Форма колебаний свободной балки

Влияние амортизаторов на колебания конструкции исследовались на сварной тонкостенной балке двутаврового сечения длиной 240 см, высотой 41 см и общей массой порядка 600 кг. Измерялись уровни и формы резонансных колебаний свободной балки и закрепленной на двух, трех и пяти амортизаторах арочного типа. Входная жесткость амортизатора на частотах, меньших 100 Гц, составляет 2-10 кгс/см, поэтому низшие резонансные частоты колебаний балки как твердого тела на жесткостях амортизаторов не превышали 30 Гц. [c.91]

За базисные формы принимаем собственные формы колебаний однородной балки, свободно опертой по концам [c.57]

Первое уравнение показывает, что са есть частота свободных колебаний балки. Интегрируя второе уравнение и составляя граничные условия для определения констант, мы убеждаемся, что эти константы не все равны нулю тогда, когда со принимает определенные значения, являющиеся собственными частотами балки. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что (Oi < 0)2 < соз <. . Каждому значению собственной частоты (0)1 соответствует собственная форма колебаний 2 (z), удовлетворяющая уравнению (6.8.3) при О) = со , а именно [c.197]

Из этого равенства следует, что формула (6.10.1) определяет частоту свободных колебаний балки Ил тогда, когда функция v z) совпадает с соответствующей собственной формой колебаний. [c.201]

Определение формы упругой линии имеет, пожалуй, наибольшее значение при решении задач динамики. С помощью форм упругой линии балки при свободных колебаниях может быть выявлено ее поведение при воздействии ударных нагрузок. Динамика движения летательных аппаратов в некоторых случаях также требует определения формы упругой линии несущих плоскостей. Такого рода задачи по определению формы упругой линии решаются, понятно, только численными методами. Но все это относится к задачам динамики. Что же касается условий статического нагружения, то найти примеры необходимого для практических целей определения формы упругой линии балки, скажу прямо, очень трудно. И сейчас мы перейдем к новому вопросу, связанному с упругой линией балки. [c.62]

По формуле (I. 69) можно каждой частоте поставить в соответствие амплитуду колебаний f(l). Полученные зависимости показаны на фиг. 12. Этот же результат можно получить и общим графическим методом. Для данного примера он представлен на фиг. И. Из фиг. 60 можно видеть характер форм колебаний, соответствующих различным собственным частотам. ) Таким образом, формы свободных нелинейных колебаний балки, в отличие от линейных колебаний, плавно переходят одна в другую с изменением амплитуды колебаний балки. [c.26]

Представим себе свободно опертую балку, нагруженную несколькими сосредоточенными грузами. Масса последних т,- различна (фиг. 28). Пусть требуется приближенно определить низшую собственную частоту колебаний 03i. Предположим, что при первой форме колебаний кривая прогибов будет такой же, как и кривая прогибов при статическом действии сосредоточенного груза массы т,.. Эта кривая, очевидно, соответствует всем граничным условиям прогибы на опорах равны нулю и изгибающие моменты на концах также равны нулю. Если предположить, что колебания являются гармоническими, то j, - = К sin и тогда [c.70]

Погрешность получилась довольно значительной. Она прежде всего возникла от того, что предполагаемая форма колебаний балки не удовлетворяет на свободном конце условию у 1)=0. [c.72]

В качестве примера применения данного метода вычислим собственную частоту колебаний балки постоянного сечения, свободно опертой на концах (фиг. 30). Форму колебаний примем согласно выражению (2.80) в виде функции [c.73]

В предыдущей главе было показано, что динамические свойства линейных резиноподобных материалов можно представить с помощью любых двух из следующих трех параметров накопленного модуля, модуля поглощения и коэффициента потерь. Для задач, рассматриваемых в данной главе, при описании демпфирующих свойств материалов потребуются только накопленный модуль и коэффициент потерь. Демпфирующие свойства резиноподобных материалов зависят от технологического оборудования. Например, на рис. 3.1 показана температурная зависимость динамических перемещений при соответствующих частотах колебаний для типичной металлической жестко защемленной на одном конце и свободной на другом балки, на которую нанесен демпфирующий слой. Исследуя зависимости от температуры, можно обнаружить области, где материал проявляет хорошие демпфирующие свойства. В то же время, изучая частотную зависимость, можно видеть четыре первых формы колебаний балки. Из рис. 3.1 с очевидностью следует, что характер поведения балки для соответствующих форм колебаний [c.105]

