Граничные условия схем неявных

Неявный оператор левой части разностной схемы рассчитывается по центрам ячеек сетки. В невязких членах применяются односторонние разности, берущиеся из области распространения характеристик, в матрицах вязких членов и диссипативной функции Г используются центральные разности со вторым порядком аппроксимации. В неявном операторе граничные условия в дополнительных ячейках во входном АВ, выходном D сечениях, на непроницаемом контуре профиля и в щели реализованы в неявном виде, что позволяет повысить число Куранта и значительно улучшить сходимость к стационарному решению. Здесь представлены граничные условия в неявном виде. [c.16]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Отметим, что при использовании явной схемы аппроксимация граничных условий проводится аналогично рассмотренному выше случаю неявной схемы, но потоки q / , и записываются че- [c.93]

Процедуре составления системы конечно-разностных уравнений локально-одномерной схемы целесообразно дать следующую физическую интерпретацию. На первом этапе область заменяется набором теплоизолированных между собой горизонтальных стержней (рис. 3.16, а), для каждого из которых методом баланса записывается соответствующая неявная конечно-разностная схема, учитывающая граничные условия задачи на вертикальных границах л = О и X 1 как граничные условия для торцов стержня. Подчеркнем, что при составлении уравнений ба .э.нса для нижнего и верхнего горизонтальных стержней их боковой теплообмен со средой учитывать не надо, т. е. адиабаты в направлении х проходят и по границам (/=0, у 1у. Поэтому система уравнений для первого и последнего го- [c.121]

Если явные схемы более просты, требуют, в принципе, на каждом временном щаге меньшего числа операций, то неявные схемы являются абсолютно устойчивыми, в то время как явные — устойчивы лишь при выполнении определенного условия. Например, для одномерного случая при граничных условиях I рода это условие будет [c.71]

Для численного решения уравнений (8.30), (8.31) по методу установления нри стационарных граничных условиях (8.33) можно применить неявную схему переменных направлений. [c.66]

Другим очевидным недостатком рассмотренных неявных схем является необходимость одновременного решения на новом шаге по времени N алгебраических уравнений (где N — число точек I по пространственной переменной, в которых решение не определяется известными граничными условиями). Если при решении нелинейной задачи частично неявные схемы долл ны действительно обеспечить порядок точности 0 АА, Ах ), то поле скоростей должно рассчитываться также неявно. В настоящее время решение системы нелинейных уравнений является весьма трудным делом, и на практике неявные расчеты конвективного поля не проводятся. Решить систему из N линейных уравнений, конечно, труднее, чем провести расчеты по простой явной схеме, но, как будет показано ниже, такое решение не является исключительно трудным и не требует чрезмерно много времени (в одномерном случае). [c.132]

В этих схемах итерации, необходимые для достижения второго порядка точности и для нелинейных членов, не обязательно связаны с дополнительной работой, так как они могут потребоваться и при численной реализации граничных условий. Одним из недостатков неявных схем метода чередующихся направлений, так же как и других неявных схем, является необходимость иметь граничные значения для Вдоль некоторых границ можно задать условия для "+, допускающие неявное решение. Но на стенке с условием прилипания значения 1,0, на этой границе зависят от значений г]5 во внутренних точках (такие возможные зависимости будут обсуждаться в разд. 3.3.2). Поэтому для определения значения на стенке требуется неявное решение уравнения Таким образом, полная неявная задача при наличии граничного условия прилипания практически не поддается расчету даже при линеаризации скоростей по значениям м" и у". [c.142]

Если же требуется получить также нестационарное решение для давления, то и в (ij), Q-системе необходимо решать уравнение Пуассона V P = S с граничными условиями Неймана. В случае когда применяются неявные схемы и требуется вычислять поле давления на каждом шаге по времени А/, результаты можпо получить быстрее решением (ы, и, Р)-системы. Однако заметим, что при решении (ijj, )-системы при помощи явных схем (которые, как сложилось исторически, чаще применяются для решения ( , и, Р)-системы) шаг по времени А/ настолько мал, что значение давления можно не рассчитывать на каждом шаге по времени, а находить только время от времени. (Во всяком случае, обычно оказывается затруднительным разумно использовать все это множество значений давления.) Если поле давления рассчитывается один раз за каждые десять шагов по времени или реже, то снова рекомендуется применять (ij), О систему. [c.307]

Для выявления нелинейной неустойчивости можно обойти решение уравнения Пуассона для функции тока с помощью линеаризации уравнения переноса вихря. Граничные условия могут замораживаться . В уравнениях, описывающих течение сжимаемой жидкости, любая из четырех зависимых переменных может выключаться или рассчитываться независимо, однако здесь надо обращать внимание на неявную зависимость их расчета через уравнение состояния и через переход от консервативных к неконсервативным переменным. Пробный расчет задачи с = 0 часто выявляет ошибки, связанные с переходом от консервативных переменных к неконсервативным, однако этот способ неприменим в схемах типа схемы Лакса (разд. 5.5.4). [c.480]

