Матрица трехмерная

Следует заметить, что (/ ) является А, Х Элементом матрицы трехмерного представления для операции / а, по которому преобразуются 1х, 7у, 1г- Для элемента Р перестановки с инверсией (где Р переставляет ядра у и i) можно записать аналогично [c.314]

Из-за этого условия матрица Q содержит только три независимые величины. Как раз ровно столько, сколько нужно для определения ориентации твердого тела в трехмерном пространстве. [c.104]

Тензоры второго ранга (N—2) имеют в трехмерном пространстве девять координатных компонент л = 3 =к Тензор второго ранга называют также диадиком. Обозначим компоненты диадика через ац (i, /=1, 2, 3). Тогда диадик можно записать в виде матрицы в круглых скобках [c.9]

Линейное (векторное) п-мерное пространство. Помимо матриц мы будем использовать понятие многомерного алгебраического векторного пространства Лп, сохраняющего некоторые свойства совокупности векторов трехмерного евклидова пространства. Упорядоченную систему п действительных чисел [c.18]

Оператор в левой части формулы (2.269) (оператор Ламе) будем считать тензором-оператором второго порядка в трехмерном пространстве и обозначать через А результат воздействия этого оператора на вектор и будем считать сверткой А-и. В декартовой системе координат оператор А задается матрицей, коэффициенты которой—дифференциальные операторы первого и второго порядка в действительности А проще записать в виде суммы таких матриц. Для получения соответствующих выраже- [c.89]

Прежде чем переходить к косоугольному базису, выясним некоторые свойства символов Леви — Чивита. Рассмотрим трехмерное пространство (и=3) возьмем три вектора а , а. з. отнесенные к декартову базису Лг,-, и образуем матрицу [c.317]

Изотопическая инвариантность в теории SU (п)-групп описывается двумерной группой SU (2), которая эквивалентна спи-норным преобразованиям. Как известно, спинорные преобразования осуществляются при помощи двухрядных матриц Паули (см. 5, п. 7) и приводят к тем же результатам, что и операция вращения вектора изотопического спина Т в трехмерном изотопическом пространстве. Простейшим представлением SU (2)-группы после скаляра является дублетное (изотопический дублет). [c.306]

Тензор характеризует сразу три напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам и используется для описания физических явлений и процессов, происходящих в упругой среде. В механике сплошной среды используется трехмерное евклидово пространство с различными системами координат. Примененный для описания напряженного состояния точки тензор напряжений инвариантен относительно преобразования прямоугольных координатных осей. Тензор напряжений симметричный, так как коэффициенты матрицы симметричны относительно главной диагонали и равны между собой. Задать тензор напряжений— значит определить напряженное состояние в данной точке тела. В частных случаях напряженное состояние точки определяет напряженное состояние всего тела (при простом растяжении — сжатии), такое напряженное состояние называется однородным. [c.8]

Совокупность преобразований симметрии можно представить в виде совокупности трехмерных матриц [c.134]

Автоматизация разбиения области. Простейший (но наиболее трудоемкий) способ реализации первой процедуры состоит в ручном разбиении области D на треугольные элементы, ручной нумерации узлов и дальнейшем вводе в качестве исходных данных массивов координат узлов xm m=i, Ут т=1 И индексной матрицы. Однако в реальных двумерных (и тем более трехмерных) задачах число узлов и элементов может составлять несколько сотен, а иногда и тысяч, и поэтому построение расчетной сетки вручную и ввод больших массивов чисел в качестве исходных данных нецелесообразны из-за значительных затрат времени на их подготовку и большой вероятности появления ошибок. Следовательно, возникает задача автоматизации процедуры разбиения области на элементы, нумерации элементов и узлов и формирования индексной матрицы. При этом требуется в качестве входной информации для соответствующей подпрограммы задавать сравнительно небольшое число данных, описывающих геометрию области сложной формы и густоту сетки, а на ее выходе получать массивы координат узлов и индекс- [c.147]

Учитывая (3.53), эффективные компоненты матрицы жесткости при плоском напряженном состоянии для двух рассмотренных выше типов слоистых материалов не могут быть определены усреднением соответствующих ( одноименных по индексации) компонент матрицы жесткости слоев для трехмерного случая, кроме тривиального случая усреднения модуля сдвига слоев ортогонально-армированного материала. Как видно из табл. 3.7, к усредненным компонентам матрицы жесткости для объемного случая добавляются члены, зависящие от поперечных плоскости слоев компонент жесткости. [c.73]

Исследованные композиционные материалы. Были исследованы упругие и прочностные свойства девяти различных типов материалов, образованных системой трех нитей. Композиционные материалы различались между собой способом и технологией создания пространственных связей, объемным содержанием, свойствами армирующих волокон н типом полимерной матрицы. Структурные схемы армирования образцов представлены на рис, 5.13. Композиционные материалы изготовляли ио трем различным схемам прошивкой в направлении 3 пакета слоев ткани (схемы /, //) и трехмерным плетением армирующего каркаса системой трех нитей (схемы ///, /V). Материалы, изготовленные ио этим схемам, имеют дополнительные обозначения, указывающие объемное содержание н пид армирующих [c.146]

