Предельный статистический переход

Первое начало термодинамики 41, 48 Перегретая жидкость и перенасыщенный пар ИЗ, 117 Планковские единицы 84 Политропические процессы 162 Потенциал термодинамический fi 69 Предельный статистический переход 26 [c.237]

Потенциал термодинамический Q — 88, 321 Предельный статистический переход — 34 [c.798]

ЧТО все варианты от а до у и далее совершенно эквивалентны, что соответствующий этим вариантам выбор способа описания системы (который мы делаем по собственному усмотрению) не влияет на ее макроскопические характеристики или какие-либо макроскопические свойства. Этот вопрос, по существу, нами уже обсужден в предыдущем параграфе (см. п. 3), где мы установили принцип термодинамической аддитивности и сформулировали процедуру статистического предельного перехода расхождение в результатах, обусловленное различным устройством границ системы, оказывается в относительном выражении порядка Л/ - / по сравнению с единицей, предельная статистическая процедура же вообще делает их неразличимыми. И это верно не только для стенок предложенных нами условных моделей, но и любых других, включая вполне физические (рис. 12), важно только то, что они выделяют равновесную термодинамическую систему (для неравновесных систем с потоками и т. д. безразличие системы к граничным условиям, естественно, уже не имеет места). [c.38]

Доказанная выше теорема интересна скорее в идейном отношении, так как в ряде случаев помогает понять некоторые особенности статистического аппарата. Так, например, с точки зрения статистической суммы не вполне ясно, каким образом могут возникнуть (и вообще возникают ли) нарушения гладкости функции 2=2(9) (разрывы или особенности производных 2 по 0 необходимы для объяснения, например, фазовых переходов первого и второго родов, критических явлений и т. п.), так как каждое слагаемое в ней —гладкая функция температуры ехр — /0 , Единственное, что остается предположить, состоит в том, что такие нарушения могут возникнуть только после совершения предельной статистической процедуры (совершенно так же, как, например, разрывная периодическая функция определяется только всей совокупностью членов разложения в ряд Фурье, каждый из которых непрерывен). Если же подходить к определению 2 с точки зрения доказанной выше теоремы, то проблема возникновения возможных нарушений гладкости функции не возникает вообще эти нарушения могут существовать уже в допредельном по N выражении [c.394]

В статистической физике рассматриваются системы из большого числа частиц, поэтому возникает задача нахождения асимптотических выражений для при Л оо. Такой предельный переход может быть совершен различными способами в зависимости от того, какие физические свойства системы необходимо исследовать. Имея в виду исследование объемных свойств и желая исключить влияние поверхности, перейдем к термодинамическому пределу, полагая, что, когда УУ-уоо, граничная поверхность уходит на бесконечность, объем V неограниченно увеличивается, а плотность [c.99]

Заметим, что во многих формулах настоящей главы используется так называемая е-процедура, в частности, связанная с появлением во временных интегралах экспоненты (или в частотных интегралах (а) /е) ) и с предельным переходом е->0+, т. е. й>0 И е->0. Важно иметь в виду, что для получения правильных результатов при вычислении кинетических коэффициентов необходимо соблюдать определенный порядок при переходе к пределу. Именно, следует сначала совершить статистический предельный переход У- оо, М- оо, V N=v и лишь затем устремить е к нулю.. [c.178]

Как и в равновесной теории, при описании необратимых неравновесных процессов (в частности, приближение статистической системы к состоянию равновесия) важную, принципиальную роль играет статистический предельный переход У->оо, М- оо. [c.179]

С развитием статистической физики все яснее становится представление о том, что для статистического поведения системы важную и, по-видимому, определяющую роль играет фактор наличия большого числа частиц в системе. В монографии Н. Н. Боголюбова Динамические проблемы статистической физики [14] были показаны пути строго математического обоснования предельного перехода в статистической физике при использовании канонического ансамбля Гиббса. Значительно позже Рюэль [16] предложил аналогичный подход к исследованию уравнений [c.212]