Для того чтобы определить характер изменения функции Ь(г) на всем интервале изменения 2, необходимо решить систему уравнений (10.2.1) с граничными условиями (10.2.2) и (10.2.3). Эта система решена численно 231] с использованием неявных разностных схем, аппроксимирующих [c.183]

Азиз и Хеллумс [1967] с успехом использовали трехмерные неявные схемы метода чередующихся направлений для полного уравнения, включающего конвективный и диффузионный члены. Мак-Ки и Митчелл [1970] рассмотрели неявные схемы чередующихся направлений для задач со смешанными производными по координатам д 1 /дхду. Келлог [1969] исследовал неявную схему метода чередующихся направлений для нелинейного уравнения диффузии с нелинейным граничным условием. Применение неявных схем метода чередующихся направлений для уравнения диффузии в случае переменного шага пространственной сетки и граничных условий общего вида рассмотрел Спеньер [c.145]

Здесь используются монотонная разностная схема с повышенным порядком аппроксимации по координатам [2] решение задачи о распаде произвольного разрыва для вычисления потоков через границы ячеек [13, 14] безотражательные граничные условия для характеристических переменных [15] граничные условия в неявном виде. Применена комбинированная расчетная сетка типа "О + Н". [c.12]

Здесь ситуация сложнее, поскольку в каждое уравнение вида (3.22) кроме неизвестного значения Uri для п-й пространственной точки входят еще два искомых значения сеточной функции и u i для соседних п — 1)-й и п + 1)-й точек. Поэтому рассмотренный выше для явной схемы прием получения явной формулы для неизвестного значения в этой ситуации не проходит. Все искомые значения оказываются завязанными друг с другом в общую нераспадающуюся систему уравнений. Эта система состоит из N — 2) уравнений (3.22) для внутренних узлов и двух уравнений (3.24), (3.25), соответствующих граничным условиям. Всего имеем N уравнений относительно N неизвестных Таким образом, в данном случае на каждом временном слое значения сеточной функции и п определяются не по явным формулам, а из решения системы N уравнений, поэтому рассмотренная разностная схема называется неявной. Эффективный алгоритм решения системы уравнений (3.22), (3.24), (3.25) рассмотрим ниже. [c.81]

Перейдем к методике составления программ численного решения одномерных нестационарных задач. Рассмотрим в качестве примера программу для решения по неявной схеме нестационарного уравнения (3.49) для стержня с боковым теплообменом при av = = onst с граничными условиями третьего рода (3.2) и начальным условием (3.3) при То = onst (рис. 3.8). [c.99]

Запишем для уравнения (3.64) и граничных условий (3.65) неявную разностную схему, построенную интегроинтерполяционным методом. При этом учтем, что поскольку к, q зависят от температуры, а 7 - 7 х, т), эти коэффициенты также изменяются в пространстве и во времени. [c.106]

Разностные уравнения (5.27) — (5.31) связывают значения сеточной функции в двух соседних сечениях по оси z с номерами (т —1) и т. При известных значениях Un,m-i ( . Л г) эти уравнения образуют систему N уравнений относительно значений сеточной функции в сечении z z - Система уравнений имеет трехдиагональную матрицу и может быть решена методом прогонки, которая проводится поперек трубы . Таким образом, построенная разностная схема аналогична неявной схеме для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, с тем отли-чием, что роль временных слоев играют поперечные сечения 2 . В первом сечении (т = 1) температуры задаются граничным условием (5.32), а далее последовательно для каждого сечения решается методом прогонки система разностных уравнений (5.27)—(5.31) относительно неизвестных (п = 1,. .., Nr) и определяются тем- [c.165]

Метод построения неявных операторов для определяюгцей системы уравнений описан в [23]. Регнение неявных дифференциальных операторов основано на применении симметричной релаксационной схемы Гаусса-Зейделя. Использовались комбинированные граничные условия. В зависимости от направления потока через границу задавался либо снос параметров из области течения, либо фиксированные значения параметров. В случае течения в канале и в пристеночной трехмерной струе при Ке <3-10 на стенке ставились условия прилипания. При Ке >3-10 вводились законы стенки. Типичные расчетные сетки для трехмерных течений содержали от 30 до 40 узлов по каждому направлению (обгцее количество узлов — до 200 тысяч), при этом по-грегнность расчета за счет высокого порядка схемной аппроксимации не превыгпала 5 %. [c.588]

