Системы координат и векторы базиса

Системы координат и векторы базиса [c.14]

Отмеченные три состояния можно рассматривать как непрерывные многообразия, в которых индивидуальные точки определены одними и теми же лагранжевыми координатами Обозначим векторы базисов лагранжевой системы координат Е в этих трех состояниях среды через [c.421]

В дальнейшем под базисом е, подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление. [c.8]

Геометрическая картина движения и деформации бесконечно малой частицы (рис. 13). Сопутствующая система координат деформируется вместе с телом ее координатные линии удлиняются либо укорачиваются, а углы между ними меняются. Поэтому меняются и векторы базиса сопутствующей системы координат в рассматри- [c.66]

В ортогональных системах координат соответствующие векторы основного и взаимного базиса параллельны и связаны с коэффициентами Ляме зависимостями [c.57]

Следовательно, выражение йг через компоненты и векторы базиса соответствующей системы координат не меняется при переходе от одной системы координат к другой оно инвариантно относительно преобразований систем координат. [c.51]

Итак, с помощью произвольного тензора второго ранга х можно ввести контравариантные векторы базиса аЧ Заметим, что если ковариантные векторы базиса а зависели только от системы координат, то контравариантные векторы базиса э зависят и от системы координат, и от тензора х, с помощью которого они образованы. [c.56]

Сложнее будет обстоять дело в случае движения деформируемого тела. Действительно, при движении деформируемого тела расстояния между его точками М жМ меняются. Координатные линии сопутствующей системы координат деформируются, и векторы базиса меняются со временем так, что меняются и их величины и углы между ними. [c.64]

Часто используется также альтернативное представление векторов (и тензоров) в виде упорядоченных систем чисел, называемых компонентами. По сравнению с геометрическим представление посредством компонент имеет то неудобство, что оказывается зависящим от векторного базиса и, следовательно, зачастую от системы координат, т. е. при изменении векторного базиса данный вектор (стрелка в пространстве) будет менять свои компоненты. [c.16]

Среди возможных систем координат наибольшую важность для практических целей имеют ортогональные системы координат. Эти системы таковы, что во всех точках векторы естественного базиса являются взаимно ортогональными (хотя и не обязательно имеют единичную длину). Наряду с декартовыми координатами известными примерами ортогональных систем являются цилиндрическая и сферическая системы координат. [c.79]

Теперь построим местный координатный базис естественной системы координат (рис. 26). Проведем в точке М кривой единичный вектор касательной т и единичный вектор главной нормали V. Они определят первую грань естественного координатного [c.87]

Конечно, в этих формулах не надо суммировать по одинаковым верхним и нижним индексам. В ортогональных системах координат вместо контравариантных и ковариантных компонент векторов пользуются их проекциями на оси местного координатного базиса. [c.96]

Уравнения (1.31), (1.32) справедливы для любого базиса, т. е. являются инвариантными по отношению к координатным системам. Уравнения (1.33) —(1,35) справедливы только в связанных осях (в базисе е, ). В уравнениях (1.31) и (1.32) можно взять векторы, связанные как с неподвижной системой координат [c.22]

Векторные уравнения равновесия стержня в связанной системе координат. Чтобы получить уравнения равновесия в проекциях на координатные оси, необходимо представить векторы в соответствующем базисе, например в базисе е, , связанном с главными осями сечения. При этом надо иметь в виду, что от е зависят не только проекции соответствующих векторов, но и единичные векторы базиса, т. е. е,(е). Воспользовавшись формулой (П. 129), перейдем в уравнениях (1.31) — (1.35) к локальным производным [c.33]

Рассмотрим общие векторные уравнения (1.31) — (1.35). В декартовой системе координат полная производная совпадает с локальной, поэтому уравнения (1.31) и (1.32) по форме записи остаются без изменения, но входящие в эти уравнения векторы есть векторы в базисе , , т. е. [c.40]