Переход к новому типу каузальной связи, который условно можно было бы назвать <(Квантовым и который характерен для квантовой (нерелятивистской и релятивистской) механики, где уже классические величины заменяются операторами, где вероятность состояния индивидуальной частицы и индивидуального акта взаимодействия имеет, как известно, совсем иной смысл, чем вероятность состояния ансамбля в классической статистической механике, приводит к тому, что положение и роль принципа Гамильтона оказываются в квантовой механике совершенно иными, чем в классической физике. Важная историческая роль, сыгранная принципом и оптико-механической аналогией в начальной стадии формирования волновой механики, объясняется не только тем, что существует реальная связь и предельный переход от механики атома к классической физике, но также и тем, что существуют общие черты в типах каузальной связи макро- и микрокосмоса. Но именно потому, что для энергии и времени, так же как для импульса и соответствующей координаты, в квантовой механике имеют место перестановочные соотношения, а сами они являются уже операторами, классический интеграл Гамильтона (и принцип наименьшего действия) имеет в ней не- [c.873]

Феноменологический и физический пути построения критериев. Описанный выше подход к построению критерия для оценки границы перехода материала в предельное состояние имеет чисто феноменологический характер, никак не связанный с дискретностью строения материи поэтому и сами критерии имеют чисто феноменологический характер. В отличие от феноменологического, мыслим и физический подход к решению проблемы. Однако даже в случае линейного напряженного состояния или чистого сдвига теоретически находить характеристики, определяющие переход материала в предельное состояние, удается лишь для монокристаллов идеальной структуры. В случае же наличия многообразных дефектов структуры монокристалла, а тем более в случае поликристаллического тела (металла), проблема до сих пор не разрешена надежно даже для отмеченных выше элементарных однородных напряженных состояний. В настоящее время предпринимаются многочисленные попытки в направлении построения физических теорий с использованием методов математической статистики и теории вероятностей, к сожалению, пока далекие от возможности непосредственного широкого их использования в практических расчетах. Больше других удалось исследовать вопросы хрупкого разрушения, в том числе рассмотреть масштабный фактор и изменчивость прочности, а также явление усталости. Однако будущее принадлежит именно статистическим теориям, описывающим физику явления с единых позиций. [c.539]

Значительные объемы экспериментальных исследований по оценке влияния на характеристики трещиностойкости различных эксплуатационных и технологических факторов, переход к аттестации материалов по характеристикам трещиностойкости, расширение области их применения в расчетах и при выборе материалов привели к необходимости создания специализированных баз данных [33-34]. Накопление и систематизация экспериментальной информации имеют важное самостоятельное значение (оценка статистических параметров и законов распределения, установление верхних и нижних предельных значений и корреляционных соотношений, функциональное описание зависимости характеристик от анализируемого фактора, оптимизация технологических процессов, состава и структуры материалов и т.д.) и являются обязательной составной частью автоматизированных систем расчета конструкций на прочность, ресурс и живучесть. [c.22]

Во-вторых, необходимо определить вероятность перехода конструкции в предельное состояние, причем здесь нужно учитывать статистический характер как механических характеристик материалов, так и характер и изменчивость нагрузок. [c.175]

Вообще говоря, классическая статистика должна следовать из квантовой статистики как ее предельный случай точно так же, как классическая механика должна следовать из квантовой механики. Поскольку квантовая механика уже содержит понятие статистического ансамбля, язык теории вероятностей является совершенно естественным при описании квантовых систем. Таким образом, переходя в квантовой статистике [c.27]

Проблема предельного перехода при вычислении марковских времен релаксации из кинетических коэффициентов вида (5.3.63) возникает во многих задачах неравновесной статистической механики. Первым ее обнаружил Кирквуд [103] при выводе соотношения между коэффициентом трения броуновской частицы и корреляционной функцией сил, действующих на нее со стороны частиц среды ). Эта проблема известна также как проблема плато . Чтобы пояснить смысл этого названия, рассмотрим подробнее свойства функции Л ( ), для которой образ Лапласа имеет вид (5.3.64). Поскольку функция Tp z) существенно зависит от 2 только при > где Тс — [c.385]

Отметим, что в уравнении (6.3.34) выполнен предельный переход Iq —оо. В стандартной технике временных функций Грина, которую мы пока излагаем, это делается для того, чтобы обойти проблему выбора начального распределения ( о) Аргументы при этом сводятся к следующему. Поскольку все начальные корреляции затухают со временем, конкретная форма начального распределения становится несущественной, если 0 —00, и для вычисления средних можно взять любой подходящий статистический оператор, например, описывающий идеальный газ. Мы вернемся к этому предположению в разделе 6.3.6. Там мы покажем, что оно не всегда справедливо ). [c.47]

Фактически это выражение определяет смысл предельного перехода tQ —оо в статистических операторах типа (6.3.99). Таким образом, согласно соотношению (6.3.100), предельные значения временных гриновских функций даются формулой [c.61]

