Форма колебаний вторая

Если найдена в q-u приближении форма колебаний основной частоты Ui то форма колебаний второй частоты должна подчиняться условию ортогональности с этой формой, а следовательно, намечаемая предварительно вторая форма колебаний должна быть взята с учетом данного условия. Однако угадать такую форму невозможно. Поэтому форму, удовлетворяющую условию ортогональности с формой первой частоты, представляем как сумму [c.178]

Формы колебаний второго класса определяются формулами (10) 353. Условия на поверхности в этом случае равносильны тому, что должны в отдельности обращаться в нуль при г=а следующие три функции от [c.802]

Оба эти представления для решений справедливы, что видно из уравнения (ж). Как и в общем случае однородных алгебраических уравнений, здесь могут быть получены только такие решения, которые содержат произвольные постоянные. Таким образом, абсолютная величина амплитуд не может быть определена, а можно найти только их отношения или формы колебаний. Второй индекс (1 и 2) в выражениях (3.20а) и (3.206) для амплитуд означает собственные (или главные) формы колебаний, соответствующие корням р и р1-Как и в п. 3.1, решения (3.19) характеристического уравнения записаны так, что выполняется условие рх < р2. Меньшее значение представляет круговую частоту первой или основной формы колебаний, а большее соответствует второй форме колебаний. [c.216]

Трижды применяя интеграл Дюамеля, получим выражение (т) для перемещений в нормальных координатах, а окончательные результаты совпадают с решениями (у). Из приведенных результатов с очевидностью следует, что наибольший вклад в динамическое поведение системы дает основная форма колебаний, вторая форма колебаний дает вклад намного меньший, чем первая, а третья форма колебаний — намного меньший, чем вторая. [c.284]

Второй член выражения (2.86) учитывает взаимную корреляцию между отдельными обобщенными координатами. Для систем с малым затуханием взаимной корреляцией обычно можно пренебречь [5, 27]. Для нагрузок, корреляционная функция которых описывается выражением (2.10) вместо (2.86) с учетом пренебрежения взаимной корреляцией между формами колебаний, можно получить [27] [c.76]

Вторая форма колебаний, очевидно, определится отношением [c.557]

Следовательно, для системы с двумя степенями свободы существуют две формы колебаний. При колебаниях с низшей частотой перемещения масс т, и происходят в фазе (рис. 542, а), поскольку амплитуды имеют один знак. При Второй форме колебаний (частота ш.2) амплитуды будут разного знака. Колебания происходят п противофазе. Форма колебаний показана на рис. 542, б. [c.477]

Здесь (jjv — собственные частоты консервативной системы gn — нормированные коэффициенты v-й формы колебаний в точках А и В 3v — безразмерный коэффициент линейного демпфирования на v-й форме колебаний. При р = im, опуская малые величины второго порядка, имеем частотную характеристику объекта [c.274]

Дифференцируя последние соотношения по t [с учетом (5.185)] и применяя метод осреднения, получим соответственно для первой и второй нормальных форм колебаний усредненные системы дифференциальных уравнений [c.256]

Во второй части учебника изложены основные положения динамики стержней, дан вывод уравнений движения стержней в линейной и нелинейной постановке приведены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с изложением численных методов определения частот и форм колебаний. Большое внимание уделено неконсервативным задачам с изложением методов исследования динамической устойчивости малых колебаний. Рассмотрены параметрические и случайные колебания стержней. Приведены примеры численного решения прикладных задач с использованием ЭВМ. [c.2]

На примерах релаксационных систем мы убедились в том, что для математического описания движения в реальных автоколебательных системах с одной степенью свободы необходимо пользоваться дифференциальными уравнениями второго порядка. Для систем, описываемых такими уравнениями, можно получить изображение соответствующего движения на фазовой плоскости. В некоторых случаях, когда уравнение нелинейно и не поддается аналитическому решению, построение фазового портрета движения в системе является существенной помощью в определении формы колебаний и динамики их установления. Следует отме- [c.196]