Наиболее важное допущение, которое следует иметь в виду при использовании предложенной методики, состоит в том, что формулы (6.1) —(6.5) были получены с помощью разложения Б ряды по формам колебаний, поэтому метод приведения применим и к свободно опертым балкам и пластинам. При других видах граничных условий необходимо использовать приближенные представления, зависящие от формы колебаний исследуемой конструкции. Метод также предполагает неподвижное соединение между собой слоев системы. Кроме того, поскольку больщинство материалов не обладают адгезионными свойствами, для соединения используется слой клея. В подобных случаях толщина клеящего слоя должна быть минимальной, модуль [c.273]

Уравнение (8.51) и его граничные условия по форме полностью совпадают с уравнением и граничными условиями хорошо изученной задачи о свободных колебаниях однородной балки, и при одинаковых граничных условиях функция X (х) повторяет форму изогнутой оси колеблющейся балки. [c.232]

В качестве примера рассмотрим свободные колебания защемленной на обоих концах балки. Для простоты рассмотрим первые симметричные формы колебаний. Для таких колебаний коэффициенты Ат Вт при антисимметричных членах выражения [c.93]

Использование нормальных форм колебаний в задачах о пла% стинах. В 2.7 нормальные формы колебаний балки с защемлен-. ными, свободно опертыми или свободными концами. использовались для решения задач о поперечно нагруженных балках с определенными условиями на концах. С использованием нормаль- яых, форм колебаний балок с соответствующими условиями на конца можно решать также и общие задачи для пластин с учетом произвольной комбинации из защемления и свободного опирания на краях, однако при этом возникают дополнительные сложности, [c.246]

Задача 5. Исследовать влияние формы поперечного сечения балки на частоту свободных колебаний груза. [c.112]

НИИ у — к/2 (при атом е — вр -= Л/2). В общем случае о необходимости учета связанности форм свободных колебаний можно ориентировочно судить, сравнивая параметр %с = (е — — вр)УР (т — номер формы колебаний, I — длина балки) с единицей. Для балки, показанной на рис. 2.4, [c.336]

Хотя эти соображения верны только для свободных колебаний, они могут быть применимы также и для вынужденных колебаний, так как в этом случае форма колебаний стержня приближенно соответствует той собственной форме колебаний, частота которой ближе всего к частоте вынужденных колебаний. Предполагая, что стержень между двумя узловыми точками ведет себя как балка на двух опорах, определим по амплитуде скорости колебаний динам.ические напряжения. [c.291]

В качестве третьего примера рассмотрим призматическую консольную балку, на незакрепленном конце которой установлен груз весом W (рис. 1.16). Предположим, что при колебаниях форма линии прогиба балки будет такой же, как и в случае статического нагружения силой, приложенной на свободном конце. Обозначив через г/м максимальное перемещение груза можем определить кинетическую энергию балки [c.40]

Из этого равенства следует, что формула (178.1) определяет частоту свободных колебаний балки тогда, когда функция v (z) совпадает с соответствующей главной формой колебаний. С другой стороны, формулу (178.2) можно переписать следующим образом [c.392]

Плоское движение летательного аппарата разделяется на продольное и боковое. Изгиб конструкции выражается через нормальные формы колебаний летательного аппарата, рассматриваемого как балка со свободными концами, с учетом влияния вращения летательного аппарата и срезывающих усилий. Масса летательного аппарата предполагается постоянной, так что уравнения движения действительны на коротких участках полной траектории полета в течение каждого такого участка можно пренебречь изменением массы летательного аппарата, частот изгибных и продольных колебаний, форм колебаний, плотности воздуха и ускорения силы тяжести. Таким образом, уравнения достаточны для определения [c.592]

Найти частоты и формы главных поперечных колебаний балки длины /, свободно лежащей на двух опорах и на-груженной в точках х =- I и I двумя равными грузами [c.425]

Пример 17.34. Для призматической балки, шарнирно опертой по концам, найти частоты и формы свободных колебаний. [c.180]

Обсудим отыскание форм свободных колебаний. Сделаем это применительно к балке №1 при а — 0,006. В формулы для / ( = 1, 2, 3, 4) подставим поочередно значения / (/ = 1, 2, 3,. ..). Найденные таким образом s / (i = 1, 2, 3, 4 / = 1, 2, 3. ..) поочередно при каждом значении j подставим в (17.285) и от полученной системы однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Л(ft = 1, 2, 3, 4) перейдем к системе уравнений относительно = 4 (А = 1, 2, 3). Решив эту систему, т. е. найдя [c.208]