Преобразования базисных векторов. Для того чтобы найти положение стержня в пространстве для деформированного состояния, например вектора и (рис. П.З), и положение базиса, связанного с осевой линией стержня е , необходимо предварительно выбрать систему отсчета, например систему координат л,. Однако, при исследовании статики и динамики упругих элементов под действием нагрузок часто более удобными являются координаты, связанные определенным образом с самим упругим элементом, например координаты, определяемые базисом е,о) на рис. П.З. При решении уравнений равновесия стержней (или уравнений движения, когда рассматривается динамика) возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой, что требует знания основных операций преобразования базисных векторов. [c.294]

В декартовых осях в отличие от связанных осей компоненты векторов Ох и Мх (Qлy и Мх ) не имеют четкого физического смысла, как, например, компоненты Qj и М/ в связанных осях. Однако, решив уравнения движения, всегда можно определить компоненты векторов в любой системе координат, воспользовавшись матрицей преобразования соответствующих базисов. Например, чтобы получить векторы О и М в связанных осях, следует воспользоваться матрицей (где — матрица преобразования базиса / к базису е ), т. е. [c.37]

Вектор и называется вектором перемещения. Будем относить этот вектор к ортогональному базису, связанному с декартовой системой координат хи Эта оговорка существенна для дальнейшего, так как в принципе можно относить его к базису, образованному касательными к координатным линиям в деформированном состоянии. Мы не будем вставать здесь на этот второй путь. [c.213]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

Так, например, для эвклидова пространства трех измерений чаще всего применяется декартова система координат, направление осей которой определяется тройкой взаимно ортогональных единичных векторов i, j, к, представляющих собой базис этого пространства. Приведенное определение базиса распространяется и на многомерные пространства. Если в общем случае пространство имеет п измерений, то его базис представляет совокупность п линейно независимых векторов [21 ]. [c.57]

В механике деформируемого тела рассматривают физические величины (векторы и тензоры), не зависящие от выбора системы координат, но иногда их удобнее изучать в некоторых специально выбранных системах координат. Векторы и тензоры в каждой из систем координат задаются совокупностью величин, называемых компонентами вектора или тензора. Если эти компоненты заданы в одной системе координат, то они определены и в любой другой системе, ибо определение вектора и тензора включает и закон преобразования их компонент при переходе от одной системы координат (базиса) к другой. Одним из важнейших достоинств векторного исчисления является.то, что уравнения, характеризующие состояние механической системы (уравнения равновесия или движения,) можно формулировать в инвариантной форме по отношению к координатным системам. [c.7]

Вектор хо не равен вектору Хц, который характеризует геометрию кривой в начальном состоянии. Вектор чо имеет компоненты в базисе е, , равные компонентам вектора в базисе е,о1-Выражение (1.77) дает возможность установить, как изменяется вектор X, характеризующий геометрию кривой, если геометрия кривой в начальном состоянии (я о) известна. Найдем вектор Xq, характеризующий начальное состояние кривой, считая, что по отношению к декартовой системе координат гД известно положе- ние базиса в каждой точке кривой. Углы, характеризующие положение базиса е,о1 относительно базиса jt, , обозначим < o(s), Фо (s) и (s). [c.22]

Найдем в связанной системе координат приращения кривизн, входящих в уравнения (3.24). Считаем, что вектор ио при деформации стержня остается без изменения в подвижной системе координат, что имеет место, если его проекции в этой системе координат не меняются. В этом случае в базисе е, вектор щ = Xi ei и при [c.73]

Преобразование компонент метрического тензора. Оно определяется преобразованием векторов базиса. Пусть g f, — компоненты метрического тензора в новой системе координат. Тогда, в соответствии с (1.21) и (1.26), получим [c.30]

Поверхность отнесена к криволинейной системе координат и , и задана радиусом-вектором r(ui,u ). Векторы образуют на поверхности ковариантный базис, вектор единичной нормали к поверхности есть п. Метрический ковариантный тензор есть кривизна поверхности задается тензором bij = r yra = = f itij. Любой вектор может быть задан в локальном базисе [c.423]