В работе Г 2 J для решения двухмерной задачи Стефана был предложен экономичный численный метод. Его экономичность так же, как и экономичность обычных методов сквозного счета, достигается прежде всего за счет использования для нахождения двухмерного поля температур неявной численшзй схемы (в работе [ 2 ] использовалась локально-одномерная схема / /), что в данном случае позволяет увеличить шаг интегрирования по времени примерно в 10-20 раз по сравнению с любым явным методом. Однако в отличие от обычных методов сквозного счета, для получения распределения температуры сразу во всей многофазной области в работе Г 2 J решение находится не с помощью сглаживающих функций, а с помощью специальным образом записанных прогоночных соотношений. Преимуществом такого подхода, наряду с автоматич ески м удовлетворением граничных условий, является явное выделение границы раздела фаз и получение подробной инфор -мации относительно ее положения и скорости передвижения. Положение границы раздела фаз находится методом Эйлера. [c.74]

Однако применение явных схем метода чередуюндихся направлений для рещения задач гидродинамики ограничено по двум причинам. Во-первых, хотя для внутренних точек конечноразностная схема (3.316) является явной, в целом эта схема фактически будет неявной из-за граничных условий. При первом направлении обхода по схеме (3.316а) должно быть известно значение + с (rt-f-i)-ro временного слоя при втором направлении обхода по схеме (3.3166) должно быть известно значение где / = тахг. Это обстоятельство не вызывает [c.148]

Подобно схеме Саульева, рассматриваемая схема оказывается явной во внутренних точках и неявной при расчете граничных условий. Для достижения симметрии при расчете можно чередовать направления обхода точек 1 и Исследование устойчивости схемы (3.332) при помощи метода фон Неймана дает [c.150]

Поскольку в правую часть уравнения (3.343а) входит значение ,эта вторая схема является явной схемой метода чередующихся направлений, записанной для обхода точек в направлении возрастающих значений if. Подобно другим явным схемам метода чередующихся направлений, рассмотренным в разд. 3.1.17, эта схема неявная по граничному условию, т. е. для того, чтобы начать расчет в направлении роста г, необходимо знать "+. [c.156]

Используя компактную схему в неявном методе чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16), Хёрщ [1975] рассчитал двумерные стационарные течения вязкой жидкости при малом числе Рейнольдса. При помощи компактной схемы четвертого порядка удалось достигнуть экономии мащинпого времени в 20 раз и объема машинной памяти в 3 раза по сравнению со схемой второго порядка (примерно прп той же точности). Граничные условия для вихря брались с предыдущего слоя по времени (как это обычно делается в том случае, когда интерес представляет только стационарное решение), что приводило к потере точности по времени. Трехточечные компактные разности можно также применять для построения схем шестого и более высокого порядка точности (Хёрш, личное сообщение). В схеме Рубина —Хосла [1975], основанной на аппроксимации сплайнами, вводится переменный шаг по пространственной сетке, и в этом случае порядок ошибки для F остается О (А ), но порядок ошибки для S уменьшается до О (А ). [c.174]

Может показаться, что выбор очень больших А/ (малых р) будет ускорять асимптотическую по времени скорость сходимости, но в действительности существуют некоторые оптимальные значения А/ или р. При оптимальном р сходимость достигается за несколько меньшее число итераций, чем при ис-. пользовании метода последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром. Такая более быстрая сходимость представляется правдоподобной, ибо неявность схемы приводит к тому, что влияние эллиптических граничных условий сказывается в течение всего времени. Однако выполнение одной итерации в неявной схеме метода чередующихся направлений занимает больше времени, и поэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром фактически требует меньше машинного времени, чем такая однопараметрическая неявная схема метода чередующихся направлений (Биркгоф с соавторами [1962], Уэстлейк [1968]). [c.189]

Граничные условия вдоль стенки с прилипанием имеют следующий простой вид а, = О и Ош = О для всех моментов времени. Это, очевидно, дает большое преимущество при использовании неявных схем, поскольку для граничных условий не требуется дополнительного итерационного процесса. Одпако успешное применение неявных схем при решении уравнений, записанных для физических перемепных, сталкивается с некоторыми трудностями, связанными с нелинейной неустойчивостью уравнения для давления (Азиз [1966], Азиз и Хеллумс [1967]), которую можпо устранить, сохраняя член дО/д1 в уравнении (3.581а) или в уравнении (3.584). Заметим, что в случае прилипания скорость в угловой точке при обтекании выпуклого угла будет однозначна. Условие скольжения можно ставить вдоль верхней границы или вдоль стенок со скольжением. Для параллельной оси л стенки со скольжением Ош=0 и (вероятно) ди/ду тю = Для узла, принадлежащего стенке, из последнего условия (в случае пространственных разностей со вторым порядком точности) получаем = Нш+ь В вершине выпуклого угла при условии скольжения значение скорости будет многозначным. [c.297]