Интересно сравнить его с формулой (6.3.11) в стандартном методе функций Грина. Следует напомнить, что величины в обеих частях формулы (6.3.11) зависят от статистического оператора ( о) Чтобы исключить эту зависимость, нужно выполнить предельный переход смысл которого требует дополнительного определения. Фактически соотношение (6.3.110) и служит таким определением. [c.62]

Альтернативой концепции предельного состояния является кинетический подход, согласно которому разрушение твердого тела представляет собой процесс, развивающийся по мере увеличения нагрузки или с тече-, нием времени. Наиболее последовательно кинетические представления используются в рамках термоактивационной концепции прочности [46-49]. Согласно термоактивационной концепции в нагруженном теле с течением времени происходит накопление повреждений в виде пор или микротрещин. Переход к окончательному разрушению материала связан с их определенной концентрацией [83—85]. Кинетика накопления повреждений учитывается и некоторыми феноменологическими теориями ползучести [114, 155], длительной прочности [64] и усталости материалов [116], а также в статистических моделях разрушения структурно-неоднородных материалов [180-183]. [c.14]

Первый тип усреднения, фигурирующий в любом основанном на статистических представлениях исследовании по механике, представляет собой, как подсказывают проведенные выше рассуждения, усреднение по неизвестным начальным данным. Однако для учета взаимодействия частиц в статистическом методе обычно требуются и другие процессы усреднения и предельные переходы. Сюда входит и взаимодействие молекул газа с жесткими стенками, ограничивающими область течения и также состоящими из молекул. [c.11]

Следовательно, предельный переход при Л ->оо дает нам возможность описать приближение к равновесию. Однако, если мы рассмотрим конечный объем V и допустим, что число молекул оо, то, если не потребовать одновременно а—>О, собственный объем молекул ( N0 ) будет стремиться к бесконечности, что абсурдно Мо <сУ). Поэтому статистическая механика по суш еству имеет дело с предельным переходом А ->оо, а- 0. Правда, возможны и другие варианты. Например, можно рассматривать газ, для которого в пределе Л а ->Ь>0, или газ, для которого Л а >0 поскольку Ыо с точностью до тривиальных численных множителей совпадает с собственным объемом молекул, Ыо - О означает, что молекулы занимают пренебрежимо малую часть доступного объема. В этом случае мы говорим, что газ совершенный (идеальный). [c.55]

На границе hg компонента напряжения терпит разрыв. Разрыв компоненты напряжения г статистически допустим, так как контактирующие напряжения Ту при переходе через hg непрерывны. Появление разрыва обусловлено принятой предельной схемой. Обозначим длину области идеальной пластичности вдоль свободного контура е/ через gf = а, тогда из (2.7) будем иметь [c.325]

Свойство а) обеспечивается тем точнее, чем больше термостат, т. е. его модель реализуется лиШь как предельная в случае. Л /.Ж оо (при этом. Ж 10 > 1). Этот дополнительный предельный переход вызван к жизни вследствие нашего желания использовать удобную модель термостата, а по своему существу является дарвин-фаулеровским (см. задачи 3),. Необходимо только четко соблюдать очередность предельных процедур сначала. Л-у/Ж —> оо при большом, но фиксированном. /К, а уже затем предельный статистический переход. Ж оо, v = onst. [c.88]

Теперь мы можем сопоставить величину А с дифференциально малым приращением энергии фигурирующим в макроскопической теории гл. I. Как мы видели, в термодинамные дифференциальные величины, несмотря на то что они обозначаются с помощью символа ё, выражая определенное, хотя и относительно очень малое, изменение этой величины, не подвержены статистической предельной процедуре все соотношения равновесной (квазистатической) термодинамики, как мы видели в гл. I, пишутся для случаев, когда предельный статистический переход [c.286]

В предельном статистическом случае JV —> оо, г = L /N - onst для АЕп получаем характерную асимптотическую зависимость (мы опус1Или все множители, не меняющиеся при предельном переходе) [c.29]

Переходя от интефирования по (ri, гг) к интефалам по переменным R = Г -Г2 и Г2 (якобиан такого преобразования равен единице) и учитывая, что интегрирование по переменной Г2, ограниченное областью V, дает величину объема V (так как подынтегральное выражение зависит только от R), получаем для удельной внутренней энергии в предельном статистическом случае N — оо, v = onst [c.302]