Следующая по сложности оценка строится для композита, модель которого такова шар окружен сферической оболочкой из материала матрицы, а эта оболочка в свою очередь помещена в неограниченную среду, обладающую неизвестными пока свойствами. Внутренний г, и внешний Го радиусы сферической оболочки матрицы определяются так, чтобы объемная доля армирующих элементов составляла (см. работы [52], [90], 1116]). Накладывая простые граничные условия на бесконечности и решая трехмерную задачу теории упругости, получаем [c.78]

Здесь два первых уравнения вещественные, а третье комплексное, и поэтому в них содержатся четыре условия. Пятым условием здесь будет условие (4.51), накладываемое на детерминант этого преобразования. Поэтому матрица Q содержит только три независимых величины, т. е. как раз такое число, какое нужно для определения ориентации твердого тела в трехмерном пространстве. [c.128]

Три вещественных числа х, у, z мы будем интерпретировать как координаты некоторой точки в трехмерном пространстве. Пусть посредством матрицы Q рассматриваемая матрица Р преобразуется следующим образом [c.129]

Q), а не одной матрицей Q. В этом смысле можно сказать, что матрица Q есть двузначная функция соответствующей трехмерной ортогональной матрицы. [c.135]

Эта странность не нарушает наших общих построений. Как видно из изложенного, пространство uv является чисто математической конструкцией, созданной только для того, чтобы установить соответствие между определенными классами квадратных матриц третьего и второго порядка. Нельзя поэтому требовать или ожидать, чтобы такое пространство имело свойства, подобные свойствам физического трехмерного пространства. Нужно заметить, что изучению свойств пространства uv математики уделяли значительное внимание двумерный комплексный вектор, построенный в этом пространстве, называют спинором. Оказывается, что в квантовой механике спинорное пространство несколько больше соответствует физической действительности поэтому, чтобы учесть влияние спина электрона, нужно его волновую функцию или часть ее представить в виде спинора. Действительно, половинные углы и свойство двузначности внутренне связаны с тем фактом, что спин полуцелый ). Впрочем, дальнейшее изложение этого вопроса увело бы нас слишком далеко от классической механики. [c.135]

В трехмерном пространстве тензор Т Л -го ранга мы будем определять как величину, имеющую составляющих Тцк... (всего N индексов), которая при ортогональном преобразовании координат преобразуется матрицей А согласно следующей схеме ) [c.167]

Сочетание методов тепловой микроскопии с методами рентгеноструктурного анализа и просвечивающей электронной микроскопии дает более широкие представления о механизме и кинетике протекания дисперсионного твердения аустенитных нержавеющих сталей. Возросший за последнее время интерес к электронной микроскопии связан главным образом с появлением нового метода исследования на просвет тонких (до 1000 А) пленок, полученных из массивных образцов. Это стало возможным при применении в современных электронных микроскопах электронного пучка, обладающего большой проникающей способностью и высокой интенсивностью, что обеспечивается системой двойных конденсорных линз. Метод тонких пленок позволяет полностью использовать разрешающую способность современного электронного микроскопа и имеет по сравнению с методом реплик ряд преимуществ, основные из которых заключаются в получении трехмерной картины микроструктуры и возможности легко наблюдать такие дефекты матрицы, как линии дислокаций, и изучать их взаимодействие с выделениями. Можно также изучать картину электронной дифракции с небольших участков поверхности (около 0,25 мкм). [c.223]

Матрицы Паули связаны с трехмерной геометрией тождеством [c.54]

Принцип параллельности выполнения логических операций над булевыми векторами положен в основу параллельных алгоритмов построения изображений объектов, математическими моделями которых служат трехмерные рецепторные матрицы (см. гл. 2, п. 8). [c.120]

Детерминант матрицы трехмерных поворотов доллсен равняться плюс единице, поскольку любой поворот осуществляется непрерывным образом, а детерминант матрицы, соответствующей тождественному преобразованию х = = X , равен единице. Однако для пространственных отражений, когда направления пространственных осей меняют знак, а = —1. [c.73]

Кроме двумерных изображений, на экране дисплея с по.мощью матриц могут быть получены и трехмерные наглядные изображения — аксонометрия, перспектива, сте-реограе рическая проекция. [c.28]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

В трехмерном пространстве тензоры второго ранга иногда полезно представлять квадратными матрицами третьего порядка, а тензоры первого ранга (векторы)—матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Хотя скаляры, векторы и тензоры второго ранга можно представлять матрицами, не каохдая матрица представляет собой тензор. Вследствие этого для тензорных величин вместо [c.17]

Координаты точки К в трехмерном пространстве записывают в виде столбцевой матрицы [c.516]

