Класс Петровского

Локальный критерий Петровского. Одна и та же ком понента дополнения к волновому фронту может быть локальной лакуной вблизи одних точек своей границы и носительницей диффузии — вблизи других. Вопрос о том, является ли компонента лакуной, эквивалентен вопросу — является ли она локальной лакуной вблизи начала координат. Основным препятствием к резкости в произвольной точке фронта является ветвление соответствующего интеграла (15), определяемое, в свою очередь, монодромией классов Петровского. [c.197]

Пусть X и У — вещественные гиперплоскости, так что определен класс Петровского Р х). [c.198]

Определение. Локальным (вблизи у) классом Петровского называется образ класса р(х) при очевидном отображении группы Нм-2 Х —А ) в группу (17), этот образ обозначается (х, у). [c.198]

Прообраз класса (х, у) при этом изоморфизме также называется локальным классом Петровского и обозначается Л х, у). [c.199]

Ветвление интегралов Петровского вблизи точки у определяется монодромией локальных классов Петровского при обходах вдоль путей, лежащих в множестве reg вблизи у. Имен-ло, любая такая петля o- определяет операторы Var и (если множество Х [ А гладко в В) Var , дополняющие изоморфизм (18) до коммутативной диаграммы [c.199]

Определение. Локальная (вблизи 0) компонента дополнения к Е в называется четной (нечетной) локальной лакуной, если для всех значений параметра принадлежащих этой компоненте, четный (нечетный) локальный класс Петровского равен 0. Под лакуной правильной четности понимается четная локальная лакуна, если п четно, и нечетная — если п нечетно. [c.221]

Граница класса Петровского — это элемент группы НпМ Уг). [c.221]

Если ни для одного набора показателей, получаемых этим методом, класс Петровского не равен О, это гарантирует отсутствие лакун. Именно этим методом доказано отсутствие лакун для особенности Ра при четном п, то есть обоснованы последние два нуля в таблице, для которых это не было сделано в 2. [c.236]

И л ь я ш е н к о Ю. С. Кратность предельных циклов, возникающих при возмущении гамильтонова уравнения класса w = Рг/ в вещественной и комплексной области Ц Тр. семинара им. И. Г. Петровского.— 1978.—Вып. 3. [c.484]

Предложение. 1. Локальный критерий Петровского для пары точек х.у эквивалентен тривиальности локального класса Перовского х, у). [c.198]

Задачи. А. Обращение гл обального критерия Петровского (см. п. 2.7). Существуют ли -гиперболические полные операторы, имеющие голоморфные лакуны, для которых не равен нулю класс Петровского Согласно п. 2.7, такой оператор должен иметь достаточно сложные особенности. Возможно, здесь полезно воспользоваться соображениями глобальной монодромии. [c.204]

Пусть г не принадлежит Е. Тогда в группе относительных гомологий Нп- Уи дУt) определены два важных элемента — четный и нечетный классы Петровского. В случае, когда деформация Р(х,1) имеет специальный вид (4.14), то есть получаете конструкцией, описанной в п. 2.3 главы 4, определенный там же локальный класс Петровского при четном п совпадает с четным локальным классом Петровского, рассматриваемым в настоящей главе, а при нечетяом л—-с нечетным.------------- — [c.220]

Грулпы Нп- (Уи дУ), Нп(В—Уи дБ—У г) естественно изоморфны этот изоморфизм задается трубочной операцией (см. п. 1.1.3 главы 4). Нечетный локальный класс Петровского Лой 1(0 определяется как прообраз класса Ь при этом изоморфизме. [c.221]

Предложение (ср. [109]). При любом п, четный класс Петровского инвариантен относительно инволюции комплексного сопряжения, а нечетный — антиинвариантен. [c.221]

Предложение. Если для некоторого 2 граница четного (нечетного) локального класса Петровского является нетривиальным элементом группы Нп-2(дУ1), то же верно и для любого другого небифуркационного а следовательно, данная особенность f не имеет ни одной четной (нечетной) локальной лакуны более того, то же верно и для любой другой деформации данной особенности. [c.221]

Замечание. При четном п комплексное сопряжение меняет ориентацию многообразия Уи поэтому класс в-(Я 1(У )), соответствующий четному (нечетному) классу Петровского в силу двойственности Пуанкаре, антиинвариантен (инвариантен), ср. с п. 1.2. При нечетном п эти классы соответственно инвариантны и антиинвариантны. [c.223]

Теорема. Пусть критическое значение а морсификацин /, вещественно. Тогда индексы пересечения обоих локальных классов Петровского функций / с циклами Д вьфажаются через аналогичные индексы для одними и теми же формулами, а именно, если а<0, то [c.224]

A) равен нулю четный (нечетный) класс Петровского, соответствующий морсификацин ft функции f [c.224]

Теорема. Для всех особенностей коранга 2, упоминаемых в таблице, граница локального класса Петровского правильной, четности отлична от О тогда и только тогда, когда в соответствующем столбце стоит О (нэ не >0). В случае Р при п, нечетных дП.aлdФO, а при л четном Шеу=0. [c.233]