Расчеты, проведенные для свободной тонкостенной сварной балки двутаврового поперечного сечения с отношением длины к высоте 2, 1, показали, что в диапазоне до 1500 гц имеются три собственные частоты. Форма колебания на первой собственной частоте, удовлетворяющей условию (1), двухузловая и на концах несколько отличается от соответствующей формы колебаний низкой балки. Вторая и третья собственные частоты соответствуют условию (4). Форма колебания на третьей собственной частоте трехузловая и близка ко второй форме колебаний низкой балки. Введение в расчет дополнительного массового члена Jт и сдвиговой жесткости ЕЕ1к привело к появлению дополнительной собственной частоты, величина которой примерно равна У ЕЕ Ыт таблицу). Если на первой и третьей собственных [c.30]

Трудности в численных расчетах, встречающиеся при исследовании балки, опертой на жесткие пружины, обсуждались Пестелем и Леки [4.8. Эта проблема становится еще более актуальной при расчете панелей самолетов. Одной из основных возникающих здесь трудностей является цепочка перемножений матриц типа представленных в уравнении (4.125), так как если цепочка становится длинной, а жесткость упругого элемента, определяющая матрицу [Р], существенно превышает жесткость балки на изгиб, определяющую матрицу [U], то возникает неустойчивость процедуры численного счета, что по существу является результатом вычисления малых разностей больших чисел в вычислительных машинах при конечной точности представления чисел. Для задач о свободных колебаниях это означает, что иногда, особенно когда это связано с задачами, описываемыми уравнениями высоких порядков (типа уравнений оболочек), возникают трудности определения частот, при которых частотный определитель достаточно близок к нулю, с тем чтобы с необходимой точностью найти формы колебаний. При решении задач о вынужденных колебаниях может вызвать затруднение процедура численного обращения матрицы (см. уравнение (4.128)). Как было показано Лином и Макданиэлом [4.7], это связано с соотношением [c.186]

Опыты по определению эквивалентного комплексного модуля упругости для многослойного демпфирующего покрытия проводились на защемленных по обоим концам или жестко защемленных на одном и свободно на другом конце балках, причем варьировались волновое число п, толщина подкрепляющего слоя Не, толщина клеевого слоя Но, число слоев N, температура Т и частота колебаний to, а в качестве демпфирующего материала использовались слои акриловой смолы. Найденный с помощью эксперимента комплексный модуль упругости клеевого слоя использовался для определения Ев и г в для каждого значения температуры и резонансной частоты колебаний, после чего вычислялся параметр поперечного сдвига gu- Параметр Кп определяется как длина шарнирно опертой балки, имеющей такую же резонансную частоту для соответствующей формы колебаний. По найденным из эксперимента значениям параметра Лл для соответствующей формы колебаний и резонансным частотам со и (о о колебаний соответственно демпфированной и недемпфированной балок с помощью формул Оберста определяются значения Ее и г]е для демпфирующего покрытия. Было обнару- [c.308]

Наиболее широкое распространение в расчетной практике получил в настоящее время метод Ю. А. Шиманского [41 ]. Этот метод основан на том же общем принципе, но содержит ряд упрощений, облегчающих его практическое использование. Во-первых, определенное упрощение формы свободных колебаний однопролетной балки позволило автору метода избавиться от тригонометрических и показательных функций благодаря сведению всего расчета к алгебраическому, причем важнейшие соотношения заданы в виде графиков. Все это существенно упрощает проведение расчета, но затрудняет оценку роли того или иного пролета в решаемой задаче. Во-вторых, расчет ведется от носового конца валопровода в корму, т, е. в наиболее целесообразном направлении. Однако сложность частотного расчета последнего консольного участка вынудила Ю. А. Шиманского заменить гребной винт точечной массой и тем самым пренебречь инерцией поворота тела винта в процессе колебаний, которая может играть немаловажную роль. [c.231]

Айре и Якобсен [2] составили таблицы для первых 15 частот поперечных колебаний балок с 1—10 одинаковыми пролетами постоянного сечения и со свободно опертыми и заделанными концами. При этом был использован довольно сложный графический метод формы колебаний разделялись на группы таким образом, что для балки с шарнирно опертыми концами каждая группа ограничивалась двумя простыми синусоидаль- [c.162]