Выбор любой приближенной модели для определения упругих свойств пространствен но-армврованного композиционного материала, исходя из свойств повторяющегося элемента (в идеальном случае — это решение краевой трехмерной задачи теории упругости на структурном уровне волокно—матрица), требует задания статико-кинематических соотношений, определяющих механизм передачи усилий между элементами среды. Для слоистой модели эти соотношения обусловливают равенство деформаций в плоскости слоев вдоль высоты слоистой структуры материала и равенство напряжений, действующих в поперечном к плоскости слоев направлении (см, (3.16) . Для других моделей, характеризующих пространственную структуру многонаправленного композиционного материала, статико-кинематические соотношения на поверхностях раздела разнородных элементов без решения [c.82]

Зависимость прочности при сдвиге от указанного технологического фактора четко не обнаруживается — в случае равномерного распределения волокон имеет место заметное повышение ее значений, а при неравномерной укладке — некоторое снижение (см. табл. 6.6, тип 1 и 2). Наибольшее влияние на эту характеристику оказывает тип матрицы. Композиционные материалы с пироуглеродной матрицей имеют значительно большие показатели сдвиговой прочности, чем материалы на основе пековой матрицы (см. тип 1А и 3). Усложнение трехмерной структуры армирования способствует повышению их межслойной [c.178]

Таким образом, в трехмерном случае ортотропный материал имеет 12 упругих постоянных, из которых только 9 являются независимыми вследствие симметрии матрицы коэффициентов ягесткости для анизотропного тела. [c.161]

Подводя итоги, можно сказать, что мы описали способ определения эффективных коэффициентов jj, Dap. т. е. матрицы жесткостей на растяжение, матрицы совместного влияния и матрицы жесткостей на изгиб соответственно, а также эффективных коэффициентов расширения для анизотропных слоистых композитов или для материалов, в которых упругие константы меняются по одной координате. Постановка задачи является строгой в рамках трехмерной теории упругости неоднородных тел. Не предполагалось локальной симметрии материала, т. е. в каждой точке среды упругие определяющие соотношения могли содержать 21 независимый модуль. [c.59]

В микрофотоупругих экспериментах используются модели с армирующими волокнами материала-натуры, например со стекловолокнами, волокнами бора, сапфировыми усами и т. д. Эти модели точнее имитируют моделируемый композит, поскольку в них сохраняется трехмерное напряженное состояние и воспроизводятся характеристики сцепления между матрицей и волокнами. Были проведены микрофотоупругие опыты, в которых для определения неэффективной длины волокна и исследования вида и путей распространения микроразрушения изучались распределения напряжений и их концентрация вокруг концов волокон, разрывов волокон и нарушений сцепления волокна с матрицей. [c.520]

Трехмерных фотоупругих исследований было проведено очень мало. Дюрелли с соавторами [23] и Паркс с соавторами [49] изучали распределения напряжений вокруг включений различной конфигурации в подвергающихся усадке и механической нагрузке матрицах. Они использовали заливку эпоксидной смолы с низкой температурой отверждения вокруг включения из плексигласа или из иного эпоксида. Применялась обычная методика замораживания напряжений и изготовления срезов. Поскольку при критической температуре коэффициент Пуассона очень близок к 0,5, материал считался несжимаемым. [c.527]

Первоначально анализ ограничивался изучением поверхности изолированных включений типа стержней. Некоторые эксперименты, в которых применялся метод рассеянного света и исследовались одиночные включения в виде стержней, описаны в работах [52, 41]. О первом подробном исследовании напряжений в реалистической трехмерной модели композита сообщили Мар-лофф и Дэниел [47]. В этой работе обычная методика замораживания напряжений применялась для определения напряженного состояния в матрице однонаправленно армированной композиционной модели, подвергающейся усадке и нормальной поперечной нагрузке. В этой модели отношение модулей материала матрицы и включений приближалось к соответствующем отношению для боропластика. [c.527]

В этой книге охватывается в основном тот же.материал, что и в книге Маргенау и Мэрфи, однако здесь делается большее ударение на физических приложениях. В главах 3 и 4 этой книги можно найти многие вопросы, рассмотренные нами в настоящей главе, включая спиновые матрицы Паули и их связь с трехмерными матрицами вращения. Раздел, посвященный углам Эйлера, изложен в этой книге непонятно, главным образом вследствие плохих рисунков. [c.161]

Аналогично любой трехмерный геометрический объект, в частности геометрический образ детали, может быть помещен в прямоугольный рецепторный параллелепипед и приближенно представлен трехмерной скелетной матрицей А = Ца,у/, размерности тХпХр. Каждый элемент матрицы А принимает значение 1, если соответствующий трехмерный рецептор возбужден, и О в противоположном состоянии. Трехмерный рецептор считается возбужденным, если в нем содержатся точки, принадлежащие объекту. На основе трехмерных рецепторных матриц в ЭВМ очень просто выполняется решение многих геометрических задач, возникающих при машинном проектировании изделий и процессов [68]. [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...