Цепочка уравнений для кинетических

Цепочка уравнений Боголюбова (6.10) для неравновесных функций распределения лежит в основе статистической теории неравновесных процессов. Найдем частное решение этой цепочки уравнений для кинетической стадии эволюции неравновесной системы, определяемой кинетическим уравнением вида (6.12) [c.108]

Центральная предельная теорема 146 Цепочка уравнений для кинетических функций распределения 2 9, 400 ---равновесных функций распределения 405 [c.447]

Обычные макроскопические динамические величины принадлежат к аддитивному и бинарному видам. Например, полный импульс, кинетическая энергия являются аддитивными величинами, а энергия взаимодействия является динамической величиной бинарного вида. Следовательно, для практических целей вполне достаточно находить простейшие статистические операторы Р1(1), р2(1, 2), а иногда также несколько операторов более высокого порядка. Поэтому, естественно возникает необходимость определения цепочки уравнений для частичных операторов рь Р2,. .. без предварительного нахождения полного оператора р и явного вычисления его шпуров (6.15). [c.104]

Прежде чем приступить к основной теме, остановимся кратко на обозначениях. Ранее одночастичная функция распределения Д(г,р, ) вводилась как функция радиуса-вектора г и импульса р частицы. Такое удобно при выводе цепочки уравнений для приведенных функций распределения из уравнения Лиувилля. Однако в кинетической теории чаще пользуются одночастичной функцией распределения / (г, v, ), которая зависит от скорости частицы. Для более наглядного сравнения излагаемого здесь подхода с традиционными методами построения нормальных решений кинетических уравнений мы будем исходить из уравнения Больцмана, записанного для функции /(r,v, ). Нетрудно установить связь между этой функцией и Д(г,р, ). Вводя условие нормировки [c.234]

Как уже отмечалось, квантовые кинетические уравнения можно вывести из цепочки уравнений для 5-частичных матриц плотности, которые аналогичны 5-частичным функциям распределения в классических системах. Здесь мы займемся построением этой цепочки уравнений, исходя из квантового уравнения Лиувилля для неравновесного статистического оператора. Мы также приведем примеры, иллюстрирующие возможности метода группового разложения в квантовой кинетической теории. [c.266]

Как видно из (4.2.13), если мы хотим получить замкнутое кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности, мы должны выразить двухчастичную матрицу плотности через g t). Уравнение движения (4.2.14) для g t) содержит трехчастичную матрицу плотности, которую надо найти из следующего уравнения цепочки, и т. д. Как и в классической теории, цепочку уравнений для приведенных матриц плотности нужно где-то оборвать или решать с помощью частичного суммирования. В следующих разделах мы приведем примеры, в которых квантовая цепочка может быть оборвана на основе метода групповых разложений. [c.268]

В заключении напомним, что кинетическое уравнение (4.2.99) было выведено в первом приближении по параметру где Гд — радиус взаимодействия между электроном и примесным атомом. Решая шаг за шагом цепочку уравнений для матриц плотности (Ri,R2,. .., R ), можно последовательно учесть процессы столкновения электрона с группой из двух, трех и т. д. примесных атомов. Как и в классической кинетической теории, некоторые последовательности коррелированных столкновений могут дать расходящийся вклад. Поэтому для правильного описания эффектов затухания на средней длине свободного пробега необходимо выполнить частичное суммирование групповых разложений. Мы не будем, однако, обсуждать эту специальную проблему. [c.282]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Речь пойдет о начальном этапе эволюции системы из некоторого, вообще говоря, неравновесного состояния, описываемого статистическим оператором ( о) Хотя эта задача имеет долгую историю (см., например, [21, 55, 56, 80, 81, 114, 153, 168]), интерес к ней значительно возрос в последнее время в связи с экспериментальными и теоретическими исследованиями быстрых релаксационных процессов в полупроводниках [83, 149] и столкновений тяжелых ядер [56, 75, 105, 106]. Кинетическое уравнение с учетом начальных корреляций в низшем порядке теории возмущений было выведено в работах [110, 114] из цепочки уравнений для приведенных матриц плотности. Более общее квантовое кинетическое уравнение с начальными корреляциями было выведено методом функций Грина в работе [133], которой мы и будем, в основном, следовать. [c.62]

