононного и кулоновского взаимодействий зависят лишь от разности волновых векторов в начальном и конечном состояниях. При вычислении кулоновских взаимодействий сделаны предположения, которые равнозначны рассмотрению валентных электронов как газа свободных электронов. [c.757]

Другой метод, рассмотренный н работе [16], заключается в исключении членов взаимодействия посредством преобразования Блоха — Норд-сика. Основой приближения является пренебрежение отдачей электрона при испускании и поглощении фонона. По-видимому, для взаимоде11ствий с фононами большой длины волны это справедливо, так что скорость электрона не претерпевает существенных изд1ененпй и нет необходимости считать взаимодействие малым. [c.774]

Когда к вещественно, рещение представляет собой бегущую волну, модулированную с периодом рещетки кристалла. Эта волна распространяется по всему кристаллу без затухания, и средняя плотность электрического заряда —е Ч р имеет одно и то же значение в каждой единичной ячейке кристалла. Об электроне, оостояние которого описывается функцией Блоха, говорят, что он обладает энергией, лежащей в одной из разрещенных энергетических зон твердого тела. Пока сохраняется периодичность потенциального поля рещетки, зонный электрон обладает бесконечной длиной свободного пробега. [c.78]

Аналогичное положение характерно и для электронных состояшй у края щели. Функция Блоха для электронного состояния, лежащего у ирая зоны Бриллюэна, представляет собой не бегущую, а стоячую волну. Это происходит из-за того, что электрон с таким волновым вектором при его движении (в реальном пространстве) с компонентой квази- [c.80]

Для аэровзвесей среднее расстояние между частицами обычно значительно превышает указанное значение характерной длины волны Ьц. в таком случае частицы можно считать как бы невзаимодействующими (Н. Hulst, 1957), и для определения коэффициентов поглощения и рассеяния достаточно решить задачу о поглощении и рассеянии теплового излучения на отдельной частице, которое описывается уравнениями Максвелла, заданными вне и внутри частицы с граничными условиями на ее поверхности. Решение в рядах этой задачи для сферических частиц получено Ми (см. М. Born, Е. Wolf, 1968). Для углерода рассчитанные по теории Ми данные имеются в монографиях S. Soo (1967), А. Г. Блоха (1967). [c.406]

При расчетах теплообмена в корне пылеугольного факела, расчетах взвешенной сушки, газификации и прогрева пылевидного топлива также необходимо знание поглощательной способности запыленных потоков. Методика расчета излучательной и поглощательной способности запыленных потоков была разработана А. М. Гурвичем, А. Г. Блохом и А. И. Носовицким. Для оценки поглощательной способности запыленного потока в этом методе используется формула (19.18), определяющая спектральную поглощательную способность частично проницаемого тела. В этом случае коэффициент ослабления луча kx оказывается зависящим от отношения размера,частицы d к длине волны падающего излучения А, и от физических свойств поглощающего вещества, а переменная х — F[il, где F — средняя удельная поверхность пыли, — [c.408]

Этот метод является одним из наиболее эффективных, и с его помощью может быть проведен детальный расчет спектра разрешенных энергетических состояний в металлах. Если для описания валентной зоны и зоны проводимости пользоваться линейными комбинациями плоских волн, то будет нелегко учесть быстрые колебания волновой функции электрона вблизи ионов, поскольку должны учитываться высокие частоты, и, следовательно, ряд Фурье в этом случае будет сходиться медленно. Херринг [151 показал, как можно обойти эту трудность. Для описания электронов ионных остовов он взял набор функций Блоха (Ть, к), где к — обычный волновой вектор, а индекс Ъ указывает энергетическую зону (Is, 2р и т. д.). При этом энергетические состояния свободного атома предполагаются уже известными. Затем берется обычная плоская волна ( р, к), после чего ортогонализованная плоская волна (ОПВ) определяется следующим образом [c.86]

Строгое математическое описание этих эффектов требует использования формализма матрицы плотности ). Наглядность этого строгого описания достигается путем использования так называемых оптических уравнений Блоха [1—4] ) и приближения вращающейся волны [1] ). В данной лекции по ставится цель дать строгое описапие нестационарных эффектов целью является лпшь феноменологическое качественное их описание. Интересующиеся строгим описанием могут обратиться к монографиям [1-4]. [c.180]

Чтобы получить волновые векторы и коэффициенты Фурье волновых функций для волн в кристалле, нужно решить систему нелинейных уравнений (8.5) или матричное уравнение (8.7), с учетом граничных условий. Пока на число точек обратной решетки никаких ограничений нет, в принципе будет существовать бесконечное число решений, а также соответственно бесконечное число волновых векторов и амплитуд Ч , отвечающих каждой точке обратной решетки. Можно сказать иначе /-му решению будет отвечать набор волновых векторов к и набор амплитуд, соответствующих каждой точке обратной решетки. Эти наборы, как известно, определяют блоковскую волну с номером /. Она представляет собой одно из решений, описывающее волну в кристалле, которая, согласно теореме Блоха, должна иметь вид [c.178]

Блох составил систему магнитных волновых функций, которые связаны с гайзенберговскими функциями атомарного типа, как волны возбуждения с в (143.36). Рассмотрим систему N атомов, имеющих по одному валентному электрону. Мы предположим, что одноэлектрс н-ные волновые функции ф (г — г (л))=ф подобны функциям атомарного типа. За основную невырожденную волновую функцию полной системы Блох выбрал Фд, которая соответствует состоянию с одинаково направленными спинами всех электронов. Энергия этого состояния [c.648]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...