Понятие формы колебаний можно обобщить на более сложный случай колебания свободной балхи с упругоподвешенной сосредоточенной массой. Под формой колебаний, соответствующей частоте Шл в данном случае понимают функцию Ф (х), характеризующую распределение поперечньгх перемещений оси балки по ее длине, и величину Г1 , характеризующую перемещение сосредоточенной массы относительно оси балки. [c.338]

Нормальные формь колебаний. Для концевых условий, отличных от свободного опирания, иногда более удобно помещать начало координат в середине пролета балки (рис. 2.13). Это упро-щает исследования балок с симметричными, т. е. с одинаковыми, концевыми условиями при сим-i, метричном нагружении (в этом [c.92]

Примечания Сен-Венана к книге Клебша также представляют большую ценность, в особенности в части, касающейся колебаний стержней и теории удара. Говоря о поперечном ударе балок, мы уже отметили важный вклад Сен-Венана в этот вопрос (стр. 217). Предполагая, что тело после удара по свободно опертой балке продолжает оставаться в соприкосновевии с ней, он трактует проблему удара как задачу колебаний балки с присоединенной к ней массой. Он исследует первые семь форм колебаний системы, вычисляет соответствующие частоты и находит формы соответ-. твующих кривых для различных значений отношения между несом балки и весом ударяющего тела. Полагая, что балка в начальный момент находится в покое, между тем как присоединенная к ней масса обладает некоторой скоростью, Сен-Венан вычисляет амплитуду для каждой формы колебаний. Суммируя прогибы,, соответствующие этим элементарным колебаниям, он получает кривую прогибов балки для различных моментов времени t, а также находит наибольший прогиб и наибольшую кривизну ) [c.289]

Излагаемый в настоящей статье приближенный метод исследования динамических характеристик круговых или некруговых цилиндрических оболочек, не подкрепленных или подкрепленных шпангоутами и стрингерами и имеющих вырезы прямоугольной формы, основывается на энергетическом принципе. Исследование базируется на использовании принципа Гамильтона и классического метода Рэлея —Ритца с применением балочных функций для аппроксимации осевых перемещений и тригонометрических для окружных. Балочные функции соответствуют тем функциям, которые описывают колебания однородной балки с такими же граничными условиями, что и на краях оболочки. В исследовании рассмотрены четыре вида граничных условий, а именно шарнирное опи-рание, защемленйе —свободный край, защемление —защемление и, наконец, оба края свободные. Хорошо известно, что в методе Рэлея — Ритца аппроксимирующие ряды для перемещений должны удовлетворять кинематическим граничным условиям и не требуется удовлетворение силовых граничных условий. Поэтому как уравнения равновесия, так и граничные условия в напряжениях удовлетворяются приближенно, на основе принципа экстремума. Таким образом, это позволяет без затруднений представить граничные условия на свободном крае выреза оболочки. [c.239]

Колебания бруса, вызванные внешними силами, называют вынужденными в отличие от свободных (собственных) его колебаний. Свободные колебания бруса совершаются без участия внешних сил, а только под действием сил упругости-, эти колебания мы наблюдаем повсеместно, во всех случаях внезапного нарушения равновесной формы упругого бруса (оттянутая и затем отпущенная струна, растянутпя гирей пружина, балка после ударной нагрузки). [c.532]

В. ТаЬаггок и В. М. Кагпорр [1.321] (1967) сформулировали принцип Гамильтона — Остроградского для балки Тимошенко. Отмечается, что геометрическим граничным условиям ш= 0 и il3=iO по форме соответствуют силовые граничные условия Ai = 0 и Q=0 (w — прогиб, ip — наклон при изгибе, М — изгибающий момент, Q — поперечная сила). Исходя из этого, величинам Л1 и Q ставятся в соответствие некоторые величины W и а, называемые дуальными, которые кладутся в основу формулировки дуального вариационного принципа. В первом случае функционал варьируется по ш и ijj, во втором — по W и а. Затем рассматриваются свободные колебания обычной и дуальной балок, для которых записаны энергетические оценки Релея верхних границ частот. Введением безразмерных параметров г, s и bi эти оценки приведены к взаимно симметричной форме. Установлено соотвётст-вие между обычной и дуальной балками. Показано, что формы перемещений и частоты колебаний обычной балки эквивалентны некоторым силовым формам и частотам колебаний дуальной балки, для которой г и s взаимно переставлены местами. [c.48]