Первое уравнение показывает, что са есть частота свободных колебаний балки. Интегрируя второе уравнение и составляя граничные условия для определения констант, мы убеждаемся, что эти константы не все равны нулю тогда, когда со принимает определенные значения, являющиеся собственными частотами балки. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что (Oi < 0)2 < соз <. . Каждому значению собственной частоты (0)1 соответствует собственная форма колебаний 2 (z), удовлетворяющая уравнению (6.8.3) при О) = со , а именно [c.197]

Резонанс колебаний первой формы возникает, когда д = р , т. е. <7 = к т. Резонанс колебаний второй формы появляется при ф = /72. т. е. при д = 2 12)/т. [c.230]

Следует отметить, что второе слагаемое в знаменателе равенства (23) учитывает влияние инерции поворота сечения на частоты поперечных колебаний балки. Из равенства (24) можно заключить, что этот эффект является существенным для коротких (малая длина ), щироких (большой параметр рз) или гибких (малый параметр р ) балок нри определении частот, соответствующих высшим формам колебаний (большой номер т). [c.140]

Первое из них определяет продольные колебания, второе — крутильные колебания стержня. Оба они одинаковой формы (формы, которую мы уже рассматривали в двадцать третьей лекции). Они представляют волны, которые распространяются с постоянной скоростью частью в том, направлении, в котором 8 возрастает, частью же в противоположном. Скорость распространения продольных волн равна [c.362]

В первом главном колебании — х у = О, а во втором о + 2i/ = 0. Можно было бы, аналогично предыдущему примеру, перейти к главным координатам, однако в этом нет необходимости, поскольку в случае двух степеней свободы результат очевиден. Когда система совершает первое главное колебание, вторая главная координата равна нулю, а когда система совершает второе главное колебание, первая главная координата равна нулю. Поэтому первая и вторая главные координаты и т] могут быть взяты в форме [c.147]

Другим объективным свойством механической системы, неразрывно связанным с собственными ее частотами, являются формы свободных колебаний. Легко, например, показать, что в первой форме колебаний смещения обеих масс одинаковы во всех вариантах, а во второй форме относятся как 1/Р (см. рис. 17.71). В таблице 17.14 приведены значения смещений и их отнощения. [c.174]

Исходя из приведенных выше предпосылок, определим коэффициенты рассеяния, отвечающие первой и второй форме колебаний [c.122]

Если коэффициент вязкого трения является функцией координат системы, то второе слагаемое в уравнении (1. 22) не обращается в нуль при к 1, т. е. уравнение сохранения энергии удовлетворяется не для каждой формы колебаний в отдельности, а для всей системы в целом. Получить простые выражения для коэффициентов разложения в этом случае не удается. [c.25]

Слабость связей подсистем приводит к независимости собственных частот и форм колебаний механизма и фундамента, что позволяет рассчитывать их как несвязанные подсистемы. Однако, как было показано во второй главе, демпфирующие свойства амортизаторов оказывают существенное влияние на уровни колебаний системы вплоть до высоких частот. Поэтому в диапазоне средних и высоких частот допустимо рассмотрение колебаний механизма, закрепленного с помощью амортизаторов на абсолютно жестком фундаменте. Полученные таким образом частотные характеристики дискретных или распределенных по площади крепления динамических нагрузок в амортизаторах можно использовать для определения потока энергии или колебаний фундамента. Следовательно, [c.151]

Устраняются только две формы колебаний— 1 и 2-я. Первая считается приближенно симметричной, и для ее устранения используется симметричная система небольшого числа грузов, а вторая — кососимметричной и устраняется кососимметричной системой грузов. Балансировка при этом производится не на двух критических скоростях, а на 1-й критической скорости (где устраняется 1-я форма) и на максимальной рабочей скорости [161, 170]. [c.135]

Здесь h — сечение балки, в котором функция принимается равной единице. Обычно функцию ф2,о принимают равной единице на конце балки. Но при вычислении формы колебаний второго тона для балки с массой на ее конце достаточно большой величины по сравнению с массой балки узел колебаний расположен близко к концу балки, т. е. функция на конце балки близка к нулю. В этом случае нормировать функцию, полагая ее равной единице на конце балки, нельзя, так как вследствие разности близких чисел мож1ю получить значительные погрешности [c.133]

