Инварианты канонической системы

Интегралы и инварианты канонической системы. В случае канонической системы ранга 2 [c.273]

Инвариантное уравнение 169 Инвариантные соотношения 278 Инварианты канонической системы уравнений 273 [c.546]

Скалярная функция 1 х, у, t) называется адиабатическим инвариантом канонической системы с гамильтонианом Н х, у, t, ji), если для любого е>0 существует такое > О, что лри ц е е(0, (Хо) для всех fe(0, ц ) выполняется неравенство [c.203]

Перейдем к изучению инвариантов систем канонических уравнений Гамильтона, получающихся интегрированием по объему фазового пространства. Сначала докажем теорему Лиувилля об интегральном инварианте произвольной системы дифференциальных уравнений. Пусть движение точки пространства Л переменных х, .., ,Хт задано с помощью следующей системы дифференциальных уравнений [c.668]

Равенство (8.38) показывает, что скобки Лагранжа представляют собой инвариант канонических преобразований. Поэтому не существенно, какая именно система канонических переменных применяется при вычислении этих скобок. Это дает нам право опускать индексы q, р, и поэтому в дальнейшем мы будем писать скобки Лагранжа в виде [и, у . Заметим попутно, что [c.277]

Чтобы показать особенно простой пример таких инвариантов, остановимся на случае (в некотором смысле противоположном рассмотренному в п. 32), в котором многообразие интегрирования имеет наименьшее число измерений, т. е. сводится к линии точнее, обращаясь исключительно к каноническим системам, докажем, что для всякой такой системы будет инвариантом интеграл [c.295]

Существенные результаты для случая га = 3, но при ограничительном предположении, что система дифференциальных уравнений есть система уравнений классической динамики (каноническая система) и, следовательно, обладает интегральным инвариантом, получил Ж. Адамар Он дал классификацию возможных в этом случае траекторий, которые совпадают с геодезическими линиями поверхности отрицательной кривизны. Эти геодезические линии, как оказалось, могут быть трех категорий. Первую составляют замкнутые линии, иначе говоря, периодические орбиты, и геодезические, асимптотические к замкнутым геодезическим. Вторую составляют линии бесконечного удаления или, если угодно, отбрасывания на бесконечность. Они расположены на бесконечных полах поверхности. Третью и последнюю категорию образуют геодезические, которые остаются целиком в конечной области, и таких линий заведомо существует бесконечно много. [c.136]

Рассмотрим линейный интегральный инвариант для системы канонических уравнений Гамильтона [c.521]

Доказательство. Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть преобразование (113) каноническое. Тогда оно преобразует старую гамильтонову систему в новую гамильтонову систему. Для преобразованной, новой системы имеет место универсальный интегральный инвариант Пуанкаре [c.313]

Курс аналитической механики является фундаментом, на который опирается изучение таких разделов теоретической физики, как квантовая механика, специальная и общая теория относительности и др. Поэтому в книге подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнение Гамильтона — Якоби, системы с циклическими координатами (главы И, III, IV и VII). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э. Картана, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории, а ее рабочим аппаратом. [c.9]

Иногда, как уже указывалось в случае канонических систем, сама функция f x t) в левой части уравнения (37) называется интегралом. Эта функция называется также инвариантом системы (36), так как для всякого решения системы она сохраняет постоянное значение, как бы ни изменялось время L [c.271]

Общий случай. Выяснив в предыдущих параграфах 3—5 основные понятия об интеграле или инварианте, об инвариантном соотношении и инвариантной системе (соотношений) и об интегральном инварианте, рассмотрим теперь, хотя бы в краткой форме, задачу действительного интегрирования (общего или частного) канонических систем начнем с классического метода Гамильтона — Якоби, который [c.296]

Подробное изложение принципа Даламбера, уравнений Лагранжа, вариационных принципов, вариации произвольных постоянных, оптики Гамильтона, характеристической функции, уравнений Гамильтона — Якоби, разделения переменных, интегральных инвариантов, систематическое интегрирование систем канонических уравнений, канонические преобразования, подстановки или производящие функции, эквивалентные системы. [c.442]