В предельном статистическом случае Л ->оо, v=L /N= onst для АЕп получаем характерную зависимость (мы опустили все множители, не меняюш,иеся при предельном переходе) [c.285]

Современное состояние вопроса общего математического описания дисперсных систем нельзя признать до-статочло удовлетворительным, несмотря на растущий интерес к этой проблеме. Каж травило, в работах, шо-священных этому вопросу, фактически используется феноменологический подход к исследованию дисперсного потока в целом. Идея условного континуума п03(В0Ляет полностью использовать математический аппарат механики сплошных сред, но несет с собой погрешности физического порядка тем более существенные, чем значительней макроднскретность системы. Системы таких уравнений, полученные рядом авторов как общие, все же не охватывают класс дисперсных потоков во всем диапазоне концентраций (вплоть до плотного движущегося слоя). Они не учитывают качественного изменения структуры потока и в связи с этим изменения закономерностей распределения частиц, появления новых сил (например, сухого трения), изменения с ростом концентрации (до предельно большой величины) условий однозначности и пр. В основном большинство работ посвящено турбулентному течению без ограничений по концентрациям, хотя при определенных значениях р наступает переход к флюидному транспорту, а затем — плотному слою. Сама теория турбулентности применительно к дисперсным потокам находится по существу в стадии становления (гл. 3). Наиболее перспективные методы — статистические (вероятностные) применяются мало, по-видимому, в силу недостаточной изученности временной и пространственной структур дисперсных систем Общим недостатком предложенных систем уравнений является их незамкнутость, которая объясняется отсутствием конкретных данных о тензорах напряжений и [c.32]

Это связано с тем, что никаким способом нельзя получить дальнейшего расщепления этих компонентов, а также с тем. что при равных условиях они появляются с равной вероятностью. Поэтому каждому из компонентов терма в магнитном поле должен быть приписан равный статистический вес. Если теперь осуш,ествить предельный переход, Я—>-0, то все 2F -Ь 1 компонента терма сольются в один нерасщепившийся терм, который в отсутствие поля будет иметь статистический вес, равный 2F + . [c.68]

Предельный переход в статистической физике — 212 Принципы вариационные термодинамики необратимых процессов — 16 Принцип Кюри — 14 Принцип Ле-Шателье — 21 Принцип Пригожияа о минимуме производства энтропии — 19 Проблема Больцмана — 125 [c.240]

Соотношение между грактнчески предельными погрешностями измере)шя и заданным полем допуска (или практически предельными погрешностями изготовления) обычно рекомендуется иметь порядка от 1 10 до 1 5 Для целей статистического анализа необходимо его иметь не менее 1 10, а по возможности и меньше (до 1 20). С другой стороны, всегда следует иметь в виду, что выбор излишне точных измерительных средств может привести к снижению производительности контрольных операций и к их удорожанию, в частности, если переход на более точные средства сопровождается передачей работы более квалифицированным контролёрам. [c.614]

Следует предостеречь читателя от проведения слишком прямой аналогии с задачей теплопроводности, рассмотренной в разд. 3.2. Время Пуанкаре не совпадает с большим временем фигурировавшем в этой задаче. Уравнение теплопроводности (3.2.4) — это не механическое уравнение. Однако его можно вывести методами неравновесной статистической механики как уравнение, справедливое в термодшамическом пределе, т. е. на временах, значительно меньших времени Пз нкаре Гр. (Эта задача рассматривается в части III данной книги.) Чтобы сформулировать задачу теплопроводности на используемом здесь языке, рассмотрим очень большую систему длиной 2Л. Внутри ее возьмем подсистему длиной 2L, причем i < Л это будет полная система, описанная в разд. 3.2 (см. фиг. 3.2.2). Малая система длиной 21, I L является подсистемой в подсистеме. В конечном счете нас интересует эволюция малой системы. Поэтому полагаем А-> оо, сохраняя Lul постояннБши. В этом пределе уравнение теплопроводности представляет собой правильный способ описания. Затем полагаем L оо (порядок пределов соответствует ограничению A/L оо) и получаем решение, показанное на фиг. 3.2.3. Мы еще не один раз встретимся с такими последовательными предельными переходами. [c.93]