Для решения системы (5.199) применим метод копечных элементов в обычной форме, описанной в главах 3 — 4 более эффективным оказывается метод конечных элементов, когда решение задачи разбивается на два этапа на первом строятся собственные формы колебаний соответствующего упругого тела, на втором построенные собственные формы применяются в качестве базисных функций метода Бубнова —Галеркина. [c.261]

Очевидью, такая форма колебаний может получиться только в том случае, если значения всех гармоник спектра этих колебаний точно повторяются Б те моменты времени, когда возникают импульсы одного знака, и повторяются по величине, но противоположны по знаку в те моменты времени, когда возникают импульсы обратного знака. Но, как видно из рис. 437, этому требованию удовлетворяют только нечетные гармоники (на рис. 437 сплошной линией изображены первая и третья гармоники) и не удовлетворяют четные гармоники (на рисунке пунктиром изображена вторая гармоника). [c.665]

Этот минимум достигается в том случае, когда все С , за исключением С , равны нулю. Тогда аГ(, = С1К1, т. е. распределение амплитуд по координатам совпадает с первой собственной формой колебания. Для нахождения второй собственной частоты щ следует выбрать начальное отклонение лгр ортогональным первой собственной форме колебания, т. е. [c.288]

Вторая форма колебаний, очевидно, определится отношением Х22 = Я,22/ ч2 в том случзс, когдз начальные условия выбраны такими, при которых А,ц=0 и осуществляются вторые нормальные колебания, описываемые формулами [c.619]

Соответствующие значения параметра называются собственными частотами упругого тела, а функции определяют собственные формы колебаний. Заметим, что в (13.2.1) войдут квадраты собственных частот, которые сохранятся при всех дальнейших выкладках, поэтому корню (о будет всегда соответствовать второй, равный по величине и противоположный по знаку корень — (Ofe. Мы не будем вводить для этих отрицательных корней специальную нумерацию, но следует помнить, что кроме решения Ui ехр iat всегда присутствует и второе решение И ехр(—ioji). Это замечание позволяет образовывать из них действительные комбинации, которые одни только имеют механический смысл. [c.433]

Геометрически зона разрушения по верхней полке имела ступенчатый характер, что соответствует изменению в форме колебания лопатки по мере развития в ней усталостного разрушения. При этом рельеф излома на длине около половины сечения по направлению развития трещины однороден и на нем едва заметны усталостные линии, которые свидетельствуют о смене режима нагружения лопатки, например, за счет изменения скорости обтекания лопатки воздушным потоком. Лишь на длине трещины более 15 мм в зоне перехода от 3-го к 4-му участку имели место регулярные мезолинии усталости (рис. 11.6). На границе перехода ко второй переориентировке плоскости трещины также сформированы отчетливые усталостные макролинии. Они видны и на последующих участках роста трещины вплоть до долома. Между усталостными линиями наиболее грубой формы можно наблюдать блоки из более мелких усталостных линий. Число этих мелких линий колеблется от 2 до 5. Отдельные, едва различимые усталостные линии можно наблюдать и в дальнейшем по мере роста трещины. Общее число усталостных линий в этой зоне разрушения не превышает 30 штук. [c.577]

На рис. 1 представлены результаты исследования эффективности охлаждения патрона для образцов, моделирующих условия кристаллизации при отливке, а также температурные поля при шлифовании и полировании в стенке пера лопатки из сплава ВЖЛ12У. Температура испытаний в опасном сечении образцов была постоянной / max 1273 К. Для достаточного удаления нагретой зоны от охлаждаемого патрона применялась вторая форма колебаний [2]. Распределение температур по длине образца аппроксимировались параболой [c.394]

Сравним эти две задачи на оптимум для продо.лт.ных и изгиб-пых колебаний. Основное их различие заключается в уравнениях оптимальности во второе уравнение (7.73) входят обе неизвестные функции, в то время как в уравнение (7.68) входит только оптимал],лая форма колебаний и(х). Именно благодаря этому удалось найти сначала и х), не зная S x), а затем и функцию S z). Отсюда ясно, что класс задач, которые можно решить аналитически, ограничивается теми, в которых уравнения оптимальности не содержат изменяемого параметра конструкции и зависят только от смещений. Анализ выражений для вариации функ-циона.1гов типа (7.64) и (7.72) приводит к следующему выводу задачи акустической оптимизации конструкций с параметрами, непрерывно зависящими от пространственных координат, решаются аналитически до конца, если функционал (7.54) и ограничительные равенства (7.52) линейно зависят от этих параметров. Таковы, в частности, задачи, в которых искомые параметры линейно входят в Еыражедия для кинетической и потенциальной [c.264]