В предыдущем параграфе мы убедились в том, что вполне возможно выбрать совокупность канонически сопряженных переменных, соблюдая следующие требования а) гамильтониан системы является функцией только половины переменных, и б) для периодических систем, уравнение Гамильтона — Якоби которых может быть решено методом разделения переменных, можно выбрать угловые переменные таким образом, что они изменяются за период на единицу. Причины, по которым вводятся переменные такого вида, что гамильтониан зависит лишь от половины из них, более или менее очевидны, но причины введения переменных действие — угол значительно хитрее. II действительно, эти переменные оказались на авансцене лишь с возникновением старой квантовой механики, и причина возникшего к ним интереса была связана с тем, что переменные действия оказались так называемыми адиабатическими инвариантами. Мы определим [c.172]

Если оптическая система аксиально симметрична, а именно такие системы рассматриваются в настоящей книге, ее аберрации выражаются через три инварианта вращения х2 = х2 + г/2 и 9- )=1х - -r y, где g, т] — координаты точки поверхности, на которой рассматриваются аберрации, называемые зрачковыми координатами, а х, у — координаты точки предмета (или гауссова изображения), называемые полевыми координатами. Полные канонические выражения для аберраций третьего и пятого порядков малости аксиально симметричной оптической системы [c.32]

Если, как это принято для аксиально симметричных систем, совместить меридиональную плоскость (плоскость, проходящую через ось симметрии или оптическую ось системы и точку предмета) с плоскостью yz, т. е. положить полевую координату х = 0, то инвариант вращения х вырождается в у , а (р-х) — в г у. В этом случае, вводя для зрачковых координат полярный угол 9 так, что il = р os 9, запишем канонические волновые аберрации (1.26) в форме, особенно часто используемой при анализе оптических систем [c.32]

Линейные интегральные инварианты Пуанкаре получаются из линейных инвариантов Картана для одновременных состояний системы. Картан показал также, что при наличии этих интегральных инвариантов система является канонической. [c.61]

В. В. Добронравов распространил теорию интегральных инвариантов на неголономные системы референции [12] и нашел, используя теорему Пуанкаре о связи между последним множителем и интегральным инвариантом, последний множитель для канонических уравнений в не-голономных координатах [c.61]

Для системы (6), имеющей интегральный инвариант вида (3), также известно обратное утверждение инвариантность интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики, так как из этой инвариантности вытекает, что движение системы подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона [25]. Однако теперь ситуация является более сложной, поскольку в интегральном инварианте используется ещё одна пара сопряжённых переменных. Наличие в интегральном инварианте (3) функции Н и условие, что система имеет вид (7) с гамильтонианом Н, дают лишь тривиальный случай по совпадению. Причины, по которым доказательство обратного утверждения для интегрального инварианта Пуанкаре-Картана, приведённое в [25], мы не считаем убедительным, будут отмечены ниже. [c.227]

Предположим, в частности, что матрица H(i) в (13i) удовлетворяет условию H(i -f т) = H(i) при фиксированном t ф 0. В соответствии с (6) и с последним замечанием в 150 матрица монодромии Гд является полностью канонической. Так как характеристические числа этой матрицы (т. е. 2п мультипликаторов Si,. .., S2n) и ее элементарные делители являются инвариантами группы монодромии (см. 141 — 142), то из 60 следует, что если S — мультипликатор, вещественный или комплексный, то S — также мультипликатор, соответствующий (если 1) элементарным делителям той же степени, что и s (и имеющий, в частности, ту же кратность). Учитывая изложенное в 143, можно сказать, что если система (13i) имеет характеристический показатель, равный X, то она также имеет характеристический показатель, равный —к. При этом, если X не равно целой кратности 2т/х или яг/т, то —Я имеет ту же самую кратность и соответствует вековым членам той же степени, что и X. Кроме того, кратность мультипликатора s = — 1 (т. е. характеристического показателя X = яг/т), а следовательно, и мультипликатора s = -f-1 X = 2яг/т) всегда четная. Это вытекает из того, что произведение всех 2п мультипликаторов совпадает с определителем полностью канонической матрицы Ги и в силу (12) 32 равно -f 1. [c.134]

Адиабатические инварианты. Проблема медленно меняющихся цугов волн аналогична проблеме медленно меняющихся колебаний в классической механике. Известная элементарная задача состоит в определении изменений амплитуды простого маятника, когда пружина медленно перемещается по подставке. Вообще же говоря, эта задача относится к поведению гамильтоновой системы, когда внешний параметр медленно меняется со временем. Теория основывается обычно на уравнениях Гамильтона, причем сушественно используются канонические преобразования. Соответствующие преобразования не существуют в случае большего числа независимых переменных [8], так что в задачах теории волн подобные методы построить нельзя. С дру- [c.22]