Цепочка уравнений для многочастичных матриц плотности. Квантовое кинетическое уравнение с самосогласованным полем [c.211]

ДЛЯ всевозможных моментов дает аналитическую формулировку проблемы турбулентности. Но эта система уравнений оказывается весьма сложной любая конечная подсистема этой системы уравнений всегда незамкнута, т. е. содержит больше неизвестных, чем имеется уравнений в данной подсистеме (невозможность получить замкнутую систему уравнений для конечного числа моментов является прямым следствием н е л и-ней ности уравнений гидродинамики). Таким образом, при использовании метода Фридмана — Келлера в применении к конечному числу моментов возникает проблема замыкания уравнений для моментов, во многом аналогичная проблеме замыкания цепочки уравнений для многочастичных функций распределения в кинетической теории газов. [c.18]

В ряде случаев (например, при выводе кинетических уравнений см. 6) удобен иной, более явный, способ описания временной эволюции. Он особенно популярен в физической литературе. Этот способ основан на рассмотрении иерархической цепочки уравнений для моментных функций (см. п. 2.7) [c.255]

Находится частное решение этой цепочки для кинетической стадии эволюции системы, определяемой уравнением вида [c.135]

Отсюда сразу видно, что проблема определения некинетической части корреляционных форм значительно сложнее соответствующей задачи для кинетической части. Действительно, корреляционные формы различных типов зацепляются [например, dip x x зависит от ( 1 2 I з)1> поэтому невозможно избежать появления бесконечной цепочки уравнений. Вместе с тем здесь отсутствует [c.235]

Кинетическое уравнение Больцмана. В качестве простого применения цепочки уравнений (3.1.16) рассмотрим вывод кинетического уравнения Больцмана для разреженного газа. В этом случае безразмерный параметр плотности п = пгц предполагается настолько малым, чтобы можно было оборвать цепочку, используя некоторое приближение по этому параметру. [c.168]

Заканчивая обсуждение модифицированного уравнения Энскога, нам хотелось бы отметить два важных момента. Во-первых, это уравнение соответствует очень грубому приближению в цепочке (3.3.58), поскольку трехчастичная функция распределения никак не учитывалась в уравнении для Д. Это обстоятельство подсказывает возможность улучшения теории Энскога с помощью той или иной аппроксимации трехчастичной функции распределения. Во-вторых, кинетическое уравнение (3.3.66) применимо к системам с непрерывным потенциалом взаимодействия. Это позволяет обобщить теорию Энскога на подобные системы ). Правда, для систем с непрерывным потенциалом взаимодействия G2(ri,T2, ) зависит от параметра /5(г, ) и, следовательно, одновременно с кинетическим уравнением для одночастичной функции распределения необходимо рассматривать уравнение баланса энергии. [c.215]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

С точки зрения статистической механики теория турбулентности имеет некоторое сходство с кинетической теорией. В частности, цепочка уравнений Рейнольдса для усредненной скорости движения и корреляционных функций пульсаций скорости мо- [c.281]

Такая цепочка уравнений часто называется цепочкой уравнений Боголюбова. На первый взгляд переход от уравнения Лиувилля к такой цепочке уравнений не приводит к упрощению задачи. Однако в действительности анализ цепочки уравнений Боголюбова может быть проведен проще, чем непосредственное решение уравнения Лиувилля. Это, в частности, связано с тем, что в рассматриваемой нами цепочке уравнений видно, что нужно знать для получения кинетических уравнений. Кроме того, на языке многочастичных функций легче выявлять малость входящих в цепочку уравнений величин. [c.188]