Решение разностных уравнений. Естественным методом решения разностных уравнений является прогонка, которая дпя хорошо обусловленной системы является устойчивой. Ввиду того что l<7i I < 1, а 1<7г1 > О, на каждом конце рассматриваемого интервала [xq, x j] должны быть сформулированы граничные условия. Эти условия являются обычными условиями для трехточечпых неявных схем и определяются спецификой [c.25]

Конечно-разностное представление Дюфорта — Франкела, рассмотренное для диффузионных членов, можно использовать II в сочетании с другими трехслойными схемами для конвективных членов, но при этом каждый раз необходимо исследовать устойчивость полного уравнения. Единственной другой одношаговой явной абсолютно устойчивой схемой для уравнения диффузии является одна из схем Саульева (Саульев [1964], Рихтмайер и Мортон [1967], Карнахан и др. [1969] см. также разд. 3.1.17). Как показывает неопубликованное исследование автора, этот подход оказался неприменимым к полному уравнению, включающему конвективный и диффузионный члены. При применении любой из этих схем к конвективным членам для любого числа Куранта С > О получается то же ограничение на щаг по времени, которое определяется диффузионным членом для простой схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной. Кроме того, схема Саульева в действительности оказывается неявной по граничным условиям, которые требуют особого рассмотрения при гидродинамических расчетах. [c.99]

Однако применение явных схем метода чередующихся направлений для решения задач гидродинамики ограничено по двум причинам. Во-первых, хотя для внутренних точек конечно-разностная схема (3.316) является явной, в целом эта схема фактически будет неявной из-за граничных условий. При первом направлении обхода по схеме (3.316а) должно быть известно значение с (д+1)-го временного слоя при втором направлении обхода по схеме (3.3166) должно быть известно значение где / = maxi. Это обстоятельство не вызывает осложнений в случае задач теплопроводности, где температуры или градиенты температуры на границах, как правило, известны для всех моментов времени. Но значения вихря на стенке не известны и, как уже было отмечено при обсуждении неявных схем метода чередующихся направлений, это вызывает затруднения. Во-вторых (и это гораздо важнее), если данная схема комбинируется с другими схемами и в ней для конвективных членов используются какие-либо варианты аппроксимации из схемы с разностями против потока, схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, схемы чехарда и явной схемы метода чередующихся направлений, то полученная комбинированная схема либо оказывается безусловно неустойчивой, либо для нее опять появляются ограничения вида 1 и /г ), характерные для явных схем. Единственной сравнительно успешной комбинацией является комбинация схемы, в которой по обоим чередующимся направлениям обхода точек используются разности против потока для конвективных членов и явной схемы метода чередующихся направлений с осреднением для диффузионных членов (см. Ларкин [1964]) [c.148]

И легко обобщается на случай трех пространственных переменных. Однако при расчетах уравнения переноса вихря эта схема, как и явные и неявные схемы метода чередующихся направлений, встречается с трудностью, связанной с неявностью граничных условий. Гурли [1970а, 19706] обнаружил тесную связь между схемой классики , неявной схемой метода чередующихся направлений и схемой Дюфорта — Франкела. [c.154]

Если не требуется находить нестационарное решение для давления, то в (т ), )-системе приходится решать одно уравнение переноса вихря параболического типа и одно уравнение для функции тока эллиптического типа V ф = с условиями Дирихле на некоторых (возможно, на всех) границах. (Стационарное решение эллиптического уравнения для давления находится только на последнем слое по времени, и поэтому выбор метода решения этого уравнения не имеет особого значения.) В (и, у, Р)-системе надо решать два уравнения переноса количества движения, имеющих параболический тип, и одно уравнение эллиптического типа для давления V P = 8р с граничными условиями Неймана на всех границах. При решении уравнения переноса вихря необходимо дополнительно выполнить две операции дифференцирования функции тока 1 ) для нахождения составляющих скорости, но уравнения переноса количества движения усложняются из-за членов с дивергенцией О/, / (в методе МАС эти члены значительно сложнее) и из-за специальных приемов, которые здесь требуются для обеспечения сохранения массы (объема). Решать уравнение переноса вихря можно по неявным схемам, хотя при этом может потребоваться дополнительный итерационный процесс для неявного вычисления значений на стенках ири условии прилипания. В случае же (и, у, Р)-системы значения и у"+ известны точно в течение всего времени, но здесь существует трудность, связанная с неустойчивостью из-за нелинейности (см. разд. 3.7.2). Достижение итерационной сходимости при решении уравнения У Р = 8р эллиптического типа требует значительно больше времени. [c.306]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...