Символы Кристо(аЬФедя. В общем с.пучае векторы координатного базиса [ 1 зависят отб или от (исключением является асЫЬинная система координат, когда отображение линейное). Цроизводиые по координатам от векторов базиса являются векторами и могут ть разложены по базису [c.24]

Целый рациональный базис образует систему инвариантов относительно конечного числа преобразований группы О, но очевидно, что его элементы — полиномы из компонент данных тензоров — вообще не инвариантны относительно любых преобразований координат, хотя и содержат в своем числе такие 1шварианты. Число элементов целого рационального базиса, зависящее только от группы и от заданного набора тензоров и векторов, вообще больше числа независимых переменных компонент данной системы тензоров и векторов и, следовательно, элементы целого рационального базиса, вообще говоря, функционально зависимы. [c.437]

Компоненты произвольного вектора в базисе, дуальном естественному, называются ко вариантными. Различие между ковариан-тными и контравариантными компонентами имеет смысл только по отношению к существованию какой-либо координатной системы. Если два взаимно дуальных базиса выбраны независимо от акой бы то ни было системы координат, не существует способа оказать предпочтение одному перед другим, и компонентам вектора в каждом из базисов не могут быть присвоены различные наименования. [c.18]

Величины а являются контравариантными компонентами вектора а в новой системе координат. Из сравнения формул (1.50а) и (1.49) видно, что прямое преобразование коитравариантных компонент осуществляется при посредстве коэффициентов р обратного преобразования векторов координатного базиса. Этим объясняется возникновение термина контравариантный . [c.51]

Обидее движение координатного базиса системы 0 т состоит из поступательной и мгновенной вращательной частей. Изменение координатного базиса системы 0 т зависит лишь от вращательной части ее общего движения. Поступательная часть не вызывает дополнительных изменений координатных векторов. Вращательная часть сводится, как известно, к мгновенному вращению вокруг оси, проходящей через начало системы координат [c.134]

Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78]

Неравенства (4) выполняются в любом базисе, так как det гУ, Sp и являются инвариантами. Собственные векторы представляют столбцы матрицы Д,п = т(ц) преобразования к системе координат, в которой базисные векторы совпадают с собственными векторами. Общее решение (1) является суперпозицией частных решений Хпг = ДгкмамСоз(Ли +а ). Из (2) следует, что при Xi = 2 собственные векторы можно подчинить условиям [c.135]

Векторные уравнения равновесия стержня в декартовой системе координат. Нелинейные уравнения равновесия стержня в связанных осях удобны при решении многих конкретных задач и особенно, когда стержень нагружен следящими силами, проекции которых известны именно в связанной системе координат. В том случае, когда проекции внешних сил известны в декартовой системе координат, можно воспользоваться уравнениями равновесия в декартовых осях. Конечно, всегда можно силы, заданные в одной системе координат, записать в любой другой. Связанные оси являются более эффективными при исследовании равновесия стержня, так как физическое уравнение (1.9), устанавливающее связь между внутренним моментом и приращением вектора у., при упругих деформациях стержип в базисе е, имеет [c.39]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

Последнее замечание в этой связи будет относиться к тому случаю, когда криволинейные координаты ортогональны. Вместо естественного базиса = г , векторы которого имеют разную длину и, вообще, разную размерность, бывает удобно воспользоваться местным базисом, образованным единичными векторами ik = к/ Yikk (не суммировать). Тогда физические компоненты вектора или тензора, т. в. компоненты по отношению к локальной декартовой системе координат, определяются следующим образом [c.232]

В прямоугольной декартовой системе координат основной и взаимный базисы совпадают, а потому совпадают контраварнант-ные и ковариантные компоненты вектора (рис. 8) [c.27]

Таким образом, используя наряду с основным базисом взаимный базис нам удалось выразить скалярный инвариант вектора через его коварианткые и контравариантные компоненты, не привлекая компоненты метрического тензора в форме, аналогичной выражению инварианта в прямоугольной декартовой системе координат [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...