Красота этой формулы в том, что N есть просто обш ее число цепочек, т. е. удвоенное число пересечений в единице объема веш е-ства. Оно не зависит ни от распределения длин цепочек, ни от химической структуры и геометрической формы молекулярных сегментов, составляюш их эти цепочки. Упругое напряжение растянутой резины выведено из классического выражения для кинетической энергии поперечного броуновского движения молекулярных цепочек, поэтому не случайно сходство формулы (7.54) с известным уравнением состояния идеального газа, выведенного из кинетической теории. [c.312]

Цепочка уравнений Боголюбова для кинетических функций распределения [c.298]

СВОЙСТВО факторизации коррелщионных форм, которое позволило нам свести цепочки уравнений для кинетической части к отдельным нелинейным уравнениям. Достаточно одного простого примера, чтобы пояснить это читателю ). Корреляционная форма разлагается следующим образом [c.236]

Конечно, мы чисто интуитивно полагаем, что предельное при t +оо решение, следующее из уравнения Больцмана, соответствует описанию термодинамически равновесного состояния системы. В задаче 32 показано, что цепочка уравнений для кинетических функций распределения в стационарном случае dFJdt = О содержит в себе цепочку уравнений для равновесных функций F,, О построенных на основе распределения Гиббса, т. е. Рис. 200. Характер эволюции равновесные функции F, удовлетворяют цепочке Pf-функции Больцмана [c.323]

Итак, мы видели, что для учета эффектов обрезания траекторий частиц на длине свободного пробега необходимо просуммировать бесконечную последовательность членов в цепочке уравнений для приведенных функций распределения. Типичный подход к решению подобных проблем состоит в применении диаграммной техники , дающей графическое представление рассматриваемых величин и позволяющей сформулировать простые правила, с помощью которых может быть выписан любой член теории возмущений. В классической кинетической теории диаграммная техника такого рода была впервые разработана Балеску [56, 57]. В настоящем разделе будет рассмотрен ее вариант [26], который позволяет в удобной форме учесть граничные условия для приведенных функций распределения. Будут сформулированы правила построения диаграмм для приведенных функций распределения и интеграла столкновений в любом порядке теории возмущений по плотности. Кроме того, мы рассмотрим несколько простых примеров вывода кинетических уравнений с помощью диаграммного метода. [c.181]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

С пол ощью уравнения Лиувилля мояшо понять, что необходимо знать для получения ураппения, которому подчиняется одночастичная функция распределения. Болес того, изучая следствия, вытекающие из уравнения Лиувилля, можно найти путь для построения его приближенных решений, дающих, в частности, кинетические уравнения. Такой путь открывается при рассмотрении цепочки уравнений для многочастичпых функций распределения, получаемой с помощью уравнения Лиувилля. [c.186]

В монографии [1] выписана и исследована цепочка уравнений, описывающих изменение во времени моментных функций вероятностной меры, эволюционирующей в ходе движения взаимодействующих частиц. На основания глубоких общих соображений развит новый метод вывода кинетических уравнений (Больцмана, Власова и Ландау) из цепочки уравнений для моментных функций. Впервые сформулирован ряд фундаментальных фактов, характеризующих процесс сходимости к равновесному состоянию. В работе [2] представлен первый в литературе вывод гидродинамических уравнений (уравнений Эйлера для сжимаемой идеальной жидкости) из цепочки уравнений для моментных функций, Иден книги [1] и статьи [2] составили основу современных представлений о связи кинетических уравнений с уравнениями, описывающими движение большой системы частиц. [c.279]

При изучении динамики больших систем естественно исходить из полученного в разд. 3.4 уравнения Лиувилля для частичных функций распределения. Однако эта форма уравнения Лиувилля пока еще не была достаточно подробно рассмотрена. Из качественного анализа, проведенного в разд. 11.5, ясно, что центральное место в теории должно занимать понятие корреляций, а не функций распределения. Мы видели, например, что двухчастичная корреляционная функция не входит явно в уравнение Больцмана, несмотря на то, что она играет существенную роль в точной цепочке уравнений ББГКИ. Следовательно, для последовательного вывода уравнения Больцмана (и других кинетических уравнений) из точных уравнений движения необходимо разработать формализм, в котором быля бы явно представлены различные корреляционные формы. [c.123]