Алгоритм перебора морсификаций / состоит в следующем. Вначале мы определяем топологические характеристики для некоторой реальной морсификацин исследуемой особенности. (Это неформальная задача в случае особенности коранга 2 она решается методом Гусейна—Заде [56] с помощью формул-(1), (2) с другой стороны, отсутствие особенности в таблице п. 2.2. объясняется только тем, что уже для нее эта задача пока не решена.). Затем к набору этих характеристик последовательно применяем всевозможные допустимые преобразования, при этом следим за тем, не обращается ли в О вектор индексов пересечения исчезающих циклов с классами Петровского. Если класс Петровского обращается в О, то распечатываются параметры соответствующей морсификацин. Восстановление реального шевеления по этим параметрам является вновь неформальной задачей, тем не менее во всех встретившихся случаях она не составила затруднений (см. таблицу на стр. 226—227 и рис. 126—134). При этом, пользуясь результатами п. 1.5, можно одновременно отслеживать локальные лакуг ны и для всех особенностей, стабильно эквивалентных данной.. [c.236]

Замечания о реализации алгоритма. А. Все явные формулы для преобразований П1—П7 вытекают из формул Пикара—Лефшеца и формул (1), (2), см. также [35, 4,5]. Из всех этих преобразований только П1 и П2 приводят к изменению локальных классов Петровского, при ПЗ—Пб пространства Я 1(У() для начального и конечного значения t естественно отождествляются (при помощи связности Гаусса—Манина , см. [22]) это отождествление уважает классы Петровского, при этом (как и в случае П7) преобразование набора дискретных характеристик сводится просто к замене базисов исчезающих циклов в соответствующих пространствах. Скачок класса Петровского при операциях П1, П2 состоит в добавлении к нему взятого с нужным знаком исчезающего цикла, соответствующего критическому значению, перепрыгивающему через О (см. [182], [35]). [c.237]

Как уже говорилось во введении, постановка задачи об интегралах возмущенных гамильтоновых систем, аналитических по малому параметру, принадлежит Пуанкаре [225 146, гл. V]. Предполагая множество Р1 всюду плотным, Пуанкаре доказал отсутствие однозначных интегралов, независимых с интегралом энергии и аналитических по фазовым переменным и параметру е. В работе [75] показано, что предположение о плотности множества Р1 можно ослабить достаточно, чтобы Р1 было ключевым множеством для класса аналитических функций, В докладе автора на семинаре им. И, Г, Петровского [80] было дано распространение метода Пуанкаре на случай, когда интегралы разыскиваются в виде формальных рядов по степеням е с аналитическими или гладкими коэффициентами (см. теоремы 3 и 4). Распространение метода Пуанкаре на гамильтоновы системы с периодическим гамильтонианом содержится в [75]. Обобщения результатов Пуанкаре на негамильтоновы системы стандартного вида (1,1) (см. теоремы 1 и 2) в литературе, по-видимому, не обсуждались. [c.185]

При некоторых условиях, наложенных на характеристические корни и 2 (одним из которых является неравенство нулю выражения Р1Я1 - -+ Р2 2, где Р1 ш р2 — произвольные целые положительные числа это условие, в частности, всегда выполняется, когда характеристические корни Я1 и кг действительны и одинаковых знаков, а также в случае, когда они — комплексные, с не равной нулю действительной частью) аналитические функции ИИ у, обладающие указанными выше свойствами, заведомо существуют. Не останавливаясь подробнее на вопросе о том, как при выполнении этих условий исследуется характер состояния равновесия, отошлем интересующихся к работам Дюлака [26 . Скажем вкратце о совсем другом методе, приложимом к динамическим системам более широких классов, именно, к системам класса С1. Этот метод развит в работах Перрона, Петровского и др. [23]. Он заключается в рассмотрении некоторых интегральных уравнений, полученных из данной системы дифференциальных уравнений. Так, например, в случае, когда характеристические корни и кг действительны и различны, рассматривается система интегральных уравнений [c.161]

Говорят, что свойством А обладает общее по Петровскому— Ландису поле класса если множество значений параметров, которым соответствуют не обладающие свойством А поля, нигде не плотно и не разделяет пространство параметров (дополнение К этому множеству линейно связно). [c.117]

Полиномиальные поля. Рассмотрим допустимые поля направлений в СР , отвечающие всем полиномиальным вектора ным полям степени п в фиксированной аффинной карте. Этот класс допустимых полей и соответствующих им уравнений обозначим через Фп. Общее по Петровскому—Ландису поле класса бФп имеет на бесконечно удаленной прямой, дополняю [c.117]

Для общего по Петровскому—Ландису поля класса динственная интегральная кривая, гомеоморфная сфере с выколотыми точками, — бесконечно удаленная прямая с выколотыми бесконечно удаленными особыми точками. [c.118]

Пример 2. а — изолированная морсовская особая точка множества НеЛ (Р), У — вещественная плоскость общего положения в классе плоскостей, проходящих через а. Вблизи соответствующей точки у в любом случае имеется резкость со всех сторон, но причины этого зависят от положения плоскости У. Прежде всего, сигнатура особой точки а должна равняться (l,iV—2), иначе полином Р — не гиперболический (см. [28]). Если плоскость У вблизи а пересекается с неособой частью А, то у не принадлежит волновому фронту (хотя, конечно же, принадлежит множеству sing) и Ер не только резко, но и попросту голоморфно вблизи у. Если же У — пространственноподобная плоскость для ростка конуса А, а), то, согласно [ПО], выполняется локальный критерий Петровского. Более того, имеет место следующее общее утверждение. [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...