Зависимость x=f (v) при 6=0,2, ii=l,24 (восходящий участок Т (U)), у = —0,2 и прямом прохождении представлена на рис. 3, б. Из рисунка отчетливо видны четыре области захватывания ультрагармонических колебаний второго порядка (2v <и), гармонических колебаний (v яа оз), субгармонических колебаний второго (уя= 2ш) и третьего (v 3oj) порядков. В окрестностях этих областей располагаются зоны почти периодических колебаний, вырождающихся из соответствующих захватывающих колебаний. Существенное влияние на форму и величину амплитудных кривых оказывает жесткая характеристика (у >0) упругой восстанавливающей силы. Следует отметить, что были получены зависимости =f (v) при различных значениях глубины модуляции Ь, скорости и и жесткой характеристики восстанавливающей силы (у >0). Нанример, в области субгармонического захватывания второго порядка (см. рис, 3, а) кривая x=f (v) имеет наклон в правую сторону и максимальная амплитуда при этом меньше максимальной амплитуды, чем в случае у < 0. [c.28]

Например, при строго симметричном роторе можно взять любую симметричную систему трех грузов, главный вектор которой равен нулю. Тогда в силу симметрии будет равен нулю и главный момент и кроме того эта система грузов будет ортогональной ко 2-й форме колебаний (кососимметричной). Устраняя сим-, метричную составляющую вибрации опор на 1-й критической скорости таким блоком грузов, мы тем самым, во-первых, не нарушим достигнутой в процессе предварительной балансировки на стащсе самоуравновешенности имеющихся на роторе небалансов и, во-вторых, устранив 1-ю форму колебаний, не внесем нового небаланса, имеющего составляющую по 2-й форме. Таким образом, можно ожидать после этого хорошей уравновешенности ротора во всем диапазоне оборотов, захватывающем 1-ю критическую его скорость, в котором влияние 2-й формы колебаний еще не слишком велико. [c.136]

При решении задач второй группы подшипник выступает в роли пассивного элемента, обладающего упругими и демпфирую-Ш.ИМИ свойствами, т. е. в роли упругодемпферной опоры. Наличие масляной пленки приводит к снижению критических скоростей ротора, вычисленных в предположении ее отсутствия, к более сложной форме колебаний ротора и вносит ряд особенностей в методику уравновешивания. Этот комплекс вопросов изучен еще недостаточно. Некоторые данные по вопросам приведены в работах [85, 113 и др.]. [c.163]

На основании проведенного исследования можно сказать, что частоты свободных нелинейных колебаний балок являются, в отличие от линейного случая, функциями амплитуд колебаний концов, имеющих нелинейные граничные условия. При этом они могут занимать своим сплошным спектром либо всю полосу частот от О до оо (при этом формы колебаний плавно переходят от одноузловых к двухузловым и т. д.), либо они могут занимать лишь сплошные полосы в соответствующих интервалах частот. Первый случай имеет место, например, при нелинейной характеристике, представляемой кубической параболой, второй случай — при линейных характеристиках, составленных из отрезков прямых. [c.31]

Поскольку таблицы Холле рассчитываются без учета демпфирований в системе, они не могут служить для прямого определения величин амплитуд в резонансных зонах. Однако известно, что в самом резонансе в системе имеется раздельное уравновешивание группы значительных инерционных и упругих сил и группы относительно малых сил возбуждения и трений. Первая группа сил определяет основное сходство резонансных форм колебаний с собственными формами колебаний, т. е. приближенное равенство их относительных соотношений (так называемый принцип Видлера). Вторая же группа сил определяет при этом величину этих амплитуд. Это позволяет производить приближенную оценку их, с достаточной для практики точностью, по таблицам, использованным при нахождении форм собственных колебаний. Резонансные колебания отдельных масс считаются синфазными, что при строгом рассмотрении противоречит возможности передачи колебательной энергии от мест возбуждения к местам ее рассеяния, рассредоточенным по всей системе. [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...