В этом параграфе мы обсудим некоторые вопросы, связанные с выводом кинетических уравнений для неидеальных газов с сильным межчастичным взаимодействием. Сначала мы рассмотрим немарковские поправки к интегралу столкновений Больцмана и вклад трехчастичных столкновений. Затем будет показано, как методом частичного суммирования диаграмм можно получить сходящийся интеграл столкновений для умеренно плотных газов. Последние два раздела посвящены многочастичным корреляциям в плотных газах, которые учитываются путем введения новых граничных условий для цепочки ББГКИ. [c.197]

Цепочка уравнений (3.3.58) может служить основой для построения кинетической теории плотных газов. Следует, однако, напомнить, что функции Gs зависят от параметра /5(г, ), который, в свою очередь, зависит от среднего значения энергии взаимодействия или, что то же самое, — от среднего значения плотности энергии Н г)У. Поэтому в общем случае для самосогласованности всего подхода необходимо рассматривать уравнение баланса для средней энергии (Я(г)) совместно с цепочкой (3.3.58). Иначе говоря, кинетические процессы в плотных газах должны рассматриваться одновременно с гидродинамическими процессами. [c.212]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

Из (2.132) мы можем получить бесконечную цепочку марковских кинетических уравнений для средних значений коллективных атомных операторов вида Яаа), (Р /з). Ра(зРа (3 ) и т.д. Для замыкания цепочки уравнений можно использовать стандартные расцепления трёхчастичных корреляторов [c.99]

Наиболее полное развитие получил метод Боголюбова, основанный на построении иерархической цепочки зацепляющихся уравнений для функции распределения, следующий из уравнения Лиувилля [101, 102, 2, 3, 6, Ц]. Этот метод, известный под названием метода Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона (ББГКИ), заканчивается выводом кинетического уравнения больцмановского тина. Используемый в нем принцип ослабления корреляций заключается, грубо говоря, в том, что частицы, находящиеся достаточно далеко друг от друга, должны совершать нескоррелированные движения. Этот метод не будет рассматриваться далее, однако на одном из вопросов полезно остановиться. [c.105]

Приведенные рассуждения показывают, что анализ перемешивапия приводит к принципиальной возможности освободиться от гипотезы об ослаблении корреляций при выводе цепочки уравнений ББГКИ. Однако эта возможность до сих пор не реализована. Положение несколько осложняется существованием еще двух групп частиц с динамикой, отличной от описанной. Первая из них включает частицы, испытывающие сильное рассеяние. Их доля мала н имеет порядок Для таких частиц Тс to. Вторая группа частиц имеет траектории, близкие к периодическим (траектория о на рис. 6.1). Эти частицы будем называть захваченными. В течение достаточно длительного времени траектории захваченных частиц не перемешиваются. Доля захваченных частиц имеет порядок Н/1, и их кинетическое описание должно иметь совершенно пной характер, чем описание нормальных частиц. [c.107]

Результаты, полученные в задачах 31, 32, можно подытожить с несколько иной точки зрения мы показали, что уравнения цепочки Боголюбова для функций Р, (как и вытекающие из них кинетические уравнения) содержат решения, которые в каждый момент времени соответствуют чисто механическому состоянию всех частиц системы, и в то же время их решениями являются функции распределения Р,, соответствующие равновесной статистической механике Шббса, описывающей предельное смешанное состояние равновесной статистической системы. > [c.405]

Эти цепочки уравнений легко сворачиваются и получается искомое кинетическое уравнение Колмогорова — Феллера для рассматриваемой динамической системы (6.33) [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...