Установлено, что при <7- 0, т. е. при ф2ар 1, существует решение чисто сдвигово-вращательного характера с нулевым поперечным отклонением, как в конечной, так и в бесконечной балке. Проведены экспериментальные исследования колебаний тонкостенной балки коробчатого сечения с густым набором достаточно жестких диафрагм. В таких конструкциях нет простой связи между изгибной жесткостью, сдвигом и инерцией в,ращения, как в сплошной балке, и влияние инерции вращения мало. На фиг. 1.17 приведенырезультаты теории и эксперимента (кружочки) для первой ф1 и второй ц>2 симметричных форм колебаний балки со свободными концами. Как видно, учет деформации сдвига даже для низших форм колебаний является существенным в тонкостенных конструкциях. Для оценки аппроксимации в виде однородной балки были проведены более точные расчеты в матричной форме, основанные на представлении реальной конструкции в виде конечного числа масс, соединенных безмассовыми уп- [c.80]

R. J. Guillotte [1.186] (1967) рассмотрел собственные колебания балки Тимошенко со свободными концами и с неоднородными по длине- массой, инерцией, сдвиговой и изгибной жесткостями. Все расчеты выполняются применительно к корпусам реальных ракет. Исследуются первые три формы колебаний. Уравнения Тимошенко записаны в виде системы четырех уравнений [c.93]

В. Н. Кагпорр и J. С. Fung [1.2181 (1970) исследовали свободные колебания консольных балок Тимошенко переменной толщины. Масса балки принимается сосредоточенной в дискретных точках. Уравнения движения, полученные вариационным путем, записаны в матричной форме. Задача сведена к нахождению собственных значений симметричной матрицы порядка п, где м —число разбиений балки. Построена итерационная схема расчета верхних границ собственных значений. В качестве примера рассчитаны собственные частоты и формы колебаний балки Тимошенко (пять первых частот) и усеченного клина (три первые частоты). Приведены результаты сравнения с известными точными решениями, получено достаточно хорошее совпадение. [c.94]

Колебания судовых корпусов. — В качестве другого п мера приложения теории колебаний стержней переменного сечен рассмотрим задачу о колебаниях судового корпуса ). В дайн случае возмущающая сила обычно возникает от неуравновещеннос двигателя или действия гребного винта ), н если частота воз щаюшей силы совпадает с частотой одной из нормальных фо колебаний корпуса, то могут возникнуть больщие колебания. Ес принять корпус судна за балку переменного поперечного сечения свободными концами и использовать метод Ритца (см. 61), то уравнения (158) всегда можно с достаточной степенью точное определить частоты различных форм колебаний. [c.380]

В качестве базисных форм берем собственные формы колебаний однор д ной балки, свободно опертой по концам [c.322]

Любая упругая система независимо от числа и характера наложенных на нее связей представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы, но при переходе к расчетной схеме она может быть заменена системой с конечным числом степеней свободы (или даже с одной степенью свободы). Проиллюстрируем сказанное на примере консольной балки с грузом на свободном конце (рис. 13-17, а). Если допустить, что. масса груза значительно больше массы балки и груз имеет такую форму и размеры, что момент инерции его относительно осей, проходящих через центр тялсести, мал, а жесткость балки значительна (прогибы малы) и рассматриваются только колебания в вертикальной плоскости, то координата а перемещения конца балки полностью определяет положение системы в любой момент времени. Следовательно, система может рассматриваться как обладающая одной степенью свободы (рис. 13-17, б). Несоблюдение хотя бы одного из сделанных выше предполсжений о характере величин, определяющих колебания системы, привело бы улсе к другой расчетной схеме. Если существенными в задаче являются не только колебания в вертикальной плоскости, но и любые другие, так что конец балки описывает в общ,ем случае какую-то плоскую кривую, то, раскладывая движение груза на вертикальную и горизонтальную составляющие, получаем расчетную схему (рис. 13-17, в), соответствующую системе с двумя степенями свободы. [c.341]

Найтп частоты и формы главных поперечных колебаний балки длины /, свободно лежащей на двух опорах и на- [c.425]

По формам свободных колебаний балки можно разлагать в обобщенный ряд Фурье любую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле. [c.178]

Пример 17.39. Определить частоты и формы свободных поперечных колебаний призматической однопролетной балки, шарнирно опертой по концам, при условии, что к концу балки с шарнирно подвижной опорой приложена внешняя растягивающая балку сила Р (рис. 17.92). [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...