Заканчивая нашу книгу, мы не желали бы, чтобы у читателя создалось впечатление, что статистическая механика в ее современной форме представляет собой нечто вполне завершенное и что каждая ее концепция достаточно хорошо определена и вполне понята. Мы (к счастью ) все еще весьма далеки от столь идеального положения вещей. Читатель, несомненно, заметил множество явных натяжек в различных местах нашего изложения. Однако каждый такой пункт открывает новую область исследований. Вместе с тем детального исследования ждет и огромное число задач, касаюшдхся применений уже развитой общей теории к конкретным системам. С другой стороны, большую работу должны проделать и математики, чтобы внести математическую строгость в формулировки понятий статистической механики. Между этими двумя предельными случаями остается множество еще ждущих своего решения интересных и трудных задач, которые пока еще даже недостаточно ясно поставлены. Интенсивная работа над этими вопросами продолжается уже длительное время удалось достичь известного прогресса, однако окончательное решение еще не найдено. Из множества такого типа задач можно упомянуть следующие. Какова истинная природа и источник появления сингулярностей, связанных с фазовыми переходами и вообще с критическими явлениями Можно ли сформулировать точные условия для гамильтониана, которые позволяли бы судить [c.352]

В ответ на последнее возражение заметим, что для получения огрубленных средних значений динамических переменных нужно совершить два предельных перехода обычный термодинамический предельный переход V оо N/V = onst) и предельный переход АГ 0. Нет оснований полагать, что результат не будет зависеть от порядка, в котором совершаются эти предельные переходы. Огрубление функций распределения имеет смысл, если сначала вычисляется предел К оо, а уже затем АГ О, причем сходимость не является равномерной. Интересно, что Гиббс [13], проводя аналогию между стремлением классического статистического ансамбля к равновесию и перемешиванием в несжимаемой жидкости, вводил, по существу, процедуру огрубления фазовой функции распределения и отмечал отсутствие равномерной сходимости. [c.49]

С физической точки зрения введение бесконечно малого источника в уравнение Лиувилля означает нарушение полной изоляции системы. Иначе говоря, источник, отбирающий запаздывающие решения этого уравнения, учитывает идеализированным образом взаимодействие системы с окружением ). Совершая сначала предельный переход V 00 N/V = onst), а затем г +0, мы находим решение уравнения Лиувилля, которое описывает необратимые процессы в областях, расположенных вдали от границ системы. В таком подходе реальное взаимодействие с окружением учитывается с помощью граничных условий для наблюдаемых величин. Однако в ряде случаев взаимодействие между рассматриваемой системой и другими системами невозможно учесть только с помощью граничных условий по времени, если детали самого взаимодействия важны для описания процесса ). Тогда выделенную систему и ее окружение следует рассматривать как части одной, почти изолированной, системы. Неравновесное распределение полной системы находится как решение уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени, а распределение для выделенной системы получается в результате интегрирования (в квантовом случае — вычисления следа) по переменным окружения. Как мы увидим дальше, в конкретных задачах неравновесной статистической механики применяются оба подхода. [c.123]

Как мы знаем, в неравновесной статистической механике всегда выполняется термодинамический предельный переход V оо, N оо при условии, что N/V = onst. Функция распределения дг(ж1,..., Ждг, ) включает корреляции между положениями частиц в пространстве, причем вклад этих корреляций не исчезает в термодинамическом пределе. С другой стороны, (Pi,..., Рдг, ) имеет смысл функции распределения частиц по импульсам, т. е. в результате применения операции (7.2.68) информация о положении частиц в пространстве теряется . Если корреляции затухают на некотором характерном расстоянии г , то их вклад в интеграл по координатам частиц должен стать пренебрежимо малым по мере стремления объема системы к бесконечности. Иными словами, разумно предположить, что в термодинамическом пределе функция (Pi,..., Рдг, ) имеет такую же структуру, что и функция распределения для пространственно однородной системы, в которой отсутствуют корреляции между частицами, т.е. она имеет вид произведения одночастичных функций С уче- [c.116]

На протяжении всей книги неоднократно подчеркивалась важная роль термодинамического предельного перехода N оо, N/V = onst) при построении статистических ансамблей, представляющих неравновесные состояния макроскопических систем. Строго говоря, сам принцип отбора запаздывающих решений уравнения Лиувилля, которые описывают необратимые процессы, справедлив только в термодинамическом пределе ). Однако встречаются ситуации, когда система содержит большое число частиц (т. е. возможно ее статистическое описание), но имеет конечные размеры, и поэтому переход к термодинамическому пределу не соответствует физической постановке задачи ). Задачей на будущее является построение последовательной статистической теории диссипативных процессов и флуктуаций в такого рода системах. [c.282]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...