Получив далее некоторую равномерность распределения вероятностей в новой координатной системе, мы сможем сразу распространить эту вероятность на старую координатную систему, так как величина элемента объема фазовой области есть инвариант канонического преобразования. Будем считать, поэтому, что ds =, A zq — С/) S dx , где А = onst. Легко видеть, что пространство, состоящее из направленных элементов линий полученного риманова пространства, будет эквивалентно фазовому пространству. Действительно, точка фазового пространства р ) может быть определена как соответствующая точка конфигурационного пространства (х ) вместе с заданным вектором скоростей (х ). Некоторому интервалу координат и импульсов фазового пространства будет соответствовать в пространстве F некоторый интервал объема dm , некоторый интервал угла d

полной энергии мы получим, что в силу размешивающегося характера геодезического движения в О, доля этих точек, попадающая в некоторый интервал dm d p, будет зависеть лишь от величины рассматриваемого интервала и будет ему пропорциональна. Все рассматриваемые точки фазового пространства, т. е. точки с добавочной характеристикой — длиной направляющегося вектора, соответствующие каждому данному Zq, принадлежащему интервалу попадут внутрь интервала dr. Поэтому, определяя во всех точках допускаемую в них начальной неопределенностью полной энергии системы dz величину dr, одинаковую для всех точек (так как dz == получим, что все точки начальной области равномерно распределятся внутри слоя заданного dr, т. е. равномерно распределятся внутри слоя заданной неопределенности однозначных интегралов движения. (Распределение будет равномерным при данном dr, т. е. сделается равномерным по всем параметрам, кроме г, по которому оно будет определяться начальным распределением, так как очевидно, что по параметру г размешивания не будет, поскольку области фазового пространства, соответствующие неперекрывающимся dz, бесспорно не будут переходить друг в друга.) [c.186]

Резюме. Канонические уравнения инвариантны относительно точечного преобразования Лагранжа. Преобразование импульсов происходит с учетом инвариантности дифференциальной формыФункция Гамильтона является инвариантом преобразования, если новая система координат покоится относительно старой. В противном случае функция Гамильтона изменяется за счет гироскопических членов. [c.233]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Теория интегральных инвариантов дает возможность глуб ке проникнуть в природу канонических уравнений, обнаружив ряд новых, не замеченных ранее специфических свойств системы канонических уравнений, а также с новой точки зрения оценить уже известные теоремы, относящиеся к этой системе [13]. Метод интегральных инвариантов позволяет объединить различные ветви аналитической механики, давая большей частью простое доказательство теоремам и указывая внутреннюю связь между ними [14]. Поэтому теория интегральных инвариантов вошла составной частью в многие монографии и учебные пособия. Картан в 20-х годах читал специальный курс теории интегральных инвариантов, переведенный на русский язык. Специальный курс теории интегральных инвариантов был прочитан также Л. Н. Сретенским. К сожалению, этот курс остался неизданным, хотя его издание необходимо. [c.62]

Отсюда вытекает эквивалентность интеграла действия и относительного интегрального инварианта в рассматриваемом случае ). Значение интеграла действия определяется прежде всего тем, что он является каноническим импульсом в переменных действие — угол (см. 1.2в). Помимо этого, он оказывается адиабатическим инвариантом движения, т. е. остается приблизительно постоянным в случае медленного, по сравнению с периодом колебаний, изменения гамильтониана со временем. Адиабатическое постоянство действия подробно рассматривается в 2.3 и имеет фундаментальное значение для понимания регулярного движения в системах с гамильтонианом, зависящим от времени, и в системах с несколь-ки.ми степенялш свободы. [c.31]

Заметим еще, что величина фазового объема представляет собой инвариант относительно преобразования координат (и при соответствующем преобразовании импульсов). Не приводя доказательства ), заметим только, что по существу это положение уже доказано нами путем выкладок, приведенных для доказательства теоремы Лиувилля. Дело в том, что, как известно ), всякое каноническое преобразование д и р может быть представлено в виде совокупности бесконечно малых преобразований, удовлетворяющих уравнениям типа Гамильтона, причем I играет роль параметра преобразования (например, роль угла поворота координатных осей). При преобразованиях совершенпЪ того же типа, что и преобразования р и д, при движении системы по теореме Лиувилля фазовый объем не меняется [14]. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...